最新全国各地2011届高考数学试题汇编：空间向量在立体几何中的应用1.doc

空间向量在立体几何中的应用题组一1、如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。 （I）求证：C1D/平面ABB1A1； （II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值； （）求二面角DA1C1A的余弦值。（I）证明：四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1/CC1，又面ABB1A1，所以CC1/平面ABB1A1，ABCD是正方形，所以CD/AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD/平面ABB1A1， 所以平面CDD1C1/平面ABB1A1， 所以C1D/平面ABB1A1 （II）解：ABCD是正方形，ADCD因为A1D平面ABCD，所以A1DAD，A1DCD，如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，在中，由已知可得所以， 因为A1D平面ABCD，所以A1D平面A1B1C1D1A1DB1D1。又B1D1A1C1，所以B1D1平面A1C1D，7分所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0） 设与n所成的角为，则所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为 （III）解：平面A1C1A的法向量为 则 所以 令可得 则所以二面角的余弦值为2、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为【分析】（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。DABEFCHG【解析】 方法一：（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面6分（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，又因为，所以，从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为12分DABEFCyzx方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面6分（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为12分【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。3、如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）当二面角的大小为时， 试判断点在上的位置，并说明理由OSABCDE如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）（理科做）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由解法一：证明：（）连接，由条件可得因为平面，平面，所以平面（）由已知可得，,是中点，所以OSABCDE又因为四边形是正方形，所以因为，所以又因为，所以平面平面（）解：连接，由（）知而, 所以又所以是二面角的平面角，即设四棱锥的底面边长为2，在中，, , 所以OyzxSABCDE又因为, ,所以是等腰直角三角形由可知，点是的中点解法二：（）同解法一（）证明：由（）知，建立如图所示的空间直角坐标系设四棱锥的底面边长为2，则，所以，设（），由已知可求得所以，设平面法向量为，则 即令，得易知是平面的法向量因为，所以，所以平面平面（）解：设（），由（）可知，平面法向量为因为，所以是平面的一个法向量由已知二面角的大小为所以，所以，解得所以点是的中点4、已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,.（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面；（3） 求二面角的正弦值. 解：法一：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设,依题意得,（1）易得, 于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2）已知, , 于是=0，=0. 因此，,又 所以平面（3）设平面的法向量，则,即 不妨令X=1,可得。 由（2）可知，为平面的一个法向量。 于是，从而, 所以二面角的正弦值为 所以二面角A1-DE-F正弦值为.5、如图，在长方体中，且（I）求证：对任意，总有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由解：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，从而，即（分）（II）由（）及得，设平面的法向量为，则，从而可取平面的法向量为，又取平面的法向量为，且设二面角为，所以（分）（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即 ，即，解得 所以存在满足题意得实数，使得在平面上的射影平分 （14分）6、15.在棱长为1的正方体中ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CGCD/4，H为C1G的中点，求证：EFB1C；求EF与C1G所成角的余弦值；求FH的长。解：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，由题意知E(0,0,1/2),F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),G(0,3/4,0),即EFB1C由知，故EF与C1G所成角的余弦值为。H为C1G的中点，H(0,7/8.1/2),又F(1/2,1/2,0)即FH7、 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30（PD和其在底面上的射影所成的角）。若AEPD，垂足为E，求证：BEPD；求异面直线AE与CD所成角的大小。解：以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，由题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0)证明：PD在底面上的射影是DA，且PD与底面成30，PDA30，AEPD，即BEPD。解：由知又，异面直线AE与CD所成角的大小为arccos8、正三棱柱的所有棱长均为，是侧棱上任意一点（）求证： 直线不可能与平面垂直；（II）当时，求二面角的大小余弦值 证明：（）如图建立空间坐标系，设则的坐标分别为，不垂直直线不可能与平面垂直7分（II），由，得即又是面的法向量设面的法向量为，由得,设二面角的大小为则9、如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明 平面； （2）证明平面EFD； （3）求二面角的大小解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，故点G的坐标为且. 这表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(2)证明：依题意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD.(3)解：设点F的坐标为则从而所以由条件知，即 解得 。点F的坐标为 且,即，故是二面角的平面角.且 ,所以，二面角CPCD的大小为10、（14分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的垂心G. （1）求A1B与平面ABD所成角的大小的余弦值。 （2）求点A1到平面AED的距离.解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）E（a，a，1） G（）.，解得a=1.（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）平面AA1E，又ED平面AED.平面AED平面AA1E，又面AED面AA1E=AE，点A在平面AED的射影K在AE上.设， 则由，即， 解得.,即即点A1到平面AED的距离为.11、如图，正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为、上的点，且CF=2GD=2.求：（1）到面EFG的距离；（2）DA与面EFG所成的角的正弦值；（3）在直线上是否存在点P，使得DP/面EFG?,若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由。解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系 则E(1，2，0)，F（0，2，2），G（0，0，1）=（1，0，2），=（0，2，1），设=（x，y，z）为面EFG的法向量，则=0，=0，x=2z，z=-2y，取y=1，得=（4，1，2） （1）=（0，0，1），C到面EFG的距离为 （2）=（2，0，0），设DA与面EFG所成的角为，则=，（3）存在点P，在B点下方且BP=3，此时P(2，2，3)=(2，2，3)，=0，DP/面EFG 12、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ， （III）又由题设，平面的一个法向量为 13、如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系设则，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.14、在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.4方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则， 所以所求距离为。15、 ABCDEA1B1C1D1如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小的余弦值以为坐标原点，射线为轴的正半轴，ABCDEA1B1C1D1yxz建立如图所示直角坐标系依题设，（）证明 因为，故，又，所以平面（）解 设向量是平面的法向量，则，故，令，则，等于二面角的平面角， 16、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)证明 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)解 设与所成的角为, , 与所成角的大小为.(3)解 设点B到平面OCD的距离为，则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为17、如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC