广东省高三数学一轮复习 试题选编13 椭圆 理.doc

广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编13：椭圆一、选择题 （广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）在区间和分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）abcd 【答案】b分析:方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时,有 , 即,化简得,又, 画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示, 求得阴影部分的面积为,故 （广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（word版）设f1,f2是椭圆的左右焦点,若直线x =ma (m1)上存在一点p,使f2pf1是底角为300的等腰三角形,则m的取值范围是（）a1 m 2c1 m 【答案】a （广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（一）数学（理）试题）已知椭圆 的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为,则椭圆的方程为 【答案】b （广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为（）abc2d4【答案】a二、填空题 （2009高考(广东理)）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为_【答案】【解析】，则所求椭圆方程为.三、解答题 （广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆的圆心分别为,为一个动点,且.(1)求动点的轨迹m的方程;(2)是否存在过点的直线l与轨迹m交于不同的两点c、d,使得?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为和 根据椭圆的定义可知,动点的轨迹为以原点为中心,和为焦点,长轴长为的椭圆, 椭圆的方程为,即动点的轨迹m的方程为 (2)(i)当直线l的斜率不存在时,易知点在椭圆m的外部,直线l与椭圆m无交点,所以直线l不存在. (ii)设直线l斜率存在,设为,则直线l的方程为 由方程组得 依题意解得 当时,设交点,cd的中点为, 方程的解为 ,则 要使,必须,即 ,即 或,无解 所以不存在直线,使得 综上所述,不存在直线l,使得 （广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆: ()的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点m,求点m的轨迹的方程;(3)设o为坐标原点,取上不同于o的点s,以os为直径作圆与相交另外一点r,求该圆面积的最小值时点s的坐标.【答案】解:(1)解:由,得,再由,解得 由题意可知,即 解方程组得 所以椭圆c1的方程是 (2)因为,所以动点到定直线的距离等于它到定点(1,0)的距离,所以动点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线, 所以点的轨迹的方程为 (3)因为以为直径的圆与相交于点,所以ors = 90,即 设s (,),r(,),=(-,-),=(,) 所以 因为,化简得 所以, 当且仅当即=16,y2=4时等号成立 圆的直径|os|= 因为64,所以当=64即=8时, 所以所求圆的面积的最小时,点s的坐标为(16,8) （广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知f1,f2分别是椭圆c:的上、下焦点,其中f1也是抛物线c1:的焦点,点m是c1与c2在第二象限的交点,且.(1)求椭圆c1的方程;(2)已知a(b,0),b(0,a),直线y=kx(k0)与ab相交于点d,与椭圆c1相交于点e,f两点,求四边形aebf面积的最大值.【答案】 （广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）本小题满分14分)如图.已知椭圆的长轴为ab,过点b的直线l与x轴垂直,椭圆的离心率,f为椭圆的左焦点且=1 .(i)求椭圆的标准方程;(ii)设p是椭圆上异于a、b的任意一点,phx轴,h为垂足,延长hp到点q使得hp=pq.连接aq并延长交直线l于点m.n为mb的中点,判定直线qn与以ab为直径的圆o的位置关系.【答案】解:()易知a, b 又 ,解得 ()设则 所以直线aq方程 又点p的坐标满足椭圆方程得到: ,所以 直线 的方程: 化简整理得到: 即 所以 点 到直线的距离 直线与ab为直径的圆相切. （广东省珠海市2013届高三5月综合考试（二）数学（理）试题）已知椭圆的方程为,点分别为其左、右顶点,点分别为其左、右焦点,以点为圆心,为半径作圆;以点为圆心,为半径作圆;若直线被圆和圆截得的弦长之比为;(1)求椭圆的离心率;(2)己知,问是否存在点,使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为;若存在,请求出所有的点坐标;若不存在,请说明理由.af2f1ybxo【答案】解:(1)由,得直线的倾斜角为, 则点到直线的距离, 故直线被圆截得的弦长为, 直线被圆截得的弦长为, 据题意有:,即, 化简得:, 解得:或,又椭圆的离心率; 故椭圆的离心率为. (2)假设存在,设点坐标为,过点的直线为; 当直线的斜率不存在时,直线不能被两圆同时所截; 故可设直线的方程为, 则点到直线的距离, 由(1)有,得=, 故直线被圆截得的弦长为, 则点到直线的距离, ,故直线被圆截得的弦长为, 据题意有:,即有,整理得, 即,两边平方整理成关于的一元二次方程得 , 关于的方程有无穷多解, 故有:, 故所求点坐标为(-1,0)或(-49,0). (注设过p点的直线为后求得p点坐标同样得分) （广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆o相切.(1)求椭圆c1的方程;(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点,且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于,垂足为点p,线段的垂直平分线交于点m,求点m的轨迹的方程;(3)设与轴交于点q,不同的两点r、s在上,且满足,求的取值范围.【答案】解:(1)由直线与圆相切,得,即 由,得,所以, 所以椭圆的方程是 (2)由条件,知,即动点m到定点的距离等于它到直线的距离,由抛物线的定义得点m的轨迹的方程是 (3)由(2),知,设, 由,得 , ,当且仅当,即时等号成立 又, ,当,即时, 故的取值范围是 （广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解）已知直线经过椭圆:()的一个顶点和一个焦点.求椭圆的标准方程;设是椭圆上动点,求的取值范围,并求取最小值时点的坐标.【答案】依题意, 所以, , ,所以椭圆的标准方程为5分. ,当且仅当时, ,当且仅当是直线与椭圆的交点时, ,所以的取值范围是 . 设,由得 , 由 ,解得或 , 所求点为和 . （广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理）试题（word版） ）在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆的左右焦点.已知为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率;(2)设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程.boxyf1f2pam【答案】解:(1)设, 由题意,可得,即, 整理得,得(舍)或,所以 (2)由(1)知,可得椭圆方程为. 直线方程为 两点的坐标满足方程组,消去y并整理得 解得得方程组的解 不妨设,设的坐标为则 , 由得. 于是 由得, 化简得, 将代入得, 由得.因此,点的轨迹方程是 （广东省惠州市2013届高三一调(理数)）已知椭圆(0)的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程:(2)设直线与椭圆相交于不同的两点.已知点的坐标为(-,0),点(0,)在线段的垂直平分线上,且=4.求的值.【答案】(1)解:由,得,再由,得 由题意可知, 解方程组 得 所以椭圆的方程为 (2)解:由(1)可知a(-2,0).设b点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k, 则直线l的方程为, 于是a,b两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理, 得 由得 设线段ab是中点为m,则m的坐标为以下分两种情况: (1)当k=0时,点b的坐标为(2,0).线段ab的垂直平分线为y轴,于是 当k时,线段ab的垂直平分线方程为 令x=0,解得 由 整理得 综上 （广东省珠海市2013届高三9月摸底（一模）考试数学（理）试题）已知椭圆()的右焦点为,离心率为.(1)若,求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于,两点,分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上,且,求的取值范围.【答案】解:(1)由题意得,得 结合,解得, 所以,椭圆的方程为 (2)由 得. 设. 所以, 依题意, 易知,四边形为平行四边形, 所以, 因为, 所以 即 , 将其整理为 . 因为,所以, 所以,即 （广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆的中心在原点,离心率,右焦点为.求椭圆的方程;设椭圆的上顶点为,在椭圆上是否存在点,使得向量与共线?若存在,求直线的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:设椭圆的方程为, 椭圆的离心率,右焦点为, , , , 故椭圆的方程为 假设椭圆上是存在点(),使得向量与共线, , ,即,(1) 又点()在椭圆上, (2) 由、组成方程组解得,或, ,或, 当点的坐标为时,直线的方程为, 当点的坐标为时,直线的方程为, 故直线的方程为或 （广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆的离心率为,其左焦点与抛物线的焦点相同.()求此椭圆的方程;()若过此椭圆的右焦点的直线与曲线只有一个交点,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点,使得,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:()抛物线的焦点为,它是题设椭圆的左焦点.离心率为, 所以,.由求得. 因此,所求椭圆的方程为 (*) ()(1)椭圆的右焦点为,过点与轴平行的直线显然与曲线没有交点.设直线的斜率为, 若,则直线过点且与曲线只有一个交点,此时直线 的方程为; 若,因直线过点,故可设其方程为,将其代入 消去,得.因为直线与曲线只有一个交点,所以判别式,于是,从而直线的方程为或.因此,所求的直线的方程为或或. (2)由(1)可求出点的坐标是或或. 若点的坐标是,则.于是=,从而,代入(*)式联立: 或,求得,此时满足条件的点有4个: . 若点的坐标是,则,点m到直线:的距离是, 于是有,从而, 与(*)式联立:或解之,可求出满足条件的点有4个:,. 若点的坐标是,则,点到直线:的距离是,于是有,从而, 与(*)式联立:或,解之,可求出满足条件的点有4个: ,. 综合,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求. （广东省“六校教研协作体”2013届高三第二次（11月）联考数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)已知动直线与椭圆相交于、两点.若线段中点的横坐标为,求斜率的值;已知点,求证:为定值.(本小题满分分)已知函数在处取得极值.(1)求实数的值; (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.【答案】解:(1)因为满足, ,解得,则椭圆方程为 (2)将代入中得 , 因为中点的横坐标为,所以,解得 由(1)知, 所以 .解:(1) 时,取得极值, 故解得经检验符合题意 (2)由知 由,得 令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根 当时,于是在上单调递增; 当时,于是在上单调递减 依题意有, 分 解得, (3) 的定义域为,由(1)知, 令得,或(舍去), 当时, ,单调递增; 当时, ,单调递减. 为在上的最大值. ,故(当且仅当时,等号成立) 对任意正整数,取得, . 故 （广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设椭圆的左右顶点分别为,离心率.过该椭圆上任一点作轴,垂足为,点在的延长线上,且.(1)求椭圆的方程; (2)求动点的轨迹的方程;(3)设直线(点不同于)与直线交于点,为线段的中点,试判断直线与曲线的位置关系,并证明你的结论.【答案】解析:(1)由题意可得, -zxxk , 所以椭圆的方程为 (2)设,由题意得,即, 又,代入得,即. 即动点的轨迹的方程为 (3)设,点的坐标为, 三点共线, 而,则, , 点的坐标为,点的坐标为, 直线的斜率为, 而, , 直线的方程为,化简得, 圆心到直线的距离, 所以直线与圆相切 （广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点、,若动点满足.(1)求动点的轨迹; (2)在曲线上求一点,使点到直线:的距离最小.【答案】解:(1)设动点,又点、, , 由,得, ,故,即, 轨迹是焦点为、长轴长的椭圆; 评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣分. (2)椭圆上的点到直线的距离的最值等于平行于直线: 且与椭圆相切的直线与直线的距离. 设直线的方程为 由,消去得 (*). 依题意得,即,故,解得. 当时,直线:,直线与的距离. 当时,直线:,直线与的距离. 由于,故曲线上的点到直线的距离的最小值为 当时,方程(*)化为,即,解得. 由,得,故. 曲线上的点到直线的距离最小 （广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）曲线都是以原点o为对称中心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点m的坐标是(0,1),线段mn是曲线的短轴,并且是曲线的长轴 . 直线与曲线交于a,d两点(a在d的左侧),与曲线交于b,c两点(b在c的左侧).(1)当=,时,求椭圆的方程;(2)若,求的值.【答案】解:(1)解:设曲线c1的方程为,c2的方程为() c1 ,c2的离心率相同, 令代入曲线方程,则 . 当=时,a,c 又,.由,且,解得 c1 ,c2的方程分别为, (2)令代入曲线方程,得 ,得 由于,所以(-,m),(,m) （广东省惠州市2013届高三10月第二次调研考试数学（理）试题）已知直线与椭圆相交于、两点,是线段上的一点,且点在直线上.(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦点关于直线 的对称点在单位圆上,求椭圆的方程.【答案】解:设、两点的坐标分别为, (1)由知是的中点, 由 得: , 点的坐标为 又点在直线上: (2)由(1)知,不妨设椭圆的一个焦点坐标为, 设关于直线 的对称点为, 则有解得: 由已知, , 所求的椭圆的方程为 （2012年广东理）20.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为;(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上,是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(1)设 由,所以设是椭圆上任意一点,则,所以当时,当时,有最大值,可得,所以当时, 不合题意故椭圆的方程为:(2)中,当且仅当时,有最大值,时,点到直线的距离为又,此时点（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点、,是平面内一动点,直线、的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点作直线与轨迹交于、两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.【答案】(1)依题意,有(), - 化简得: (),为所求动点的轨迹的方程- (2)依题意,可设、,则有 , 两式相减,得, 由此得点的轨迹方程为:().- 设直线:(其中),则 , - 故由,即, 解得:的取值范围是. - （广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.【答案】 (2)设,. （广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解）如图,已知点m0(x0,y0)是椭圆c:=1上的动点,以m0为切点的切线l0与直线y=2相交于点p.(1)过点m0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点t,使得以pm0为直径的圆恒过点t?若存在,求出点t的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:, 切线的斜率为:k=,所以,直线l1的方程为:, 与y轴交点纵坐标为:y=-= 因为,所以,所以,当切点在第一、二象限时 l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:,则对称性可知 l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:. (2)依题意,可得ptm0=90,设存在t(0,t),m0(x0,y0) 由(1)得点p的坐标(,2),由可求得t=1 所以存在点t(0,1)满足条件. （广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,点在椭圆 上,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为,且与交于点.(1) 求椭圆的方程;(2) 是否存在满足的点? 若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解法1:设椭圆的方程为, 依题意: 解得: 椭圆的方程为 解法2:设椭圆的方程为, 根据椭圆的定义得,即, , 椭圆的方程为 (2)解法1:设点,则, , 三点共线, (苏元高考吧:) , 化简得:. 由,即得 抛物线在点处的切线的方程为,即. 同理,抛物线在点处的切线的方程为 . 设点,由得:, 而,则 代入得 , 则,代入 得 ,即点的轨迹方程为. 若 ,则点在椭圆上,而点又在直线上, 直线经过椭圆内一点, 直线与椭圆交于两点 满足条件 的点有两个 解法2:设点, 由,即得 抛物线在点处的切线的方程为, 即 , . 点在切线上, . 同理, . 综合、得,点的坐标都满足方程 经过的直线是唯一的, 直线的方程为, 点在直线上, 点的轨迹方程为 若 ,则点在椭圆上,又在直线上, 直线经过椭圆内一点, 直线与椭圆交于两点 满足条件 的点有两个 解法3:显然直线的斜率存在,设直线的方程为, 由消去,得 设,则 由,即得 抛物线在点处的切线的方程为,即 , . 同理,得抛物线在点处的切线的方程为 由解得 , 点在椭圆上 . 化简得.(*) 由, 可得方程(*)有两个不等的实数根. 满足条件的点有两个 （广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（word版）已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(,).(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点的直线与该椭圆交于、两点,满足直线,的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围.xyopq【答案】解:(1)由题意可设椭圆方程为, 则, , 解的, 所以,椭圆方程为 (2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0, 故可设直线的方程为, 由 消去得, 则, 且, 故. 因为直线,的斜率依次成等比数列, 所以,即, 又,所以,即 由于直线,的斜率存在,且0,得且. 设为点到直线的距离,则, 所以的取值范围为 （广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于,两点.(1)求曲线的轨迹方程;(2)是否存在面积的最大值,若存在,求出的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.()由椭圆定义可知,点的轨迹c是以,为焦点,长半轴长为 的椭圆. 故曲线的方程为 ()存在面积的最大值 因为直线过点,可设直线的方程为 或(舍). 则 整理得 由. 设. 解得 , . 则 . 因为 设,. 则在区间上为增函数. 所以. 所以,当且仅当时取等号,即. 所以的最大值为 （广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学（理）试题）已知点是圆上的动点,圆心为,是圆内的定点;的中垂线交于点.(1)求点的轨迹的方程;(2)若直线交