高考数学第一轮总复习 9.7直线和平面所成的角与二面角（第2课时）精品导学课件.ppt

第九章直线 平面 简单几何体 直线和平面所成的角与二面角 第讲 7 第二课时 1 在三棱锥p abc中 ab ac acb 60 pa pb pc 点p到平面abc的距离为ac 求二面角p ac b的大小 题型4求二面角的大小 解法1 由条件知 abc为直角三角形 且 bac 90 因为pa pb pc 所以点p在平面abc上的射影是 abc的外心 即斜边bc的中点e 取ac的中点d 连结pd de pe 因为pe 平面abc de ac 因为de ab 所以ac pd 所以 pde就是二面角p ac b的平面角 又pe ac de ac 因为 acb 60 所以 所以 pde 60 故二面角p ac b的大小为60 解法2 由条件知 abc为直角三角形 且 bac 90 因为pa pb pc 所以点p在平面abc上的射影是 abc的外心 即斜边bc的中点 设o为bc的中点 取ac的中点d 连结pd do po 则po 平面abc 建立如图所示直角坐标系设ac a 则a a a 0 b a 0 0 c a 0 0 d a a 0 p 0 0 a 所以 a a 0 a a a 因为ab ac 又pa pc 所以pd ac 所以cos 即为二面角p ac b的余弦值 而cos 所以二面角p ac b的大小为60 点评 求二面角的大小有两种方法 几何法与向量法 本题解法1是利用几何法来解决的 即按 一找 二证 三计算 三个步骤进行 解法2是利用向量法来解决的 即通过求垂直于两平面交线的直线的方向向量所成的角 需要注意是相等还是互补 如图 直三棱柱abc a1b1c1中 ab ac d e分别为aa1 b1c的中点 de 平面bcc1 1 证明 ab ac 2 设二面角a bd c为60 求b1c与平面bcd所成的角的大小 解 1 证法1 连结be 因为abc a1b1c1为直三棱柱 所以 b1bc 90 因为e为b1c的中点 所以be ec 又de 平面bcc1 所以bd dc 射影相等的两条斜线段相等 而da 平面abc 所以ab ac 斜线段相等的射影相等 证法2 取bc的中点f 证四边形afed为平行四边形 进而证af de 所以af bc 得ab ac 2 作ag bd于g 连结gc 则gc bd 所以 agc为二面角a bd c的平面角 所以 agc 60 不妨设ac 则ag 2 gc 4 在rt abd中 由ad ab 易得ad 设点b1到平面bcd的距离为h b1c与平面bcd所成的角为 由s b1bc de s bcd h 得解得h 又b1c 所以sin 所以 30 即b1c与平面bcd所成的角为30 2 在rt abc中 acb 30 abc 90 d为ac的中点 e为bd的中点 连结ae并延长交bc于点f 将 abc沿bd折成一个大小为 的二面角a bd c 1 证明 平面aef 平面bcd 2 当 为何值时 有ab cd 题型4二面角背景下的位置关系分析 解 1 证明 因为 abc为直角三角形 acb 30 所以ab ac 又d为ac的中点 所以ad ac 所以ab ad 因为e为bd的中点 所以ae bd 所以bd ae bd ef 所以bd 平面aef 又bd 平面bcd 所以平面aef 平面bcd 2 作ao ef 垂足为o 因为平面aef 平面bcd 所以ao 平面bcd 连结ob 则ob是ab在平面bcd内的射影所以ab cd bo cd 延长bo cd相交于h 设ab 2a 则ae abcos30 a 由 beo bhd 得 所以在rt aoe中 cos aeo 因为bd 平面aef 所以 aef aeo arccos 点评 与二面角有关的综合问题涉及到空间位置关系与空间角大小关系之间的综合 解决此类问题需注意几个转化 一是三维空间向二维空间的转化 二是空间角向线线角的转化 三是线面关系向线线关系的转化等 在棱长为a的正方体oabc o a b c 中 e f分别是棱ab bc上的动点 且ae bf 1 求证 a f c e 2 当三棱锥b bef的体积取得最大值时 求二面角b ef b的大小 结果用反三角函数表示 解 1 证明 如图 以o为原点建立空间直角坐标系 设ae bf x 则a a 0 a f a x a 0 c 0 a a e a x 0 所以 x a a a x a a 因为 xa a x a a2 0 所以a f c e 2 记be y 则x y a 故三棱锥b bef的体积为当且仅当x y 时 等号成立 因此 三棱锥b bef的体积取得最大值时 be bf 过b作bd ef交ef于d 连结b d 则b d ef 所以 b db是二面角b ef b的平面角 在rt bef中 因为be bf bd是斜边上的高 所以bd 在rt b db中 故二面角b ef b的大小为arctan 1 二面角的大小是通过其平面角来度量的 而二面角的平面角需具有以下三个特点 顶点在棱上 两边分别在两个面内 两边与棱都垂直 2 作二面角的平面角主要有如下三种作法 1 特征法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面中作棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形的特性 2 三垂线法 已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线 用三垂线定理或其逆定理作出平面角 3 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角 由此可知 二面角的平面角所在的平面与棱垂直 3 求二面角的大