2019版高考数学二轮复习_专题二 函数与导数 2.2.4.1 函数的单调性、极值点、极值、最值课件 文

2 4 压轴大题1 导数在函数中的应用 2 3 4 5 6 1 导数的几何意义 1 函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 2 函数切线问题的求解策略 用好切点 三重性 切点在函数图象上 满足函数解析式 切点在切线上 满足切线方程 切点处的导数等于切线的斜率 2 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在 a b 内可导 1 若f x 0在 a b 内恒成立 则f x 在 a b 内单调递增 2 若f x 0在 a b 内恒成立 则f x 在 a b 内单调递减 7 3 函数的导数与单调性的等价关系函数f x 在 a b 内可导 f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 f x 0 f x 在 a b 上为增函数 f x 0 f x 在 a b 上为减函数 4 函数的极值 最值 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 3 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 8 5 常见恒成立不等式 1 lnx x 1 2 ex x 1 6 构造辅助函数的四种方法 1 移项法 证明不等式f x g x f x 0 f x g x 0 进而构造辅助函数h x f x g x 2 构造 形似 函数 对原不等式同解变形 如移项 通分 取对数 把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构 根据 相同结构 构造辅助函数 3 主元法 对于 或可化为 f x1 x2 A的不等式 可选x1 或x2 为主元 构造函数f x x2 或f x1 x 4 放缩法 若所构造函数最值不易求解 可将所证明不等式进行放缩 再重新构造函数 9 7 函数不等式的类型与解法 1 x D f x k f x max k x D f x k f x min k 2 x D f x g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最大值 2 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最小值 3 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最小值 10 4 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最大值 5 x1 a b 当x2 c d 时 f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域与g x 在 c d 上的值域交集非空 6 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 7 x2 c d x1 a b f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 11 9 求解导数应用题宏观上的解题思想是借助导函数 正负 研究原函数 单调性 重点是把导函数先 弄熟悉 为了把导函数先 弄熟悉 采取的措施 1 通分 2 二次求导或三次求导 3 能画出导函数草图是最好的 2 4 1函数的单调性 极值点 极值 最值 13 考向一 考向二 考向三 考向四 求单调区间或讨论单调性 多维探究 例1 2018江西南昌一模 文21节选 已知函数f x ex alnx e a R 其中e为自然对数的底数 1 若f x 在x 1处取到极小值 求a的值及函数f x 的单调区间 2 略 14 考向一 考向二 考向三 考向四 15 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得求f x 的单调区间 需知f x 的正负 若f x 不含参数 但又不好判断正负 将f x 中正负不定的部分设为g x 对g x 再进行一次或二次求导 由g x 的正负及g x 的零点判断出g x 的正负 进而得出f x 的正负 16 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练1 2018青海西宁一模 文21节选 设f x lnx g x x x 1 令F x xf x g x 求F x 的单调区间 2 略 17 考向一 考向二 考向三 考向四 18 考向一 考向二 考向三 考向四 例2 2018福建龙岩4月质检 文21节选 已知函数m R 1 求函数f x 的单调增区间 2 略 19 考向一 考向二 考向三 考向四 当 10 f x 0 在 x1 x2 上 g x 0 f x 0 所以函数f x 在 0 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 综上 当m 1时 函数f x 在 0 上单调递增 20 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得在求函数f x 的单调区间时 若f x 中含有参数不容易判断其正负时 需要对参数进行分类 本例分类的标准 1 按导函数是否有零点分大类 2 在小类中再按导函数零点的大小比较分小类 3 在小类中再按零点是否在定义域中分类 21 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练2已知函数f x lnx mx m R 1 若m 1 求曲线y f x 在点P 1 1 处的切线方程 2 讨论函数f x 在 1 e 上的单调性 22 考向一 考向二 考向三 考向四 23 考向一 考向二 考向三 考向四 讨论函数极值点的个数例3 节选 设函数f x ln x 1 a x2 x 其中a R 1 讨论函数f x 极值点的个数 并说明理由 2 略 解 1 定义域为 1 令g x 2ax2 ax 1 a x 1 当a 0时 g x 1 则f x 0在 1 上恒成立 则f x 在 1 上单调递增 即当a 0时 函数无极值点 24 考向一 考向二 考向三 考向四 25 考向一 考向二 考向三 考向四 26 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间 极值 最值 恒成立问题的步骤 1 求函数定义域 2 求导 通分或因式分解或二次求导 目的 把导函数 弄熟悉 3 对参数分类 分类的层次 1 按导函数的类型分大类 2 按导函数是否有零点分小类 3 在小类中再按导函数零点的大小分小类 4 在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类 27 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练3 2018湖南衡阳一模 理21节选 已知函数f x lnx x2 ax a 0 1 讨论f x 在 0 1 上的极值点的个数 2 略 28 考向一 考向二 考向三 考向四 29 考向一 考向二 考向三 考向四 求函数的极值 最值例4 2018宁夏银川一中一模 理21 已知函数f x lnx ax2 a 2 x 1 若f x 在x 1处取得极值 求a的值 2 求函数y f x 在 a2 a 上的最大值 30 考向一 考向二 考向三 考向四 31 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得求最值的常用方法是由导数确定单调性 由单调性确定极值 比较极值与定义域的端点值确定最值 32 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练4已知函数f x lnx ax2 x a R 1 当a 0时 求函数f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 令g x f x ax 1 求函数g x 的极值 33 考向一 考向二 考向三 考向四 34 考向一 考向二 考向三 考向四 在恒成立中求参数的极值 最值例5 2018陕西榆林一模 文21 已知函数f x ex a x 1 其中a 0 e为自然对数的底数 1 求函数f x 的单调区间 2 已知b R 若函数f x b对任意x R都成立 求ab的最大值 解 1 因为f x ex a 当a 0时 由f x 0得x lna 所以当x lna 时 f x 0 f x 单调递增 综上 当a 0时 函数f x 的单调递增区间为 lna 单调递减区间为 lna 35 考向一 考向二 考向三 考向四 2 当a 0时 由函数f x b对任意x R都成立 得b f x min 因为f x min f lna 2a alna 所以b 2a lna 所以ab 2a2 a2lna 设g a 2a2 a2lna a 0 所以g a 4a 2alna a 3a 2alna 36 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得1 k f x 或k f x 恒成立 求参数k的最值问题 一般的解题思路是 先求f x 的最小值 或最大值 得出关于k g t 或k g t 的函数不等式 然后再求函数g t 的最值 从而得出k的最值 2 对于导函数的零点存在但不可求的问题 可根据零点存在定理确定出零点所在的区间 在求函数的最值时可利用整体代换的方法求解 这是在用导数解决函数问题中常见的