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当代中学生报2014年高考泄露天机数学一、选择题5.函数的图象大致是( )5.A 因为，所以函数是偶函数,其图象关于轴对称应排除B、D；又因为当 时, , ，所以选A.6.设函数，且其图象关于直线对称，则( ).（A）的最小正周期为，且在上为增函数（B）的最小正周期为，且在上为减函数（C）的最小正周期为，且在上为增函数（D）的最小正周期为，且在上为减函数6.B ，函数的图象关于直线对称，函数为偶函数，函数在上为减函数.7. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )(A) (B) (C) (D) 7.C 此三棱柱为正三棱柱，体积为的球体的半径为，由此可以得到三棱柱的高为，底面正三角形中心到三角形各边的距离均为，故可得到三角形的高是，三角形边长是，所以三棱柱的表面积为.8.已知直线平面，直线平面，给出下列命题,其中正确的是( ). （A） （B） （C） （D） 8.A .11. 如图，已知为内部（包括边界）的动点，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是（ ）（A） （B）（C） （D）11.B 12.设的内角的所对的边成等比数列，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 12. C 根据成等比数列,有,则,根据三角形三边关系,有,所以,即,消掉得,化简得：，两边同时除以，可得，解得.则.13. 如图，半径为2的半圆有一内接梯形，它的下底是O的直径，上底的端点在圆周上若双曲线以为焦点，且过两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的实轴长为( ).（A）1 （B）22 （C）1 （D）2214.若在区间和内各取一个数，分别记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为( ).（A）（B）（C）（D）14.B 15.函数的图象如图所示,则( ).（A）8 （B） 8 （C） （D）15. 16.中，角成等差数列是成立的( ).（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件16.A 若成等差数列，则，.若，则，即，或，即或.17.对于上可导的任意函数，若满足，则必有( ).（A） （B）（C） （D）17.C ，当时，则函数在上单调递减，当时，则函数在上单调递增，即函数在处取得最小值，则将两式相加得18.已知点三点不共线，且有，则有( ). (A) (B)(C) (D)18.B 设所对的边分别为，由，得，又由正弦定理得，,所以在中，有，所以，所以.19.（理科）设的展开式的各项系数和为，二项式系数和为，若，则展开式中的系数为（ ）（A） （B） （C） （D）19.B 20.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为( ).（A）2014 （B）2015 （C）4028 （D）403020.C 令，得，再令，将代入可得.设，则，所以.又因为，所以可得，所以函数是递增的，所以.又因为，所以的值为4028.2、 填空题23.如图，在直角梯形中，是线段上一动点，是线段上一动点，则的取值范围是 23. 建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以，所以，,所以.24.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点，使得，则的取值范围为_.24. 由题意知,设,由得，解得(舍)或,由得的取值范围为.25.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足，, 则的取值范围是 .25. 26.在数列中，为数列的前项和且，则26. 27.一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如下，、分别为、的中点.ABC1A1B1主视图左视图俯视图 C下列结论中正确的是_.（填上所有正确项的序号） 线与 相交；/平面；三棱锥的体积为.27. 取的中点D，连结、.由于、分别是所在棱的中点，所以可得平面,平面,所以平面.同理可证平面.又,所以平面平面,所以直线与 相交不成立，错误；由三视图可得平面.所以平面，所以，又易知，所以平面，所以，正确； 正确；因为，所以正确.综上，正确.28.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .28. 由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.(1)令，则.令得，当时，；当时，所以在上是增函数，在是减函数，所以，所以.(2) 令，则，因为，所以，所以，所以在上是增函数.易知当时，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.综上所述，即实数的取值范围是.29.设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使（为常数）成立。则称函数在上的“均值”为.已知四个函数：；上述四个函数中，满足在定义域上的“均值”为的函数是 （填上所有满足条件函数的序号）29. 对于函数 ，定义域为 ，设 ，由 ，得 ，所以，所以函数是定义域上“均值”为1的函数；对于函数 ，定义域为 ，设 ,由得 ，当时 ， ，不存在实数 的值，使 ，所以该函数不是定义域上“均值”为1的函数；对于函数 ，定义域是 ，设 ，得 ，则 ，所以该函数是定义域上“均值”为1的函数； 对于函数 ，定义域为 ，设 ,由 ，得 ，因为，所以存在实数，使得 成立，但这时的取值不唯一，所以函数不是定义域上“均值”为1的函数. 30. 已知点点是线段的等分点，则= 30. 由题设，知 ， ， ， ， ， ,所以 ， ， ， ， ， , , = ,3、 解答题33.已知各项均不为零的数列，其前项和满足.在等差数列中，且是与的等比中项.(1)求和，(2)记，求的前n项和.33.解： .当时，；当时，.(2)当时，；当时，综上，当时，；当时，35.（理）如图所示，四边形为直角梯形，为等边三角形，且平面平面，为中点ABECDP（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由 解：（1）证明如下：取的中点，连结，因为是正三角形，所以.因为四边形是直角梯形，所以四边形是平行四边形，.又，所以.又因为,所以平面，所以.（2)因为平面平面，所以平面，所以.如图所示，以为原点建立空间直角坐标系. ABECDPyxzO则，所以 ,， 设平面的一个法向量为，则 ，令，则,所以.同理可求得平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（3）设，因为，所以，,.依题意得即解得 ，.符合点在内的条件.所以存在点，使平面，此时.36.某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元（1）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；（2）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？36.解：（1）设摩天轮上总共有个座位，则，即，定义域为. （2）当时，.令，则， ，.当时，即在上单调递减，当时，即在上单调递增，在时，y取到最小值，此时座位个数为个 37.已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.（1）求的取值范围；（2）设为上的一点，且，过两点分别作的切线，记两切线的交点为. 判断四边形是否为梯形，并说明理由.解：（1）抛物线的焦点为.由题意，得直线的方程为，令，得，即直线与y轴相交于点.因为抛物线的焦点在直线的下方，所以，解得，因为，所以.（2）结论：四边形不可能为梯形.理由如下：假设四边形为梯形.依题意，设，联立方程消去y，得，由韦达定理，得，所以.同理，得.对函数求导，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为，抛物线在点处的切线的斜率为.由四边形为梯形，得或.若，则，即，因为方程无解，所以与不平行.若，则，即，因为方程无解，所以与不平行，所以四边形不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形不可能为梯形.38. 数列的首项为（），前项和为，且（）设，（）（1）求数列的通项公式；（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；（3）当时，试求三个正数，的一组值，使得为等比数列，且，成等差数列38.解：（1）因为，当时，-得，（）， 又由，得， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以（） （2）当时， 由，得，（*），当时，若，则（*）式不成立当时，（*）式等价于，当时，（*）式成立；当时，有，即恒成立，所以；当时，有，；当时，有， 综上，的取值范围是 （3）当时， ， 所以当时，数列是等比数列，所以 又因为，成等差数列，所以，即，解得 从而， 所以，当，时，数列为等比数列，且，成等差数列 39.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴的一个端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）求 面积的最大值，并求此时直线的方程.39.解：（1）由已知得到,所以,即.又椭圆经过点,所以,解得,所以椭圆的方程是.（2）因为直线且两直线都过点,当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以,由得,所以,所以.令,则,.当,即时,等号成立,故面积的最大值为,此时直线的方程为.当的斜率为0,即时, ;当的斜率