2008考研网校高数强化讲义6-7章.doc

第六章 多元函数微积分（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。第一节多元函数微分学 多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义1设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。定义2如果连续。如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。定理1最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。定理2介值定理；在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值与最大值之间的任何值。定义3偏导数的定义；设函数的某个邻域内有定义，如果极限存在，则称此极限为函数处对x的偏导数，记作即。类似地，函数的偏导数定义为。定义4如果二元函数z=f（x,y）在区域D的每一点（x,y）处都有偏导数，一般地说，它们仍是x,y的函数，称为f（x,y）的偏导函数，简称偏导数，记为定义5高阶偏导数；如果二元函数仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为z=f（x,y）的二阶偏导数，记作其中称为混合偏导数，类似地可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数。定理3如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数都在区域D内连续，则在D内，即二阶混合偏导数与求偏导的先后次序无关。定义6全微分设二元函数z=f（x,y）在点（x,y）的某邻域内有定义，当f（x,y）的全增量可以表示为，其中A，B不依赖于，而仅与x,y有关，则称函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微，称为函数f（x,y）在点（x,y）处的全微分，记作定理4若函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微，则必在（x,y）处连续。定理5可微的必要条件 如果函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微，则该函数在点（x,y）处的两个偏导数都存在，且。又对于自变量x,y有定理6可微的充分条件 如果函数z=f（x,y）的偏导数连续，则函数在该点可微。偏导数的几何意义：设有二元函数在几何上分别表示曲线的切线对x轴和对y轴的斜率。【考点七十一】（1）求二元函数的极限值时，一般应用两边夹定理或化为一元函数的极限进行求解。（2）当点P(x,y)沿着不同的路径趋于点时，若函数f（x,y）的极限值不同，则二重极限不存在。二元函数极限： 1.二重极限： 2.二次极限【例1】求下列二重极限：（1）答疑编号：21060101针对该题提问令t=xy（2）答疑编号：21060102针对该题提问 （3）答疑编号：21060103针对该题提问令y=kx 不存在【考点七十二】多元函数连续、偏导数存在与可微之间的关系：可微偏导数存在，但偏导数存在。可微连续，但连续，连续偏导数存在。若一阶偏导数连续，则可微。【例2】考虑二元函数f（x,y）的下面4条性质：的两个偏导数存在。若用“”表示可由性质P推出性质Q，则有（）（A）（B）（C）（D）答疑编号：21060104针对该题提问答案：A【例3】二元函数存在，是f(x,y)在该点连续的（）（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件答疑编号：21060105针对该题提问答案：D二、多元函数微分法复合函数求导法则1.若u=u(x,y)和v=v(x,y)在点(x,y)处偏导数存在，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z=ff(x,y),v(x,y)在点(x,y)处偏导数存在，且，2.设z=f(u,v)有连续偏导数，都可导，则，这里称为z对t的全导数。3.设z=f(u,v,w)有连续偏导数，偏导数存在，则。【考点七十三】1.求偏导数时，只需将z=f(x,y)中的非x视为常数，利用一元函数的求导公式和导数的运算法则即可，类似地可求出表示z=f（x,y）先对x求偏导，然后再对y求偏导，其余类推。2.求复合函数的偏导数时，主要把握三点：（1）关键问题是弄清复合函数的结构，分清中间变量与自变量。（2）避免丢项。一般地，函数有几个自变量就求几个偏导数；函数有几个中间变量，偏导数公式中就有几项的和；函数有几重复合，偏导数公式中就有几项因子的乘积。（3）对于求抽象函数的偏导数。首先必须设出中间变量，构成复合函数，再利用复合函数求偏导数。【例4】设f（u）具有二阶连续导数，且，求答疑编号：21060106针对该题提问解： 代入： 【例5】设，求。答疑编号：21060107针对该题提问解： 【考点七十四】隐函数的求导公式【例7】设，其中z=z（x,y）是由方程x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则。答疑编号：21060108针对该题提问解： x+y+z+xyz=0对x求偏导 【例8】设函数z=f（u），方程确定u是x,y的函数，其中可微；连续，且，求。答疑编号：21060109针对该题提问解：【例6】设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点（0,1,1）的一个邻域，在此邻域内该方程（）。（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z（x,y）（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x（y,z）和z=z（x,y）（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y（x,z）和z=z（x,y）（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x（y,z）和y=y（x,z）答疑编号：21060110针对该题提问在点（0，1，1）处没有定义，不连续。【考点七十五】计算全微分的方法：（1）先求和，然后代入公式：。（2）对已知函数或方程取微分，根据微分形式的不变性，直到计算出dx,dy和dz上为止，再解出dz。【例9】设，求dz与，求dz与答疑编号：21060111针对该题提问解：代入即可。二、多元函数的极值与最值无条件极值：求z=f（x，y）它的极值。条件极值：1.计算题：求z=（x，y）在 的条件下极值。（化为无条件极值）2.应用题求条件极值：方法：lagrage乘数法定义1 设函数在点的某实心邻域内有定义，若对该邻域内异于的任意点，总有（或 ）成立，则称是函数在点处取得的极大值（或极小值），并取点为的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点。定义2 方程组的解，称为函数的驻点。定理1（极值存在的必要条件） 设函数在点处的一阶偏导数存在，且为的极值点，则有.定理2（极值存在的充分条件） 设函数在点处的某实心邻域内有连续的二阶偏导数，且。若，则点是的一个极值点。（1）若（或），则为极大值；（2）若（或），则为极大值；（3）若，则不是极值。 【考点七十六】在函数的定义域D上求极值，这是无条件极值。求多元函数无条件极值的程序是：（1）求函数的驻点（可能极值点），即求解方程组的一切实数解（或偏导数不存的点），即得函数的可能极值点。（2）利用极值存在的充分条件判定所求驻点是否为极值点。（3）求出极值。【评注】 驻点不一定是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。【例10】求函数的极值。答疑编号：21060201针对该题提问解：驻点（0,0），0=z（0，0）z（0，0）是最小值，极小值令极值，驻点t1时，t1时，是z（x，y）极大值点极大值，极小值z（0，0）=0【考点七十七】1.求函数，在约束条件下的极值问题，称为条件极值问题。求解条件极值的一般方法有两种。一是利用所给的约束条件把条件极值问题转化为无条件极值问题；一是拉格朗日乘数法。【拉格朗日乘数法】 其步骤是：（1）作辅助函数（称为拉朗日函数），其中为待定常数（称为拉格朗日乘数）；（2）求解方程组得可能极值点（x,y）；（3）判定在可能极值点处是否取得极值。（对于实际应用问题，由实际确定，一般免去了这一步骤）。2.二元函数的最大值与最小值：有界闭区域上连续的二元函数在区域内的驻点、偏导数不存在的点及其边界点上取得最大值与最小值。【例11】求二元函数在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。答疑编号：21060202针对该题提问【详解】（1）先求z在区域D内部的极值。令解得惟一内部驻点（2，1）。用充分条件判定是否取得极值。于是因此点（2,1）是f（x，y）的极大值点，极大值为f（2,1）=4。（2）求最大值和最小值，在x轴上，y=0，z=0，在y轴上，x=0，z=0，都有f（x，y）=0。在边界x+y=6，解出y=6-x，代入f（x，y）中得，所以令，解得边界x+y=6上的惟一内部驻点x=4，即D边界上点（4，2）。 以下比较所有怀疑点的函数值：f（0,0）=0，f（6,0）=0，f（2,1）=4，f（4,2）=-64由此知【评注】极值是邻域中的最大值或最小值，因此极值点只能在区域的内点处取得，而最大值和最小值可以在区域的任何点处（包括边界点）取得。第二节二重积分第七章 【大纲内容与要求】理解二重积分的概念、几何意义与基本性质，了解二重积分的中值定理，掌握在直角坐标系下与极坐标系下二重积分的计算。会计算简单的无界区域上的二重积分。【考点分析】本节考点的核心是二重积分的计算，要熟练掌握。二重积分计算的关键是化二重积分为二（累）次积分。【考点七十八】在直角坐标系下计算二重积分的公式：【型区域】若，则.【型区域】若，则.在极坐标下D：【例1】计算二重积分其中D是由双曲线及直线y=0,y=1所围成的平面区域。答疑编号：21060203针对该题提问【例2】设f（x，y）连续，且，其中D是由所围区域，则f（x，y）等于（）（A）xy （B）2xy （C）（D）xy+1 答疑编号：21060204针对该题提问答案：C 令f（x，y）=xy+a【例3】设求，其中。答疑编号：21060205针对该题提问【考点七十九】如果在二重积分的被积函数中含有绝对值，则先令绝对值中的函数为零，将积分区域分割，再利用二重积分的可加性进行计算。 【例4】计算，其中答疑编号：21060206针对该题提问【详解】令，则抛物线将积分区域分割成两部分，因此有：【例5】计算二重积分答疑编号：21060207针对该题提问令x=y【考点八十】当积分区域D为圆域、环域或圆域的某部分。被积函数为等形式时，选用极坐标较为方便。在极坐标系下计算二重积分的公式：【极点在区域D内】， 【极点在区域D外】， .【极点在区域D的边界上】， .【例7】计算二重积分 其中积分区域D=答疑编号：21060301针对该题提问解： 【例6】设f（u）具有连续的导数，且（1）证明：答疑编号：21060302针对该题提问解：由保号性，存在M0,uM时，（M0)的垂直于x轴的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于答疑编号：21060503针对该题提问设立体密度重心坐标:设旋转体密度故有。两边对x求导得微分方程，因此得（C是任意常数）。第七章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数是多元函数微积分的基础。数学二无此考试内容。一、向量代数【大纲内容】向量的概念；向量的线性运算；向量的数量积和向量积；向量的混合积；两向量垂直、平行的条件；两向量的夹角；向量的坐标表达式及其运算；单位向量；方向数与方向余弦。【大纲要求】理解向量的有关概念；掌握向量的有关运算及两向量垂直、平行的条件。【考点分析】向量代数主要包括向量的数量积、向量积等向量的运算，它们作为空间解析几何以及多元函数微分学、积分学的基础是很重要的，虽然考试命题很少出现。【复习要点】定义1既有大小，又有方向的量称为向量，记为a,b,c.起点为A，终点B的向量记为，与起点无关的向量称为自由向量。向量的长度又称为向量的模，向量a的模记为，长度为1的向量称为单位向量，长度为零的向量称为零向量。与a长度相等，方向相反的向量称为a的负向量，记为-a。若a与b的长度相等，方向相同，则称a与b相等，记为a=b，若将a与b起点重合后，a与b落在同一直线上，则称a与b平行或共线，记为ab。1.向量的加法与减法向量a与b的加法服从平行四边形法则，或三角形法则。即若，则。a+（-b）定义为a与b的差，即a-b=a+（b）向量加法满足交换律、结合律的运算规律。2.向量的数乘设为实数，a为向量，则将下面的向量称为与a的数乘，记为a：a的模为|a|,当0时，方向与a相同，0时，方向与a相反。向量的数乘满足结合律及分配律的运算规律。3.向量的坐标（1）定义过点A作平面垂直于数轴u，与u的交点称为A在u轴上的投影。设点A，B在u轴上的投影分别为，则将的值称为在u轴上的投影，记为。向量a与b所夹的不超过的角，称为a,b的夹角，记为，且。向量a与x,y,z轴的夹角称为a的三个方向角。（2）投影定理设与u轴的夹角为，则。（3）向量的坐标设向量a的起点为，终点为则a的坐标表达式为其中。设，则4.向量的数量积、向量积与混合积（1）数量积（内积）定义：，若，则（2）向量的向量积（叉积、外积）：是一个向量，其模的夹角，其方向规定为与都垂直，且符合右手规则，用坐标作运算的公式为：，。（3）混合积：三个向量的混合积（）是一个数，令（）=4.向量的运算法则：（1）点积分配律，点积结合律.（2）向量积：（3）混合积5.向量的关系（1）平行向量ab的充要条件：存在不同时为零的，使。ab=0（2）垂直（3）三个向量a,b,c共面的两个充要条件是：存在不全为零的，使。混合积（a,b,c）=0.【例1】设，其中，且试问：（1）k为何值时？答疑编号：21070101针对该题提问（2）k为何值时，以为邻边的平行四边形面积为6？答疑编号：21070102针对该题提问（1）由=2k+4=0，当k=-2时即（2）【例2】若，且则与的夹角=（ ）（A）（B）（C）（D）答疑编号：21070103针对该题提问所以选D。【例3】已知单位向量与x轴，y轴的夹角均为，与z轴正方向的夹角为钝角，又，试计算。答疑编号：21070104针对该题提问二、空间解析几何【大纲内容】曲面方程和空间曲线方程的概念；平面方程、直线方程；平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件；点到平面和点到直线的距离；球面；母线平行于坐标轴的柱面；旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程；常用的二次曲面方程及其图形；空间曲线的参数方程和一般方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。【大纲要求】掌握平面方程和直线方程的求法，并会运用平面、直线的相互关系解决有关问题；了解曲面方程及常用二次曲面的方程和图形；了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影；会求点到直线与点到平面的距离。【考点分析】空间直线的方程、平面的方程与旋转曲面的方程均可出大题，而空间解析几何与线性代数的综合题是最近几年新出现的题型，应给予足够的重视。其中平面束方程作为一种解题方法非常重要。【复习要点】一、空间平面与直线1.平面方程（1）点法式方程过点，法线向量为的平面的点法式方程为（2）一般方程（3）截距方程（4）点到平面的距离空间一点到平面的距离为。2.直线方程（1）参数方程过点，方向向量为的直线的参数方程为（2）标准方程（3）一般方程（4）点到直线的距离：点P到过点，以为方向向量的直线的距离为。3.直线，平面间的关系：（1）设平面的法线向量分别为与夹的不超过的角称为与的夹角，。（2）直线与直线的夹角设直线的方向向量分别为，与所夹的不超过的角称为与的夹角，。，（3）直线与平面的夹角设直线L在平面的投影直线为，则与的夹角称为直线与平面夹角。设L的方向向量为s，的法向量为n，则sn。（4）平面束方程设则过直线的平面束方程为二、空间的曲面与曲线1.空间曲面的方程（1）一般方程（2）参数方程。2.曲线方程（1）参数方程（2）一般方程3.常见曲面与曲线（1）母线平行于