高考数学复习 第八章 圆锥曲线方程85轨迹问题课件.ppt

基础知识一 求动点的轨迹方程的一般步骤 1 建系 2 设点 3 列式 4 代换 5 证明 建立适当的坐标系 设轨迹上的任一点p x y 列出动点p所满足的关系式 依条件式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为x y的方程式 并化简 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 二 常见的轨迹1 在平面内 到两定点的距离相等的点的轨迹是 2 平面内到角两边距离相等的点的轨迹是 3 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是 连结两定点的线段的垂直平分线 这个角 的平分线 定点为圆心 以定长为半径的圆 以 4 平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数的点的轨迹是 当常数大于1时 是双曲线 当常数等于1时 是 当常数大于0而小于1时 是 定点和定直线分别是圆锥曲线的和5 平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是 圆锥曲线 抛物线 椭圆 焦点 相应的准线 与这条直线平行的两条直线 三 求轨迹的常用方法1 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 这些条件简单明确 易于表达成含x y的等式 就得到轨迹方程 这种方法称之为直接法 用直接法求动点轨迹的方程一般有建系 设点 列式 代换 化简 证明五个步骤 但最后的证明可以省略 2 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 3 代入法 动点所满足的条件不易表达或求出 但形成轨迹的动点p x y 却随另一动点q x y 的运动而有规律的运动 且动点q的轨迹为给定或容易求得 则可先将x y 表示为x y的式子 再代入q的轨迹方程 然后整理得p的轨迹方程 代入法也称相关点法 4 参数法 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标 纵坐标之间的关系 则可借助中间变量 参数 使x y之间建立起联系 然后再从所求式子中消去参数 得出动点的轨迹方程 5 几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质 发现动点运动规律和动点满足的条件 然后得出动点的轨迹方程 6 交轨法 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 例如求两动直线的交点时常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然后消去参数得到轨迹方程 易错知识一 概念不清产生的混淆1 方程表示的轨迹为 答案 直线 2 设点f 2 0 动点p到y轴的距离为d 则满足条件 pf d 2的点p的轨迹方程是 解题思路 解法一 由题意 pf 2 d 当p在y轴右侧时 可转化为 pf x 2 即p到定点f的距离等于到定直线l x 2的距离 则p在抛物线y2 8x上 当p在y轴左侧时 pf 2 x 即p到f 2 0 的距离等于p到直线x 2的距离 从而有y 0 x 0 p点的轨迹方程是y2 8x和y 0 x 0 解法二 由 pf 2 d及p x y 即 x 2 2 y2 2 x 2 y2 4 x 4x 当x 0时 y2 8x 当x 0时 y2 0即y 0 故所求轨迹方程为y2 8x和y 0 x 0 失分警示 本题根据题意可直接得到定点的距离与到定直线的距离相等 而确定p点的轨迹为抛物线 从而忽略了p点到y轴的距离应为 x 而不是x 极易漏掉y 0 x 0 这一部分而出错 答案 y2 8x或y 0 x 0 二 思维定势产生的混淆3 平面上一动点到定点 1 2 与定直线x y 1 0的距离比为一常数的轨迹方程为 答案 x 1或y 2 回归教材1 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 a y xb y xc y x d x y 解析 设动点p x y 则p到x y轴的距离分别为 y 和 x y x 化简得y x 故选b 答案 b 2 2009 河南驻马店二模 已知两点m 2 0 n 2 0 点p为坐标平面内的动点 满足 0 则动点p x y 的轨迹方程为 a y2 8xb y2 8xc y2 4xd y2 4x解析 考查轨迹方程的求法以及向量的模 数量积的运算 将动点p x y 的坐标分别代入到已知方程中 答案 b 总结评述 本题所采用的求轨迹的方法可称为直接代入法 步骤是 设点 代入 化简 3 与定直线3x 4y 1 0的距离恒为2的动点p的轨迹方程是 a 3x 4y 11 0b 3x 4y 9 0c 3x 4y 0d 3x 4y 9 0或3x 4y 11 0解析 在轨迹上任意取一点p x y 3x 4y 11 0或3x 4y 9 0 故选d 答案 d 4 教材改编题 设a a 0 b a 0 若动点m满足kma kmb 1 是动点m的轨迹方程是 解析 设m x y kma kmb存在 x a kma kmb 1 x2 y2 a2 动点m的轨迹方程为x2 y2 a2 x a 答案 x2 y2 a2 x a 5 已知动圆p与定圆c x 2 2 y2 1相外切 与定直线l x 1相切 那么动圆的圆心p的轨迹方程是 解析 设p x y 动圆p在直线x 1的左侧 其半径等于1 x 则 pc 1 x 1 2 x y2 8x 答案 y2 8x 例1 2009 北京东城 已知q是双曲线x2 y2 1上任一点 f1 f2为双曲线c的左 右两个焦点 从f1引 f1qf2的平分线的垂线 垂足为n 试求点n的轨迹方程 探究 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形 再求其轨迹方程 这种方法叫做定义法 运用定义法 求其轨迹 一要熟练掌握常用轨迹的定义 如线段的垂直平分线 圆 椭圆 双曲线 抛物线等 二是熟练掌握平面几何的一些性质定理 分析 充分利用角平分线的几何性质 结合双曲线的第一定义探索点n的几何性质 解答 延长f1n交qf2于m qn平分 f1qf2 qn f1m n为f1m的中点 且 qf1 qm 由双曲线定义知 qf1 qf2 2 qm qf2 2 即 mf2 2 o为f1f2的中点 on 1 点n的轨迹为以o为圆心 1为半径的圆 点n的轨迹方程为x2 y2 1 2006 湖北 7 设过点p x y 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a b两点 点q与点p关于y轴对称 o为坐标原点 若则p点的轨迹方程是 a 3x2 1 x 0 y 0 b 3x2 1 x 0 y 0 c x2 3y2 1 x 0 y 0 d x2 3y2 1 x 0 y 0 命题意图 本题综合考查了向量 圆锥曲线方程 轨迹方程 点的对称 题目虽小 但含 金 量较重 答案 d 解析 设a a 0 a 0 b 0 b b 0 点q与点p关于y轴对称 q x y 即 x y b 2 a x y 在 abc中 已知a 4 0 b 4 0 且sina sinb sinc 则c的轨迹方程为 答案 b解析 由sina sinb sinc 得a b c 4 ab 8 例2 如图从双曲线x2 y2 1上一点q引直线x y 2的垂线 垂足为n 求线段qn的中点p的轨迹方程 分析 因动点p随动点q的运动而运动 而动点q在已知双曲线上 故可用代入法求解 从寻求q点的坐标与p点的坐标之间的关系入手 解答 设动点p的坐标为 x y 点q的坐标为 x1 y1 则n点的坐标为 2x x1 2y y1 n在直线x y 2上 2x x1 2y y1 2 又 pq垂直于直线x y 2 即x y y1 x1 0 联立解得 代入 得动点p的轨迹方程是2x2 2y2 2x 2y 1 0 自抛物线y2 2x上任意一点p向其准线l引垂线 垂足为q 连结顶点o与p的直线和连结焦点f与q的直线交于r点 求r点的轨迹方程 解析 设p x1 y1 r x y 则 op的方程为 fq的方程为 由 得x1 代入y2 2x可得y2 2x2 x 总结评述 代入法又称相关点法 其特点是 动点m x y 的坐标取决于已知曲线c上的点 x y 的坐标 可先用x y来表示x y 再代入曲线c的方程 即得点m的轨迹方程 在某些较复杂的探求轨迹方程的问题中 可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程 再以此点作为主动点 所求的轨迹上的点为相关点 求得轨迹方程 例3 2004 辽宁 设椭圆方程为x2 1 过点m 0 1 的直线l交椭圆于a b o是坐标原点 点p满足点n的坐标为当l绕点m旋转时 求 1 动点p的轨迹方程 2 的最大值与最小值 解析 1 直线l过点m 0 1 设其斜率为k 则l的方程为y kx 1 设a x1 y1 b x2 y2 由题设可得 x1 y1 x2 y2 是方程组 消去k得 4x2 y2 y 0 当k不存在时 a b中点为坐标原点 0 0 也满足 故动点p的轨迹方程为4x2 y2 y 0 过抛物线y2 2x的顶点作互相垂直的两弦oa ob 1 求ab中点的轨迹方程 2 证明 ab与x轴的交点为定点 解析 1 设直线oa y kx 则设ab的中点坐标为 x y 此即为所求的轨迹方程 2 由 1 知 直线ab的方程为令y 0 得它与x轴的交点为 2 0 其坐标与k无关 故为定点 1 要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件 也就是曲