【优化方案】高中数学 第3章3.2.3空间的角的计算精品课件 苏教版选修21.ppt

3 2 3空间的角的计算 学习目标1 理解直线与平面所成角的概念 2 能够利用向量方法解决线线 线面 面面的夹角求法问题 3 体会空间向量解决立体几何问题的三步曲 课堂互动讲练 知能优化训练 3 2 3 课前自主学案 课前自主学案 1 异面直线所成的角 过空间任意一点o 作两异面直线a b的平行线a b 则a b 所成的角便是异面直线a b所成的角 范围是 0 90 2 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的 叫做这条直线和平面所成的角 3 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 该直线叫二面角的棱 两个半平面称为二面角的面 锐角 3 平面与平面所成的角若n1 n2分别为平面 的法向量 则二面角 l 的平面角为 n1 n2 如图 1 或 n1 n2 如图 2 且cos n1 n2 怎样用向量法求直线与平面的夹角 提示 1 建系 求出有关点的坐标 2 求直线的方向向量s及平面的法向量n 3 计算cos s n 4 设直线与平面的夹角 由sin cos s n 求出角 课堂互动讲练 取两异面直线的方向向量 用向量夹角公式求解 解题时若求出的向量夹角为钝角 则异面直线所成的角为其补角 若求出的向量夹角为锐角或直角 则可以直接表示异面直线所成的角 名师点评 建空间直角坐标系时 要充分利用题目中的垂直关系以方便求点的坐标 本题的建系是关键 另外用向量法求异面直线的夹角问题比用几何法求解更简便 但要注意夹角的范围 取直线的方向向量和平面的法向量 用向量的夹角公式求出这个角 若该角为锐角或直角 则它的余角就是直线与平面所成的角 若该角为钝角 则它的补角的余角为直线与平面所成的角 如图正方体abcd a1b1c1d1中 e是c1c中点 求be与平面b1bd所成角的余弦值 名师点评 用向量法可避开找角的困难 但计算时要准确 同时还要注意线面角与直线的方向向量与平面的法向量夹角的关系 自我挑战1在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱b1c1 ad的中点 求直线ad与平面bmd1n所成角的余弦值 先求出两平面的法向量 再利用向量夹角公式求角 则该角或它的补角就等于二面角的平面角 规范解答 如图 以点c为坐标原点 以cb cf和cd分别作为x轴 y轴和z轴建立空间直角坐标系 名师点评 二面角的求法往往有两种思路 一种是几何法 可以在两个半平面内作出垂直于棱的两条线段 找出二面角的平面角 这是几何中的一大难点 另一种是向量法 当空间直角坐标系容易建立 有特殊的位置关系 时 用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角 只需求出平面的法向量 经过简单的运算即可求出 有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小 相等或互补 但我们完全可以根据图形观察得到结论 因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的 1 用方向向量所成角表示异面直线所成角的大小时 若向量夹角为锐角 或直角 则等于异面直线所成的角 若向量夹角为钝角 则它的补角等于异面直线所成的角 2 直线与平面所成的角 用向量来求时 得到的不是线面角 而是它的余角 或补角的余角 应注意到线面角为锐角 或直角 3 用法向量来求二面角时应