函数压轴题精选.doc

1.已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x）=0的根，反之，g（f（x）=0的实数根都是f（x）=0的根。（1）求的值；（3分）（2）若a=0，求的取值范围；（6分）（3）若a=1，f（1）=0，求的取值范围。（7分）解：（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。（2）因为，所以，则=0的根也是的根。（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而所以当时，；当时，。（3），所以，即的根为0和1，所以=0必无实数根，（a）当时，=，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；（b）当时，=，即函数在，恒成立，又，所以，而，所以，所以不可能小于0，（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。所以2. 已知，函数 （I）当b0时，若对任意都有，证明 （II）当b1时，证明：对任意，的充要条件是； （III）当时，讨论：对任意，的充要条件。证：（1）依设，对任意，都有 因为 因为 （II） 必要性： 对任意，据此可以推出 即 对任意 因为b1，可以推出 即 充分性：因为，对任意，可以推出： 即 因为，对任意，可以推出 即 综上，当b1时，对任意，的充要条件是 （III）解：因为时，对任意：，即； 即 ，即所以，当时，对任意，的充要条件是3.设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列（）试求的关系，并求的通项公式；OcylxQ1Q2Q3a1a2a3r2r1（）当时，证明（）当时，证明（）解： ， （）证明：由a=1知 当 （）证明：由（）知，当a=1时，因此 = 4已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足和()证明，并且不存在，使得；()证明；()证明.证明：（I）任取，则由和 可知 ，从而 . 假设有，使得，则由式知矛盾不存在，使得（II）由 可知 由式，得 由和式知， 由、代入式，得 （III）由式可知 （用式） （用式）5.当时，求使成立的的集合；求函数在区间上的最小值（）由题意，当时，由，解得或；当时，由，解得综上，所求解集为()设此最小值为当时，在区间1，2上，因为，则是区间1，2上的增函数，所以当时，在区间1，2上，由知当时，在区间1，2上，若，在区间（1，2）上，则是区间1，2上的增函数，所以若，则当时，则是区间1，上的增函数，当时，则是区间，2上的减函数，因此当时，或当时，故，当时，故总上所述，所求函数的最小值6.设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（）求g(a)（）试求满足的所有实数a 解：（）要使t有意义，必须 t的取值范围是由得 （）由题意知即为函数的最大值注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。（1）当a0，函数的图像是开口向上的抛物线的一段，由上单调递增。（2）当a=0时，m(t)=t， （3）当a0时，此时由综上知，满足的所有实数a为：解法二：当 当，所以。因此，当当，由当要使，必须有此时。综上知，满足的所有实数a为： 7. 已知是偶函数且（1） 求函数的解析式 （2） 是否存在实数在区间上的值域为（3） 若不等式对于一切恒成立，求实数的取值范围8. 设函数 的最小值为，的两个实根为（1） 求的值（2） 若关于的不等式的解集为A，函数在A上不存在最小值，求的取值范围（3） 若求的取值范围9.已知函数.(1) 试证函数的图象关于点对称;(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和(3) 设数列满足: , . 设.若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.由 得所以, 点P的坐标为P.(2分)由点在函数的图象上, 得. 点P在函数的图象上.函数的图象关于点对称. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3) , 对任意的. 由、, 得即.(10分)数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, .(12分)即 m的最大值为6. (14分)10.ABC中，|AB|=|AC|=1，P1为AB边上的一点，从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4 （1）令BPn为xn，寻求BPn与（即）之间的关系。 （2）点列是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由； （3）若，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。解：（1）由|AB|=|AC|=1， 从而AB