求函数解析式的几种常用方法.doc

求函数解析式的几种常用方法一、高考要求:求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.重难点归纳:求解函数解析式的几种常用方法主要有:1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数fg(x)的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.二、题例讲解:例1(1)已知函数f(x)满足f(logax)=.(其中a0,a1,x0),求f(x)的表达式.(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式.命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法.解:(1)令t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同时等于1或1，所以所求函数为.f(x)=2x21或f(x)=2x2+1或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1或f(x)=x2+x+1或f(x)=x2+x1.例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x1时，y=f(x)的图象是经过点(2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.知识依托:函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析:本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.技巧与方法:合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.解:(1)当x1时，设f(x)=x+b射线过点(2，0).0=2+b即b=2，f(x)=x+2.(2)当1x1时f(x)等于( )A.f(x)=(x+3)21B.f(x)=(x3)21C.f(x)=(x3)2+1D.f(x)=(x1)213.已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_.4.已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_. 5.设二次函数f(x)满足f(x2)=f(x2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式.6.设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0x2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.8.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(1x1)是奇函数，又知y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x1,4的解析式；(3)试求y=f(x)在4，9上的解析式.四、参考答案:1.解析:f(x)=. ff(x)=x,整理比较系数得m=3.答案:A2.解析:利用数形结合，x1时，f(x)=(x+1)21的对称轴为x=1,最小值为1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为1.答案:B3.解析:由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面两式联立消去f()可得f(x)=x.答案:f(x)=x4.解析:f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b)x+a+b=bx+x+1.故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,f(x)=x2+x.答案:x2+x5.解:利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=. 6.解:(1)设x1,2,则4x2,3,f(x)是偶函数，f(x)=f(x),又因为4是f(x)的周期，f(x)=f(x)=f(4x)=2(x1)2+4.(2)设x0，1，则2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知x0,2时，f(x)=2(x1)2+4,设A、B坐标分别为(1t,0）,(1+t,0)(0t1,则|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令S矩=S，=2t2(2t2)(2t2)()3=,当且仅当2t2=2t2,即t=时取等号.S2即S,Smax=.7.解:(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由RtABD可得PA=;当P点在CD上运动时，由RtADP易得PA=;当P点在DA上运动时，PA=4x,故f(x)的表达式为:f(x)=(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.如原题图，当P在线段AB上时，ABP的面积S=0；当P在BC上时，即1x2时，SABP=ABBP=(x1）；当P在CD上时，即2x3时，SABP=11=；当P在DA上时，即3x4时，SABP=(4x). 故g(x)=8. (1)证明:y=f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.(2)解:当x1,4时，由题意，可设f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4). (3)解:y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又y=f(x).(0x1)是一次函数，可设f(x)