高三数学总复习导与练 第二篇第九节配套课件（教师用） 理.ppt

第9节函数模型及其应用 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的变化特征 2 能利用给定的函数模型解决简单的实际问题 对应学生用书第27 28页 1 三种增长型函数增长速度的比较在区间 0 上 函数y ax a 1 y logax a 1 y xn n 0 都是增函数 但它们的增长速度不同 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度越来越快 会超过并远远大于y xn n 0 的增长速度 而y logax a 1 的增长速度则会越来越慢 图象逐渐表现为与x轴趋于平行 因此 总会存在一个x0 当x x0时 就有logax xn ax 3 解答函数应用题的一般步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下 1 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整 调整后初期利润增长迅速 后来增长越来越慢 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系 可选用 d a 一次函数 b 二次函数 c 指数型函数 d 对数型函数 2 教材改编题 某企业第三年的产量比第一年的产量增长44 若每年的平均增长率相同 设为x 则以下结论正确的是 b a x 22 b x 22 c x 22 d x的大小由第一年的产量确定 解析 1 x 2 1 44 解得x 0 2 0 22 故选b 3 教材改编题 国家规定个人稿费纳税办法为 不超过800元的不纳税 超过800元不超过4000元的按超过800元的14 纳税 超过4000元的按全稿费的11 纳税 某人出了一本书 共纳税420元 这个人稿费为 b a 3600元 b 3800元 c 4000元 d 4200元 解析 设这个人的稿费为x元 显然800 x 4000 否则若x 800 则不纳税 若x 4000 则纳税额应大于4000 11 440元 不合题意 因此有 x 800 14 420 解得x 3800 4 据某校环保小组调查 某区垃圾量的年增长率为b 2009年产生的垃圾量为at 由此预测 该区下一年的垃圾量为 t 2014年的垃圾量为 t 解析 由于2009年的垃圾量为at 年增长率为b 故下一年的垃圾量为a ab a 1 b t 同理可知2011年的垃圾量为a 1 b 2t 2014年的垃圾量为a 1 b 5t 答案 a 1 b a 1 b 5 审题指导 在实际问题中优化 面积 利润 产量等问题常与二次函数有关 可建立二次函数模型 常利用配方法借助于对称轴和单调性求最值问题 对于实际问题 一定要注意函数的定义域 例2 某市居民自来水收费标准如下 每户每月用水不超过4吨时 每吨为1 80元 当用水超过4吨时 超过部分每吨3 00元 某月甲 乙两户共交水费y元 已知甲 乙两户该月用水量分别为5x 3x 吨 1 求y关于x的函数 2 若甲 乙两户该月共交水费26 4元 分别求出甲 乙两户该月的用水量和水费 思路点拨 由于用水量不同 收费标准不同 当甲 乙两户的用水量分别为5x 3x时 需分段列出y与x的函数关系式 根据分段函数式 分析求解共交水费26 4元时 甲 乙应各交多少 在许多实际问题中 变量之间的关系 不能用一个关系式列出 如出租车票价与路程之间的关系 纳税与收入之间的关系等 这种情况下 就需用分段函数来表达 研究这类问题的最值问题可分段研究 要特别注意定义域和端点值 例3 已知某物体的温度 单位 摄氏度 随时间t 单位 分钟 的变化规律是 m 2t 21 t t 0 并且m 0 1 如果m 2 求经过多少时间 物体的温度为5摄氏度 2 若物体的温度总不低于2摄氏度 求m的取值范围 思路点拨 本题给出了 随t的变化规律 可依据此关系式 求解m 2 5时 t的值 2 题实际上就是当 2恒成立时 求m的取值 一般地 涉及到增长率问题 存蓄利息问题 细胞分裂问题等 都可以考虑用指数函数的模型求解 求解时注意指对式的互化 指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制 变式探究31 某市2008年新建住房100万平方米 其中有25万平方米经济适用房 有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5 其中经济适用房每年增加10万平方米 按照此计划 当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是 参考数据 1 052 1 10 1 053 1 16 1 054 1 22 1 055 1 28 a 2010年 b 2011年 c 2012年 d 2013年 解析 设第n年 2009年为第1年 新建住房面积 经济适用房面积分别为an bn万平方米 则an 100 1 5 n bn 25 10n 由2bn an得 2 25 10n 100 1 5 n 利用已知条件解得n 3 所以在2012年时满足题意 故选c 例题 某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月 预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势 而中期又将出现供大于求使价格连续下跌 现有三种价格模拟函数 f x p qx f x logqx p f x x 1 x q 2 p 以上三式中p q均为常数 且q 2 1 为准确研究其价格走势 应选哪种价格模拟函数 2 若f 1 4 f 3 6 求出所选函数f x 的解析式 注 函数的定义域是 1 6 其中x 1表示4月1日 x 2表示5月1日 以此类推 3 为保证果农的收益 打算在价格下跌期间积极拓宽外销 请你预测该水果在哪几个月内价格下跌 错源 忽视实际问题对变量的限制 选题明细表 解析 依题意 前3年年产量增长速度越来越快 说明呈高速增长 只有a图象符合要求 故选a 2 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为l1 5 06x 0 15x2和l2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售15辆车 则能获得的最大利润为 b a 45 606万元 b 45 6万元 c 45 56万元 d 45 51万元 4 某种细胞在培养过程中正常情况下 时刻t 单位 分 与细胞数n 单位 个 的部分数据如下 根据表中数据 推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于 a a 200 b 220 c 240 d 260 8 2010年高考浙江卷 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元 预测六月份销售额为500万元 七月份销售额比六月份递增x 八月份销售额比七月份递增x 九 十月份销售总额与七 八月份销售总额相等 若一月份至十月份销售总额至少达7000万元 则x的最小值是 解析 由题意知 一月份至十月份的销售总额为3860 500 500 1 x 500 1 x 2 2 依题意有3860 500 500 1 x 500 1 x 2 2 7000 化简得 x 2 3 x 0 64 0 解得x 0 2或x 3 2 舍去 x 20 即x的最小值为20 答案 20 10 某跨国饮料公司在对全世界所有人均gdp 即人均纯收入 在0 5千美元 8千美元的地区销售该公司a饮料的情况的调查中发现 人均gdp处在中等的地区对该饮料的销售量最多 然后向两边递减 1 下列几个模拟函数中 x表示人均gdp 单位 千美元 y表示年人均a饮料的销量 单位 升 用哪个