矢量分析与场论_2.doc

第二章 场论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。2.1 场1、 场的概念设有一个区域（有限或无限），如果内每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域中确定了该物理量的一个场。若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A，其中表示区域中的点。当取顶了直角坐标系以后，空间中的点由它的三个坐标所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数 （2.1.1）来表示。同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A （2.1.2）来表示。从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面有关章节的内容，并赋予它新的含义。2、 数量场的等值面在数量场中，为了直观地研究数量在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。所谓等值面，是指由场中使函数取相同数值的点所组成的曲面。例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。显然，数量场的等值面方程为（C为常数）。由隐函数存在定理知道，在函数为单值，且连续偏导数不全为零时，这种等值面一定存在。给常数以不同的数值，就得到不同的等值面。这些等值面充满了数量场所在的空间，而且互不相交。这是原因数量场中的每一点都有一等值面 （2.1.3）通过；而且由于函数为单值，一个点就只能在一个等值面上。例 2.1.1 求数量场经过点的等值面方程。解 数量场的等值面族是或以代入上式得，。于是经过点的等值面方程为或 同样，在函数所表示的平面数量场中，具有同数值的点，就组成此数量场的等值线：比如地形图上的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等等，都是平面数量场中等值线的例子。3、矢量场的矢量线在前面，我们已经等值面来形象地描绘了数量场。对于矢量场A，也可以用它的矢量线来形象地描绘它。设A=A的坐标表示式为A=i+j+k其中函数为矢量A的三个坐标，以后若无特别申明，都假定它们为单值、连续且有一阶连续偏导数。矢量A的矢量线是这样的曲线，在它上面每一点的切线方向和对应于该点的矢量A的方向相同，如图2.1.1。下面讨论怎样求出矢量场A的矢量线方程。设为矢量线上任一点，其矢径为rijk则微分r ijk位于矢量线的切线上。由两矢量平行，其对应反量必成比例，可得矢量线的微分方程 （2.1.6）解之，可得矢量线族。在A不为零的假定下，由微分方程的存在定理知道，当函数为单值、连续且有一阶连续偏导数时，这族矢量线不仅存在，并且也充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。在流体力学中，矢量线就是流速场中的流线，在物理学的静电场中，矢量线是电力线，而在磁场中，矢量线是磁力线。显然对于场中的任意一条矢量线（非矢量线），在其上的每一点处，必有且仅有提条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线的曲面，称为矢量面（图2.1.2）。显然在矢量面上的任一点处，场的对应矢量A都位于此矢量面在该点的切平面内。特别，当为一封闭曲线时，通过的矢量面，就构成一管形曲线，又称之为矢量管（图2.1.3）。例2.1.2 设点电荷位于坐标原点，则在其周围空间的任一点处所产生的电场强度为Er （2.1.7）其中为介电系数，rijk为点的矢径；而r|，求电场强度E的矢量线。解 由（2.1.7）式E ijk）则矢量线所应满足的微分方程为从而有解得 （为任意常数）这就是电场强度E的矢量线方程。其图形是一族从坐标原点出发的射线，在电学中称为电力线。2.2 数量场的方向导数和梯度因为函数就表示一个数量场，所以函数的向导数和梯度也称为数量场的方向导数和梯度，本节将进一步讨论它们的性质及运算法则。1、方向导数由上节知道，域上的数量场中，数量的分布状况可以借助于等值面或等值线来进行了解。但是这只能大致地了解到数量场在场中的总分布情况，是一种整体性的了解。而研究数量场的另一个重要方面，就是要对它作局部性的了解，考察数量在场中各点领域内沿每一方向的变化情况。也就是要考察函数在域中各点处沿每一方向的方向导数。2、数量场的梯度为使讨论简便计，我们首先研究平面数量场。给定一平面数量场，相当于给定了一个二元函数。首先，我们将讨论函数沿平面上任一方向的变化率。设函数在点的某一邻域内有定义，自点引射线，它与轴正向的夹角为，于是的方向可由单位向量ij确定。在射线上另取一点（图2.2.1），这时线段的长度为函数的增量为其比值称为函授数沿方向的平均变化率。当点沿射线趋向于点时，如果平均变化率的极限存在，则称此极限值为函数在点沿方向的方向导数，记作或，即 （2.2.1）根据方向导数的定义，因为总是正的，因而刻划的是函数沿射线方向（单向）的变化率，这与前面所学过的偏导数的定义有所不同，如其中的的值可正可负。因此，如果函数在点沿轴正向i的方向导数存在，其值就是；在点沿轴负向（-i）的方向导数存在，其值就是。方向导数和偏导数是两个不同的概念。下面给出方向导数的存在条件及计算方法：定理2.2.1 如果函数在点处都有连续的偏导数，则该函数在点处沿任一方向的方向导数都存在，且有 （2.2.2）其中是轴正向到方向的转角（即ij）。证 因为函数在点处有连续的偏导数，所以函数在点处可微分，从而函数增量可写为，二边除以，可得令取极限，得到例 2.2.1 求函数在点沿从点到点的方向的方向导数。解 这里的方向向量为i+2j，且，因而而故所求的方向导数为方向导数概念可以推广到三元及元函数。例如，设三元函数在空间一点的某个邻域内有定义，对给定的方向，且的方向角为，则函数在点沿方向的方向导数为其中。类似地，当函数在点处有连续偏导数时，该函数在点沿方向的方向导数为 （2.2.4）定理2.2.2 若在有向曲线上取定一点作为计算弧长的起点，并以之正向作为增大的方向；为上的一点，在点处沿之正点向作一与相切的射线（图2.2.2），则在点处，当函数可微、曲线光滑时，函数沿方向的方向导数就等于函数对的全导数，即有下式成立 （2.2.5）证 设曲线以为参数的参数方程为则沿曲线，函数又由于在点处，函数可微、曲线光滑，按复合函数导定理，即得对的全导数注意到是曲线的正向切线的方向余弦，若将其写成，则与（2.2.4）式比较，即知有上面讲的是函数沿直线的方向导数。此外，有时还需要研究函数沿曲线的方向导数，其定义如下。定义2.2.2 如图2.2.2 ，从点出发沿之正向取一点，记弧长。若当时，比式 的极限存在，则称它为函数在点处沿曲线（正向）的方向导数，记作，即 （2.2.6）定理2.2.3 若在点处函数可微、曲线光滑，则有 （2.2.7）证 由于在点处函数可微、曲线光滑，故全导数存在。而按定义时间上是一个右极限故当存在时，就有.比较（2.2.5）与（2.2.7）两式，得重要推论：推论 若在点处函数可微、曲线光滑，则有 （2.2.8）即函数在点处沿曲线（正向）的方向导数与函数在点处的沿切线方向（指向的正向一侧）的方向导数相等。例 2.2.2求函数在点处沿曲线朝增大的一方的方向导数。解 根据（2.2.8）式，只要求出函数沿曲线在点处沿增大方向的切线方向导数即可。为此，将所给曲线方程写成矢量形式r=ij=ij其导矢i j就是曲线沿增大方向的切向矢量。以点的坐标代入，得i+4 j其方向余弦为又函数在点处的偏导数于是，所求的方向导数为2、梯度的定义和性质方向导数解决了函数在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿其中哪个方向的变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？这是在科学技术中常常需要探讨的问题。为了解决这个问题，我们来分析方向导数的公式 （2.2.9）其中为方向的方向余弦，也就是这个方向上的单位矢量ijk的坐标。若把公式（2.2.9）右端的其余三个数也视为一个矢量G的坐标，即取G=i+j+k则公式（2.2.9）可以写成G与的数量积G=| G |（G） （2.2.10）显然，G在给定的点处为一固定矢量。从上式不难看出：（1） 当与G重合且同向时，取得最大值|G|，也就是函数沿着矢量G的方向增加得最快；当与G反向时，取得最小值-|G|，也就是沿着G的反方向减少得最快。（2） 当与G正交，即时，这说明在这个方向保持不变。（3） 当与G既不重合又不正交时，取不为零的值，而其绝对值小于|G|。由此可见，矢量G的方向就是函数变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。我们把G叫做函数在给定点处的梯度。一般，我们有如下定义。定义2.2.3 若在数量场中的一点处，存在这样一个矢量G，其方向为函数在点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量G为函数在点处的梯度，记作，即G。梯度的这个定义是与坐标系无关的，它是由数量场中数量的分布所决定的。上面，我们已借助于方向导数的公式找出了它在直角坐标系中的表达式为i+j+k （2.2.11）梯度矢量具有下面两个重要性质（图2.2.3）。（）函数在点处沿方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。写作其中为l方向的单位矢量。（）数量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的一方。因为在点处的坐标正好是点的等值面的法线方向数，故知梯度即是其法矢量，因此它持垂直于等值面。又由于函数沿梯度方向的方向导数，这说明函数沿梯度方向是增大的，也就是梯度指向函数增大的一方。梯度的这两个性质，表明梯度矢量和方向导数以及数量场的等值面之间，存在这一种比较理想的关系。这就是使得梯度成为研究数量场时的一极为重要的概念，从而在科学技术问题中，也就有着比较广泛的应用。如果对于的定义域中的每一点处都对应着一个梯度矢量，那末从数量场就确定一个由梯度矢量所形成的场梯度场。这样，对数量场的研究就可能转化为对梯度场的研究。3、梯度的运算法则我们把函数的梯度写成下面的形式：ijk =( ijk)u为方便之计，记 ijk并称之为向量微分算子或哈米尔顿（Hamilton）算子算子。记号可读作：“纳普拉（Nabla）”或“代尔（del）”。这样，函数的梯度可简单地表示成ijk容易验证梯度运算满足以下基本公式：（1） 或（2）或（3） 或（4） 或（5） 或（6） 或例2.2.3 求数量在点处的梯度及在矢量l=2i+2j-k方向的方向导数。解 ijk ijki -3 j -3 k又在l方向的单位矢量为ijk于是有 例 2.2.4 求函数的梯度，其中为大于零的实数，而为点的矢径r的模。解 将函数看成的函数，而又是的函数。由梯度运算的公式（6）有因为，所以ijk ijk 因而r例 2.2.5 设有一温度场，由于场中各点的温度不尽相同，因此就有热的流动，由温度较高的点流向温度较低的点。根据热传导理论中的富里哀（Fourier）定律：“在场中之任一点处，沿任一方向的热流强度（即在该点处位于单位时间内流过与该方向垂直的单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比”，即知在场中之任一点处，沿方向的热流强度为，其中比例系数，称为内导热系数，其前面的负号，表示热流的方向与温度增大的方向相反。由于等于梯度矢量在方向的投影，故知就等于矢量在方向的投影。若记q则有=| q |（q.l）由此可见，当的方向与q的方向一致时，（q.l）=1，此时热流强度取得最大值| q |。这说明在场中之任一点处，矢量q的方向表达了热流强度最大的方向，其模也正好表示最大热流强度的数值。因此称q为热流矢量，它是传热学中的一个重要概念。2.3 矢量场的通量及散度1、 通量先看一个例子，设有流速场（不依赖于时间，只与位置有关），其中流体是不可压缩的（即流体密度不变），为了简便，不妨假定其密度为1。我们来计算在单位时间内流体向正向一侧流过某一光滑曲面（其面积记为）的流量（图2.3.1）。在曲面上任取一点与包含这点在内的一曲面元素。过引曲面的法矢量n。它的方向与曲面的正向相对应。在单位时间内，流体流过曲面元素的流量，充满以为底，为母线的柱体（图2.3.1）。这柱体的高是其母线在法矢量n上的投影。因此，若以n表示点处的单位法矢量，则流过这曲面元素的流量，即柱体的体积为 n （2.3.1）若记ds= nds为在点处的这样一个矢量，其方向与n一致，其模等于面积，则（2.3.1）式又可以写为dS) （2.3.2）沿着曲面积分，就得到在单位时间内，流过曲面的流量n）S （2.3.3）当与n成锐角时，是正的，而当与n成钝角事，是负的。因此，上式给出的量是个代数和，而不是绝对值。特别地，当为封闭曲面时，曲面的正向一侧一般规定为外侧，从而法矢量的正向取为朝外，此时积分式（2.3.3）常表示成n）S （2.3.4）由上述讨论可知，流体沿着封闭曲面正向一侧的流动，就是流体从曲面所包围域内流出这曲面。因此，若式（2.3.4）的计算结果为负值，则表示流体的总体流动是“流入”而非“流出”。当式（2.3.4）中的积分值时，表明“流出”与“流入”相等。如果，则表示“流出”多于“流入”，此时在内必有产生流体的泉源。当然，也可能还是有排泄流体的漏洞，但所产生的流体必定多于排泄的流体。因此时，不论内有无漏洞，都称内有正源；同理，当时，称内有负源。这两种情况，统称为内有源。但是，当时，我们不断言内无源。因为这时，在内可能出现既有正源又有负源，二者恰好相互抵消而使得的情况。定义2.3.1 对于矢量场，曲面积分A nAdS （2.3.5）叫做矢量场通过曲面正向一侧的通量，其中n仍是曲面上指定侧的单位法矢量。在直角坐标系中，设Aijk又dS= ndS ijk ijk则通量可以写成AS （2.3.6）当为封闭曲面时，积分（2.3.5）常表示成（A n）AdS （2.3.7）曲面上的单位法矢量n一般取为朝外。当式（2.3.7）中的积分大于零时，说明内有正源存在，那就是产生矢线的地方；而当积分值小于零时，说明内有负源存在，亦即使得矢线小时的地方。例 2.3.1 设由矢径rijk构成的矢量场中，有一个由圆锥面及平面所围成的封闭曲面，如图2.3.2 。试求矢量场r从内穿出的通量。解 以表示曲面的平面部分，以表示锥面部分，则rS rS+ rS右端第一个积分rS 其中为在面上的投影，是一个圆域：。对于右端第二个积分，只要注意到在上有rn，就有r S rn所以r S 例 2.3.2 在点电荷所产生的电场中，任何一点处的电位移矢量为Dr其中是点电荷到点的距离r是从点电荷指向点的单位矢量，设为以点电荷为中心，为半径的球面，求从内穿出的电通量。解 如图2.3.3 在球面上恒有，且r就是单位法矢量。所以DSrrdS 这表明当为正电荷时，球中有正源存在；当为负电荷时，球中有负源存在。对于一般的矢量场A或A由其穿过封闭有向曲面的通量的值，可知其内是否有正源或负源。但通量不能反映出源的强弱程度和源在内的分布情况。为此，我们引入矢量场的散度的概念。2、散度定义2.3.2 设有矢量场A，在场中任作包围点的封闭曲面，取其外侧，所包围的空间区域记为，其体积为，当时，若极限 （2.3.8）存在，则称此极限为矢量场A在点处的散度，记作divA。显然，式（2.3.8）中所以，场A在点的散度divA就是矢量场A在处点源的强度。表示空间区域中源的平均强度，且由定义可知，散度divA之值不为零时，其符号为正或为负，就顺次表示在该点处散发通量之正源或有吸收通量之负源，而当divA之值不为零时，就表示在该点处无源。因此，称divA的矢量场A为无源场。如果把矢量场A中每一点散度与场中之点一一对应起来，就得到一个数量场，称为由此矢量场产生的散度场。下面讨论散度在直角坐标系下的计算公式。设Aijk其中具有一阶连续偏导数。由高斯公式，可得A S 用除等式两端，再由积分中值定理得A S 其中为在内某一点。因为当。即向点无限收缩时，点趋近于点，因此divAA S 即得到下面的定理。定理2.3.1 在直角坐标系中，矢量场Aijk在任一点处的散度为divA （2.3.9）推论1 高斯公式可以写成如下的矢量形式：A SA推论2 由推论1可知，若在封闭曲面内处处有divA=0，则A S=0。推论3 若在矢量场A内某些点（或区域）上有divA或divA不存在，而在其他的点上都有divA=0，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。证 如图2.3.4 设divA或divA不存在之点在区域内。任作两张包围在内但互不相交的封闭曲面与，分别以n、n表示其外向单位法矢量。则在与所包围的区域上，处处有divA=0。因此，由奥氏公式有ASA =0则有AndS=0其中n为的边界曲面（即由与所组成的封闭曲面）的外向单位法矢量。注意到在上n与n相同，而在上n与n的指向相反，因此，由上式有AnAn移项即得AndS=AndS即AdS=AdS应用哈米尔顿算子ijk，可将（2.3.9）式表示为divA A容易验证，散度的运算满足以下基本公式：（1）A）A （C为常数）（2）（AB）AB（3）AAA例 2.3.3 在原点处的点电荷所产生的静电场中，(1)任一点处的电位移向量为Dr其中rijk，r|。求电位移矢量D在任何一点处的散度divD.（2）设是以原点为中心，以为半径的球面取其外侧，求穿过的电通量。（1）因为所以divD （2）在球面上恒有，且r与的单位外法线向量n方向一致，故由（1）可见，除点电荷所在的原点（）外，电位移D的散度处处为零，即为一无源场。因此，根据推论3可知电场穿过包含点电荷在内的任何封闭曲面的电通量都等于。例 2.3.4 已知r=0，其中rijk，r|，求。解 rr+ r r rr （r=） r r代入所给方程，得解此方程就得到 （为任意常数）2.4 矢量场的环量及旋转1、 环量设有力场F，为场中的一条封闭的有向曲线，我们来求一个质点在场力的作用下，沿正向运转一周时所作的功（此时，的切向矢量指向的正向）。如图2.4.1 在上取一弧元素，同时又以表其长，若以表示的单位切向矢量，则当质点经过时，场力F所作的功就近似地等于FF由此又可写为F （2.4.1）其中dl为这样一个矢量，其方向与一致，其模等于弧长。因此，场力F所作的功，就可用曲线积分表示为Fl （2.4.2）这种形式的曲线积分，在其它矢量场中，也常常具有一定的物理意义。例如在流速场中，积分vl （2.4.3）表示在单位时间内，沿闭路正向流动的环流。若表明沿闭曲线所取定的方向上（相反方向上）有流体流动，也就是流体形成旋涡。又如在磁场强度H所构成的磁场中，按安塔（Ampere）环路定律，积分Hl （2.4.4）表示沿与积分路线成右手螺旋法则的方向通过上所张之曲面的各电流强度的代数和，即有Hl （2.4.5）因此，数学上就把形如上述的一类曲线积分概括成为环量的概念，其定义如下：定义2.4.1 设有矢量场A，则沿场中某一封闭的有向曲线的曲线积分=Al （2.4.6）叫做此矢量场按积分所取方向沿曲线的环量。在直角坐标系中，设Aijk又dlijkijk则环量可以写成Al （2.4.7）例 2.4.1 求电位移矢量Dr沿着任一圆周的环量，这圆周的中心在坐标原点，半径为任一不为零的正实数。解 所求环量为DlD其中为圆周上的单位切矢量。显然D与垂直，故所求环量为零。设是以有向封闭曲线为边界的有向曲面，与的方向符合右手规则。由斯托克斯公式知，向量A沿有向闭曲线的环流量可用上的曲面积分来表示Al其中，等式右端的曲面积分可解释为向量ijk穿过有向曲面的通量，因此向量场沿闭曲线的环量反映了场在某个范围（如曲面）内的变化情况，与研究向量场的散度情形一样，还需研究向量场在某点附近的变化情况。为此取场内一点，在点处取定一个方向n，通过点任作一微小曲面，同时以表其面积，它在点处的法矢为n，的边界曲线记为，其正向与n构成右手螺旋关系，如图2.4.2。则比值称为矢量场A在上的平均环量密度。当曲面在保持点于其上的条件下，沿者自身缩向点时，若的极限存在，则称此极限为矢量场A在点处沿方向n的环量面密度（即环量对面积的变化率），记作，即 （2.4.8）在直角坐标系中，设Aijk则由斯托克斯（G.G.Stokes）公式，有Al再由中值定理得Al其中为上的某一点，当的面积时，有，于是 （2.4.9）其中为在点处的法矢n的方向余弦，也就是该方向上的单位法矢量nijk的坐标。这就是环量面密度在直角坐标下的计算公式。若记R i jk （2.4.10）注意到R在给定点处为一固定矢量，则（2.4.9）式可以写为 Rn=| R |( R, n) （2.4.11）正如分析梯度与方向导数之间的关系一样，（2.4.11）式表明，在给定点处，R在任一方向n上的投影，就是该方向上的环量面密度。显然，R的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称R为矢量场A在给定点处的旋度。一般，有如下定义：定义 2.4.2 若在矢量场A中的一点处存在这样一个矢量R，矢量A在点处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好是|R|，则称为矢量R为矢量场A在点处的旋度，记作A，即A=R简言之，旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度。旋度的上述定义，是与坐标无关的。上面的（2.4.10）式给出了旋度在直角坐标系中的表示式，即Aijk （2.4.12）或A （2.4.13）此外，由（2.4.12）式，可将斯托克斯公式写成如下的矢量形式：Al A）S （2.4.15）应用哈米尔顿算子可将旋度A表示为A，因为Aijk）ijk）=A容易验证旋度的运算，满足以下基本公式：（1）A） A（2）AB）= A B（3）A)AA（4）（AB）= B A)- A B)（5）（6）A)=0例 2.4.2 求矢量场Aijk解 A ijkijk例 2.4.3 设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为ijk，则刚体上的每一点处都有线速度，从而构成一个线速度场。由运动学知道，矢径为rijk的点的线速度为r ijk如图2.4.3 求线速度场的旋度。解 ijk这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点 的旋度，除去一个常数因子外，恰恰等于刚体转动的角速度（旋度因而得名）。例 2.4.4 设rijk，r=|r|，求r的旋度，其中为可导函数。解 r rr rr而r r所以r=0r r=0例 2.4.5 以平面截圆柱面得到一条椭圆曲线。求矢量场Aijk沿曲线的环量。规定的方向为：从轴向往下看，取顺时针方向。解 直接计算线积分。将椭圆曲线改用参数方程表示：于是所求环量为Al 另解 应用斯托克斯公式换用面积分进行计算。AlA) S AndS其中是椭圆盘。它的法矢量可取为i+0j-k，以使nijk的指向与的方向服从右手螺旋规则。又rotA=-i-j-k于是AndS 2.5 几种重要的矢量场本节将介绍几种重要的矢量场，即有势场、管形场和调和场。在此之前，须先说明一下在三维空间里单连域与复连域的概念：（1） 如果在一个空间区域内的任何一条简单闭曲线上，都可以作出一个以为边界且全部位于区域内的曲面，或说闭曲线在不离开此域的前提下能连续地收缩于一点，则称此区域为线单连域；否则，称为线复连域。例如空心球体是线单连域，而环面球（如自行车的内胎）则为线复连域。（2） 如果在一个空间区域内的任一简单闭曲面所包围的全部点，都在区域内（即内没有洞），则称此区域为面单域；否则，称为面复连域。例如环面体是面单连域，而空心球体则为面复连域。显然，有许多空间区域既是线单连域，同时又是面单连域。例如实心的球体、椭圆体、圆柱体、平行六面体等等。1、有势场定义 2.5.1 设有矢量夯A，若存在单值函数满足A （2.5.1）则称此矢量场为有势场；令，并称为这个场的势函数。易见矢量A与势函数之间的关系是A （2.5.2）例如，已知矢量场A=r，不难看出A=r因此，矢量场A=r为有势场，而势函数为。由定义2.5.1 可以看出：（1） 有势场是一个梯度场；（2） 有势场的势函数有无穷多个，它们之间只相差一个常数。若已知有势场A的一个势函数，则场的所有势函数的全体可表示为 （C为任意常数） （2.5.3）然而是否任何矢量场都为有势场呢？我们有下面的定理。定理2.5.1 在线单连域内矢量场A为有势场的充要条件是其旋度在场内处处为零。证 必要性。设Aijk如果A为有势场，则存在函数，它满足A，即有根据本章的假定：函数具有一阶连续偏导数。从而，由上式知函数具有二阶连续偏导数。因此有所以在场内处处有rotA=0，又因场所在的区域是线单连的，则由斯托克斯公式可知，对于场中的任何封闭曲线都有Al=0这个事实等价于曲线积分Al与路径无关。其积分之值，只取决于积分的起点与终点；当起点固定时，它就是其终点的函数，将这个函数记作，即 （2.5.4）利用偏导数的定义，不难证明这个函数具有下面的性质：该性质表明：（1） Al 即表达式Al 为函数的全微分；（2）函数满足A。所以，矢量场A为有势场。一般，称旋度恒为零的场为无旋场；称具有曲线积分Al与路径无关性质的矢量场为保守场。从上面的定理及其证明我们可以看出，在线单连域内：“场有势（梯度场）”、“场无旋”、“场保守”及以“表达式Al是某个函数的全微分”这四者是彼此等价的。注意在上面的定理中，线单连域的假定是很重要的。因若场A所定义的域不是线单连域，譬如说是去掉一圆柱体后的整个空间，则绕此柱面的闭曲线在此区域内不可能张成任何曲面，因而尽管在此区域内有rotA=0，但不能应用斯托克斯公式得出A沿者闭曲线的环量等于零。这样场A的势函数就可能不存在。此外，对有势场A来说，利用曲线积分与路径的无关性，可将（2.5.4）式变形为 （2.5.5）用此公式，就可方便地求出函数来。或者由下式通过积分求出函数：例 2.5.1 证明矢量场Aijk为有势夯，并求其函数。解 r ijK =0故A为有势场。现在应用公式（2.5.5）来求其势函数：为简便计，取为坐标原点。否则，求出的函数与此只相差一个常数。因此 于是得势函数，而场的势函数的全体则为另解 证A为有势场同解法一，故存在函数满足A，即有 （2.5.6）由第一个方程对积分，得 （2.5.7）其中暂时是任意的，为了确定它，将上式对求导，得 与（2.5.6）中第二个方程比较，知。于是有代入（2.5.7）得 （2.5.8）其中也暂时是任意的，为了确定它，将上式对求导，得与（2.5.6）中第三个方程比较，知=0，故，代入（2.5.8）即得从而势函数例 2.5.2 若Aijk为保守场，则存在函数使Al （2.5.9）证 因A为保守场，则曲线积分Al与路径无关，于是AlAl Al Al Al -Al其中为场中任一点。根据（2.5.4）式：Al则上式就成为Al2、管形场定义 2.5.2 设有矢量场A，若其散度A=0，则称此矢量场为管形场。换言之，管形场就是无源场。管形场之所以由此得名，是因为它具有如下的性质。定理2.5.2 设管形场A所在的空间区域为一面单连域，在场中任取一个矢量管。假定与是它的任意两个横断面。其发法矢n与n都朝向矢量A所指的一侧，如图2.5.2 ，则有AS AS （2.5.10）证 设为由二端面与以及此二断面之间的一段矢量管面所组成的一个封闭曲面。由