【优化方案】高中数学 第2章2.3.1圆的标准方程圆的一般方程课件 新人教B版必修2.ppt

2 3圆的方程2 3 1圆的标准方程 1 理解圆的定义及圆的标准方程的形式 会求圆的标准方程 2 理解点与圆的位置关系 并会判断点与圆的位置关系 3 掌握求曲线方程的一般步骤 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 2 3 1 课前自主学案 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于 的点的轨迹 2 确定一个圆的条件 1 圆心 2 半径 定长 1 圆的标准方程 1 圆的定义 的点的集合 轨迹 是圆 定点就是圆心 定长就是半径 2 圆的标准方程的形式 3 求圆的方程的步骤 建系 设点 列式 化简 证明 平面内到定点距离等于定长 x a 2 y b 2 r2 2 点和圆的位置关系点和圆的位置关系有3种 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 1 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 思考感悟圆 x a 2 y b 2 m2的圆心是 a b 半径是m对吗 提示 不对 圆心为 a b 半径为 m 课堂互动讲练 根据几何条件 建立a b r的方程组 求解a b r 已知圆过原点o和点p 1 3 圆心在直线y x 2上 求此圆的标准方程 分析 本题可通过代数方法 构造方程确定a b r 也可以充分利用几何条件 确定a b r 即采用几何法求解 解 法一 圆心在直线y x 2上 设圆心坐标为 a a 2 则圆的方程为 x a 2 y a 2 2 r2 点o 0 0 和p 1 3 在圆上 点评 求圆的标准方程的方法一般有两种 1 待定系数法 代数法 待定系数法体现了方程的思想 利用代数的运算来求解a b r 具体步骤为 首先设出圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 再根据题设条件列出关于a b r的方程 组 然后解方程 组 求得a b r的值 即可确定圆的标准方程 2 几何法 即利用圆的几何性质 弦的性质 切线的性质 来直接求得圆心坐标及半径 几何法体现了数形结合的思想 思路简洁明了 具有一定的技巧性 跟踪训练1已知圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 且这个圆经过点a 6 1 求该圆的标准方程 解 因圆与y轴相切 则可设圆的方程为 x a 2 y b 2 a2 又圆心在直线x 3y 0上 a 3b 又点a 6 1 在圆上 3b 6 2 b 1 2 9b2 解得b 1或b 37 a 3或a 111 因此圆的标准方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 111 2 y 37 2 1112 点与圆的位置关系是由点到圆心的距离与半径的比较而得出的 已知圆心c 5 6 且过点a 4 9 的圆 试判断点m 6 9 n 3 3 o 5 3 与圆c的位置关系 分析 由点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来确定此点与圆的位置关系 也可先求出圆的方程 从数的角度作判断 点评 法一是从形的角度 比较圆的半径与圆心到该点的距离的大小 从而作出判断 法二是从数的角度 将该点的坐标代入圆的方程左边 再与右边值比较作出判断的 两种方法体现了几何与代数相互转化的数学思想 跟踪训练2已知两点m 3 8 和n 5 2 1 求以mn为直径的圆c的方程 2 试判断p1 2 8 p2 3 2 p3 6 7 是在圆上 在圆内 还是在圆外 利用圆的方程解决实际问题 如图所示 一座圆拱桥 当水面在l位置时 拱顶离水面2米 水面宽12米 当水面下降1米后 水面宽多少米 分析 建立坐标系求解 解 以圆拱桥拱顶为坐标原点 以过拱顶的竖直直线为y轴 建立直角坐标系 如图所示 设圆心为c 水面所在弦的端点为a b 则由已知得a 6 2 设圆的半径为r 则c 0 r 即圆的方程为x2 y r 2 r2 将点a的坐标 6 2 代入方程 得36 r 2 2 r2 r 10 点评 本题是用解析法解决实际问题 跟踪训练3如图 1 所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 该圆拱跨度ab 20m 拱高op 4m 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱cd的高度 精确到0 01m 解 建立图 2 所示的直角坐标系 则圆心在y轴上 设圆心的坐标是 0 b 圆的半径是r 那么圆的方程是x2 y b 2 r2 下面用待定系数法求b和r的值 因为p b都在圆上 所以它们的坐标 0 4 10 0 都是这个圆的方程的解 于是得到方程组 1 圆的标准方程 1 方程 x a 2 y b 2 m 当m 0时 表示圆心为c a b 半径为的圆 当m 0时 表示一个点c a b 当m 0时 不表示任何图形 2 确定圆的方程的方法及步骤 直接代入法根据已知条件求得圆心坐标和半径 直接写出圆的标准方程 待定系数法第一步 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 第二步 根据条件列方程组求得待定系数a b r 第三步 将求得的值代入所设的方程中去 得到所求圆的标准方程 3 在具体问题的求解过程中 应灵活运用几何性质 如弦的垂直平分线过圆心 半弦长 弦心距 半径长构成的勾股关系 2 特殊位置的圆的方程 3 点与圆的位