1112高中数学 3.3.2 均匀随机数的产生同步学案 新人教A版必修3.ppt

3 3 2均匀随机数的产生 自学导引 1 了解均匀随机数产生的方法与意义 2 利用计算机或计算器产生随机数 并能直接统计出频数 计算出频率 3 会设计简单的模拟试验的试验方法 课前热身 1 0 1 上均匀随机数的产生利用计算器的rand函数可以产生 0 1 的均匀随机数 试验的结果是区间 0 1 内的任何一个实数 而且出现任何一个实数是等可能的 因此 可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟 2 a b 上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生 0 1 上的均匀随机数x rand 然后利用伸缩平移变换 x x1 b a a就可以得到 a b 内的均匀随机数 试验的结果是 a b 上的任何一个实数 并且任何一个实数都是等可能的 3 随机数的产生方法实例法有 1 掷骰子 2 从一叠纸牌中抽牌 计算器法 按shift ran 键都会产生0 1之间的随机数 计算机软件法 几乎所有的高级编程语言都有随机函数 借助随机函数可以产生一定范围的随机数 vfp scilab中的rand 函数 还有几何画板中的round 函数等等 名师讲解 1 随机数就是在一定范围内随机产生的数 并且得到这个范围内的每一个数的机会是一样的 它有很广阔的应用 可以帮助我们安排和模拟一些试验 这样可以代替我们自己做大量重复试验 我们常用的是 0 1 上的均匀随机数 实数 2 利用随机模拟方法可求概率问题 其实质是先求频率 用频率近似代替概率 其关键是设计好 程序 或者说 步骤 并找到各数据需满足的条件 1 由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数 如长度型 角度型需用一组 面积型需用两组 2 由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围 3 由事件a发生的条件确定随机数应满足的关系式 典例剖析 题型一用随机模拟法估计长度型几何概型的概率例1 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大 分析 在任意位置剪断绳子 则剪断位置到一端点的距离取遍 0 3 内的任意数 并且每一个实数被取到都是等可能的 因此在任意位置剪断绳子的结果 基本事件 对应 0 3 上的均匀随机数 其中取得的 1 2 内的随机数就表示剪断位置与端点距离在 1 2 内 也就是剪得两段长都不小于1m 这样取得 1 2 内的随机数个数与 0 3 内个数比就是事件a发生的频率 解 解法1 1 利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数 a1 rand 2 经过伸缩变换 a a1 3 3 统计出 1 2 内随机数的个数n1和 0 3 内随机数的个数n 4 计算频率即为概率p a 的近似值 解法2 做一个带有指针的圆盘 把圆周三等分 标上刻度 0 3 这里3和0重合 转动圆盘记下指针指在 1 2 表示剪断绳子位置在 1 2 范围内 的次数n1及试验总次数 则即为概率p a 的近似值 规律技巧 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件a及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围 解法2用转盘产生随机数 这种方法可以亲自动手操作 但费时 费力 试验次数不可能很大 解法1用计算机产生随机数 可以产生大量的随机数 又可以自动统计试验的结果 同时可以在短时间内多次重复试验 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识 变式训练1 在区间 0 3 内任取一个实数 求该实数大于2的概率 解 1 利用计算机或计算器产生一组 0 1 上的均匀随机数a1 rand 2 经过伸缩变换a a1 3 得到一组 0 3 上的均匀随机数 3 统计出 2 3 内随机数的个数n1和 0 3 内的随机数的个数n 4 计算出频率 即得概率p a 的近似值 题型二用随机模拟法估计面积型几何概型的概率 例2 现向下图中正方形内随机地投掷飞镖 求飞镖落在阴影部分的概率 分析 我们有两种方法计算该事件的概率 1 利用几何概型的公式 2 用随机模拟的方法 解 解法1 由于随机地投掷飞镖 飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的 所以符合几何概型的条件 解法2 1 利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1 b1 共n组 2 经平移和伸缩变换a a1 0 5 2 b b1 0 5 2 3 数出满足不等式b4的数组数n1 规律技巧 用随机模拟的方法估计几何概型的维数 以确定随机数的组数 其次由对应区域的长度确定随机数的范围 同时对于各组变量的随机试验还要正确处理变量间的函数关系 变式训练2 如图 在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板 上面画了小 中 大三个同心圆 半径分别为2cm 4cm 6cm 某人站在3m之外向此板投镖 设投镖击中线上或没有投中木板时不算 可重投 问 1 投中大圆内的概率是多少 2 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少 3 投中大圆之外的概率是多少 解析 记事件a 投中大圆内 事件b 投中小圆与中圆形成的圆环 事件c 投中大圆之外 1 用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过伸缩平移变换 a a1 16 8 b b1 16 8 得到两组 8 8 的均匀随机数 3 统计投在大圆内的次数n1 投中小圆与中圆形成的圆环内的次数n2 投中木板的总次数n 4 计算频率即分别为概率p a p b p c 的近似值 题型三利用随机模拟试验估计图形的面积 例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分的面积 曲线为 分析 设 a b 为阴影内一点 则构造矩形abcd 显然s矩 4 2 8 问题转化为由矩形abcd的面积求阴影部分面积 只须求的比值p即可 而此p值可看成求落在阴影部分的概率 利用随机模拟求解 解 1 利用计算机 或器 产生两组0至1间的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 进行平移和伸缩变换 a a1 0 5 4 b b1 0 5 2 3 数出落在阴影内的样本点数n1 即满足的点 a b 的个数 用几何概型计算阴影部分的面积 如做500次试验 即n 500 模拟得到n1 387 所以 规律技巧 利用几何概型的模拟方法可以计算平面不规则图形的面积 其实质是几何概型概率公式的逆用 计算机 或计算器 的作用是利用随机模拟的方法产生概率近似值 变式训练3 利用随机模拟方法计算如下图中阴影部分 曲线y 2x与x轴 x 1围成的部分 的面积 分析 在坐标系中画出正方形 用随机模拟的方法求出阴影部分与正方形面积之比 从而求得阴影部分面积的近似值 解 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过平移和伸缩变换 a a1 0 5 2 b b1 2 得到一组 1 1 的均匀随机数和一组 0 2 上的均匀随机数 3 统计试验总次数n和落在阴影内的点数n1 满足条件b 2a的点 a b 数 4 计算频率 即为点落在阴影部分的概率的近似值 5 用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 规律技巧 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率 然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值 技能演练 基础强化 1 用均匀随机数进行随机模拟 可以解决 a 只能求几何概型的概率 不能解决其他问题b 不仅能求几何概型的概率 还能计算图形的面积c 不但能估计几何概型的概率 还能估计图形的面积d 最适合估计古典概型的概率 答案 c 2 如下图 边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 解析 设阴影部分的面积为s 由几何概型公式知 答案 b 3 将 0 1 内的均匀随机数转化为 2 6 内的均匀随机数 需实施的变换为 a a a1 18b a a1 8 2c a a1 8 2d a a1 6解析 验证 当a1 0时 a 2 当a1 1时 a 6 知c正确 答案 c 4 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达 乘客到达汽车站是任意的 则一个乘客候车的时间不超过3分钟的概率是 答案 b 解析 设事件a表示 乘客候车不超过3分钟 汽车每5分钟一辆 事件a发生的恰好是乘客在 2 5 时间段内到达车站 由几何概型公式得 5 在一半径为1的圆内有10个点 向圆内随机投点 则这些点不落在这10个点上的概率为 a 0b 1c d 无法确定 答案 b 解析 由几何概型公式知 所求概率 6 在区间 10 20 内的所有实数中 随机的取一个实数a 则这个实数a 13的概率是 答案 c 解析 设事件a表示 a 13 则 7 设b1是 0 1 上的均匀随机数 b b1 0 5 6 则b是区间 上的均匀随机数 3 3 解析 设b为区间 m n 内的随机数 则b b1 n m m 而b b1 0 5 6 8 如图所示 甲 乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向阴影所示区域时 甲胜 否则乙胜 则甲胜的概率是 能力提升 9 如下图 设a为半径为1的圆周上一定点 在圆周上等可能的任取一点b 求弦长 ab 超过 的概率 解 要使弦长 ab 只要 aob大于90 记 弦长 ab 超过 为事件c 则c表示的范围是 aob 90 270 由几何概型公式得 10 在集合 x y 0 x 5 且0 y 4 内任取1个元素 能