等腰三角形中的相等线段.doc

等腰三角形中的相等线段教学设计一、教学目标：1.学会利用等腰三角形的轴对称性，发现等腰三角形中相等的线段，并且利用三角形全等及等腰三角形的性质证明这些结论。2.通过动手实践，合作交流，培养观察、分析、解决问题的能力。3.鼓励学生积极思考，在实践、探究、证明中体验数学学习的乐趣，逐步培养学生想象能力，合作与探究的意识。教学重点：在探索过程中利用等腰三角形的轴对称性证明等腰三角形中相等的线段。教学难点：设置探究活动中，让学生由浅入深、循序渐进地探索等腰三角形中的相等线段，并熟练运用。二、教学过程：1、复习旧知：昨天，已经要求大家对本章内容进行总结概括，下面请课代表组织大家进行汇报。课代表：大家上午好，下面请各小组派出代表进行本章内容汇报。生1：在本章中我们先学习了轴对称图形和图形的轴对称的概念，根据轴对称的性质能够作出轴对称图形的对称轴及画轴对称图形，并归纳得出对应点连线段被对称轴垂直平分的性质，并由这一结论的得出我们讨论并研究了垂直平分线的性质定理及逆定理。课代表：接下来我们又学习了等腰三角形及等边三角形，并学习了等腰三角形及等边三角形的性质及判定。同学们请说说轴对称图形的性质和等腰三角形的性质分别是什么呢？生1：轴对称图形性质：关于某条对称轴对称的两个图形对应边相等、对应角相等；对应点连线段被对称轴垂直平分；对应线段的沿长线交点在对称轴上。生2：等腰三角形的两腰相等，两底角相等;等腰三角形底边高线、底边中线、顶角平分线重合；师：同学们汇报的非常好，即把本章的所有内容展示出来，又突出了本章的重点。本节课，我们将利用等腰三角形的是轴对称图形来研究等腰三角形中相等的线段。设计意图：通过复习等腰三角形的性质，为证明等腰三角形中相等的线段作准备。师生活动：教师提问，学生组织语言回答，教师主要的任务是让学生把等腰三角形与轴对称图形联系起来，通过建构知识，掌握知识的内在联系，为以下的活动提供理论依据。2、引入新知：活动一：探索并证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图：在ABC中，AB=AC，点D为BC中点，过点D分别向AB、AC作垂线交于点E、F，将等腰三角形沿对轴称AD翻折，观察线段DE、DF的数量关系，并请明。设计意图：通过折叠等腰三角形ABC，能让学生直观的感受到DE与DF重合，即相等。再利用三角形全等或角平分线性质可证明结论。师生互动：学生动手操作，当每个学生心中有了自己的答案时再小组内交流讨论，得到一致的结论。教师在小组中走动，帮助学生解惑。最后由小组的代表发表结论，在全班内讨论。变式（一）：若此时点D为AD（即等腰三角形底边中线）上或射线AD上一点，那么上面的结论还成立吗？你还能得到哪些相等的线段。设计意图：此结论的证明方法同上，所得结论相同，同时也让学生得到结论：只要是等腰三角形对称轴上任一点到两腰的距离都是相等的。师生活动：教师通过几何画板展示动态图形，让学生直观感受到等腰三角形对称轴上任一点到两腰距离相等。学生总结结论：等腰三角形对称轴上任一点到两腰距离相等。变式（二）：在ABC中，AB=AC，点D为BC中点，如果DE、DF分别是AB、AC上的中线或ADB，ADC的平分线，那么DE、DF还相等吗？归纳（一）：设计意图：此问题的证明对于学生来说比较简单，通过三角形全等的判定即可证出来。设计本活动的主要作用是让学生从得到的结论中认清等腰三角形中相等的线段归根结底是利用等腰三角形的轴对称性。师生活动：由于本题证明简单，因此不需要小组讨论，只需在教师的引导下学生口头证明即可。教师再用几何画板演示，当点D为延长线上一点时，结论仍然成立。活动二：根所等腰三角形的轴对称性，解决问题：如图：AD是等腰三角形的对称轴，E是腰AB上任一点，请你作出点E关于AD的对称点F。（可以使用圆规、直尺、三角板中的一种或几种）总结：无论是哪种画法，我们都可以得出线段EF被AD垂直平分，即E、F关于AD对称。设计意图：通过等腰三角形腰上任一点的对称点，学生可以采用一题多解，通过动手操作和直观想象，让学生脑洞大开。既充分利用等腰三角形的轴对称性，巩固了等腰三角形的性质，同时又锻炼学生动手动脑能力，小组合作讨论，体会知识的生成过程。师生活动：学生自己动手操作，小组讨论，互通有无，并按小组汇报。教师引导学生说出做题方法及理论依据，提示知识的本质，使思想升华。三、知识延伸：斯坦纳雷米欧司定理等腰三角形的两底角平分线相等，反过来，三角形的两内角平分线相等，这个三角形是等腰三角形吗？定理来源：1840年，德国数学家雷米欧斯给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。等腰三角形的两底角平分线相等，初中生都会证明。但反过来，三角形的两内角平分线相等，这个三角形一定是等腰三角形吗？我至今还没想出来。”此后斯图姆又向许多数学家提出了这个问题，请求给出一个纯几何证明。一年多后，瑞士几何学家斯坦纳首次证明了它，于是这个问题以“斯坦纳-雷米欧斯”定理而闻名于世。后世发展：斯坦纳的证明发表后，经起了数学界极大反响。论证这个定理的文章发表在1842年到1864年的几乎每一年的各种杂志上。后来一家数学刊物公开征解，竟然收集并整理了60多种证法，编成一本书。直到1980年，美国数学老师月刊还登载了这个定理的研究现状，随后又收到了2000多封来信，增补了20多种证法并收到了一个最简单的直接证法。经过几代人的努力，100年的研究，“斯坦纳雷米欧司定理”已成为数学百花园中最惹人喜爱的瑰丽花朵！四、练习：1.如图，在ABC中，AB=AC，AD是高，点O是AD 上任一点，OEAB，OFAC，垂足分别为点E、F，下列的结论不成立的是（ ）AAE=AF B.OE=OF C.OA=OD D.BE=CF2. 如图，在ABC中，AB=AC，点D为BC中点，点M、N分别在AB、AC上，且AM=AN，连接DM、DN，若DM=5，则DN= 五、课堂小结：本节课你学到了什么？1.学到了哪些知识，会解决哪一类的问题.2.学到了哪些数学思想.六、当堂测验：1. 在ABC中，AB=AC，点D为BC中点，点D到AB的距离为3cm，则点D到AC的距离为 。