高考数学第一轮总复习 24函数的单调性经典实用学案（PPT） 新人教版.ppt

基础知识一 单调性定义1 单调性定义 给定区间d上的函数f x 若对于 d 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则f x 为区间d上的增函数 对于 d 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则f x 为区间d上的减函数 说明 单调性与单调区间密不可分 单调区间是定义域的子区间 单调性是函数在某一区间的 整体 性质 因此 定义中的x1 x2具有任意性 任意的x1 x2 任意的x1 x2 2 证明单调性的步骤 证明函数的单调性一般从定义入手 也可以从导数入手 1 利用定义证明函数单调性的一般步骤是 2 设函数y f x 在某区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 任取x1 x2 d 且x1 x2 作差f x1 f x2 并适当变形 依据差式的符号确定其增减性 二 单调性的有关结论1 若f x g x 均为增 减 函数 则f x g x 函数 2 若f x 为增 减 函数 则 f x 为函数 3 互为反函数的两个函数有的单调性 4 y f g x 是定义在m上的函数 若f x 与g x 的单调性相同 则其复合函数f g x 为 若f x 与g x 的单调性相反 则其复合函数f g x 为 5 奇函数在其对称区间上的单调性 偶函数在其对称区间上的单调性 仍为增 减 减 增 相同 增函数 减函数 相同 相反 三 函数单调性的应用有 1 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小 2 求某些函数的值域或最值 3 解证不等式 4 作函数图象 易错知识一 不理解函数单调性概念而失误 1 函数f x 的单调减区间为 答案 0 和 0 2 已知f x 为偶函数 在 0 为减函数 若f 0 f 则方程f x 0的根的个数是 答案 2 二 求函数的单调性时忽视函数定义域而失误 3 函数y log0 7 x2 3x 2 的单调性为 答案 在 1 上为增函数 在 2 上为减函数 三 函数与方程思想应用失误 4 若则a b c的大小关系为 答案 c a b解题思路 方法一 方法二 构造函数f x x 0 y 令y 0 lnx 1 x e f x 在 e 上是减函数 在 0 e 上是增函数 解法一 a 5 4 3 e f 5 f 4 f 3 b a c 解法二 由y 在 e 上为减函数 又e 3 5 b c a c 6a 6b ln8 ln9 0 a b a c 10a 10b ln32 ln25 0 a c 故b a c 错因分析 误区1 解题思路不清 找不到解题方法 不会构造函数f x x 0 误区2 能构造出函数 判断出函数单调性 但2 3 5不在一个单调区间 而a 这一巧变学生很难过渡 解法二中比较a b a c的技巧 在于系数找最小公倍数 启示 思想方法是数学中考查的一个重点 方法灵活多变 平时学生注意多积累 回归教材1 下列函数中 在区间 0 2 上是增函数的是 a y x 1b y c y x2 4x 5d y 解析 a是减函数 b中y2 x x 0 由二次函数的图象可知x 0 2 上是增函数 c中y x 2 2 1在x 0 2 上是减函数 d是反比例函数是减函数 答案 b 2 教材p1601题改编 函数y 2k 1 x b在 上是减函数 则 a k b k c k d k 解析 x r y 2k 1 x b是减函数 2k 1 0 得k 答案 d 3 教材p602题改编 反比例函数y 若k 0 则函数的递减区间是 若k 0 则函数的递增区间是 答案 0 0 0 0 4 2009 华东师大附中 若函数y mx2 x 5在 2 上是增函数 则m的取值范围是 解析 根据题意可得 当m 0 y x 5在 2 上是增函数 当m 0时 且 2 解得 0 m 综上所述 m的取值范围是0 m 答案 0 m 5 函数f x log5 x2 2x 8 的增区间是 减区间是 答案 4 2 例1 已知函数f x log2 求函数f x 的定义域 并讨论它的奇偶性和单调性 解析 1 x须满足所以函数f x 的定义域为 1 0 0 1 2 因为函数f x 的定义域关于原点对称 且对定义域内的任意x 有 研究f x 在 0 1 内的单调性 任取x1 x2 0 1 且设x1 x2 则 得f x1 f x2 0 即f x 在 0 1 内单调递减 由于f x 是奇函数 所以f x 在 1 0 内单调递减 总结评述 由于函数f x 是奇函数 只要判断其在 0 1 上的单调性便可知道它在对称区间 1 0 上的单调性 故在判断其单调性时 首先在 0 1 上任取x1 x2 否则 若直接在 1 0 0 1 上任取x1 x2 则f x1 f x2 变形后的符号便不能判断 综合利用函数的单调性与奇偶性是解决本题的关键 判断下列函数的单调性并证明 1 f x x 1 2 f x x2 2x 1 x 1 3 f x x 1 命题意图 先判断单调性 再用单调性的定义证明 1 采用通分进行变形 2 采用因式分解进行变形 3 采用分子有理化的方式进行变形 解析 1 函数f x 在 1 上为减函数 利用定义证明如下 任取x1 x2 1 且 1 x1 x2 则有x1 x2 0 2 函数f x x2 2x 1在 1 上为减函数 证明如下 任取x1 x2 1 且x2 x1 1 x2 x1 1 x2 x1 0 x2 x1 2 x2 x1 2 0 f x1 f x2 x2 x1 x2 x1 2 0 即有f x1 f x2 故函数f x x2 2x 1在 1 上为减函数 3 函数f x 在 1 上为增函数 证明如下 任取x1 x2 1 且 1 x1 x2 则有x1 x2 0 总结评述 对于给出具体解析式的函数 判断或证明其在某区间上的单调性问题 可以结合定义 基本步骤为取点 作差或作商 变形 判断 求解 可导函数则可以利用导数解之 例2 求下列函数的单调区间 y log x 1 y 1 y x3 3x 分析 判定函数的单调性方法有图象法 定义法 利用已知函数的单调性法 求导法 研究复合函数的单调性 应首先求函数的定义域 然后在函数的定义域内进行求解 判断或证明可导函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 求f x 确认f x 在 a b 内的符号 作出结论 解答 方法1 设u log x 1 由u 0得 1 x 0由u 0得x 0当 1 x 0时 u为减函数y u 为增函数 1 0 为y log x 1 的减区间当x 0时 u为减函数 y u 为减函数 0 为y log x 1 的增区间 方法2 作函数y log x 1 的图象由图象可知y log x 1 的单调增区间为 0 单调减区间为 1 0 由x2 3x 2 0得x 2或x 1设u x x2 3x 2 则y 1 x 1 时 u x 为减函数x 2 时 u x 为增函数而u 0时 y 1 为减函数 y 1 的单调增区间为 1 单调减区间为 2 y 3x2 3 3 x 1 x 1 令y 0得x 1或x 1 由y 0得 1 x 1 y x3 3x的增区间为 1 和 1 减区间为 1 1 求下列函数的单调区间 并确定每一单调区间上的单调性 1 y x2 3 x 2 y x2 x 3 y log2 6 x 2x2 解析 1 y 由图象可知 y在 及 0 上分别为减函数 在 0 及 上分别为增函数 例3 已知函数f x 满足 对任意的实数x y都有f x y f x f y 2xy 1成立 且f 1 0 当x 1时f x 0 1 判断函数f x 在 1 上的单调性 2 在 1 的条件下解不等式f x2 2x 3 120 命题意图 利用单调性的定义结合题目所给的等式判断f x 的单调性 最后利用单调性解不等式 解析 1 设x1 x2 1 则x1 x2 0 x1 x2 1 1 所以f x1 x2 1 0 又f x1 x2 1 f x1 x2 f 1 2 x1 x2 1 所以f x1 f x2 f x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 2x2 x1 x2 1 f x1 x2 1 2 x1 x2 x2 1 0 所以f x1 f x2 即f x 在 1 上单调递增 2 令y 1 则f x 1 f x 1 2x 所以f x 1 f x 2x 1 所以f 2 f 1 3 f 3 f 2 5 f 4 f 3 7 f n f n 1 2 n 1 1 2n 1 上述等式两边分别相加得f n f 1 3 5 7 2n 1 n2 1 又因为f 1 0 所以f n n2 1 而当n2 1 120时 n 11 所以不等式f x2 2x 3 120等价于f x2 2x 3 f 11 又因为x2 2x 3 x 1 2 2 2 所以不等式又等价于x2 2x 3 11 所以 2 x 4 即不等式f x2 2x 3 120的解集为 x 2 x 4 总结评述 判断抽象函数单调性的基本方法是定义法 其关键是根据所给条件判断f x1 f x2 的符号 多数情况下需要设法构造出x1 x2的因式 求解与抽象函数有关的不等式问题 主要依据函数的单调性 其中要把不等式中出现的常数转化为某自变量的函数值 把不等式两边都化为同一自变量的函数值的形式 然后根据单调性得到自变量应满足的不等式再进行求解 已知函数f x 的定义域是 0 当x 1时 f x 0 且f x y f x f y 1 求f 1 2 证明f x 在定义域上是增函数 3 如果f 1 求满足不等式f x f 2的x的取值范围 分析 1 的求解是容易的 对于 2 应利用单调性定义来证明 其中应注意f x y f x f y 的应用 对于 3 应利用 2 中所得的结果及f x y f x f y 进行适当配凑 将所给不等式化为f g x f a 的形式 再利用f x 的单调性来求解 解析 1 令x y 1 得f 1 2f 1 故f 1 0 总结评述 本题中的函数是抽象函数 涉及了函数在某点处的值 函数单调性的证明 不等式的求解 在本题的求解中 一个典型的方法技巧是根据所给式子f x y f x f y 进行适当的赋值或配凑 这时该式及由该式推出的f f x 实际上已处于公式的地位 在求解中必须依此为依据 1 单调性首先要求函数的定义域 单调区间是