高考数学一轮复习 12函数与方程课件 （文） 新人教A版.ppt

第十二讲函数与方程 回归课本 1 函数的零点 1 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 2 方程f x 0有解 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 3 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 2 二分法 1 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点x1 3 计算f x1 a 若f x1 0 则x1就是函数的零点 b 若f a f x1 0 则令b x1 此时零点x0 a x1 c 若f x1 f b 0 则令a x1 此时零点x0 x1 b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复2 4 考点陪练 1 2010 天津 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 由于f 0 10 根据函数的零点存在性定理 知函数f x 的零点在区间 0 1 内 选c 答案 c 2 2010 江苏盐城 方程log4x x 7的解所在区间是 a 1 2 b 3 4 c 5 6 d 6 7 解析 构造函数f x log4x x 7 f 5 log45 20 f x 在 5 6 内有零点 即log4x x 7在 5 6 内有解 故选c 答案 c 解析 因为f 1 2 0 f 2 ln2 1 0 所以在 1 2 内f x 无零点 a错误 又f 3 ln3 0 所以f 2 f 3 0 所以f x 在 2 3 内至少有一个零点 答案 b 4 若函数f x x2 2x a没有零点 则实数a的取值范围是 a a1c a 1d a 1解析 由方程x2 2x a 0的判别式小于0可得a 1 答案 b 5 三次方程x3 x2 2x 1 0在下列哪些连续整数之间没有根 a 2与 1之间b 1与0之间c 0与1之间d 1与2之间解析 f 2 f 1 0 f 1 f 0 0 f 1 f 2 0 f x 在 2 1 1 0 1 2 内均有根 故只有c选项符合题意 答案 c 类型一函数零点存在性的判断与方法解题准备 函数零点个数的判定有下列几种方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 3 画两个函数图象 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 典例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x x3 x 1 x 1 2 3 f x log2 x 2 x x 1 3 4 f x x x 0 1 解 1 f 1 200 f 1 f 8 0 f 1 f 2 0 f x x3 x 1在区间 1 2 上存在零点 3 f 1 log2 1 2 1 log22 1 0 f 3 log2 3 2 3 log28 3 0 f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x在区间 1 3 上存在零点 4 画出f x x的图象如图所示 由图象可知 f x x在 0 1 内的图象与x轴没有交点 故f x x在区间 0 1 上不存在零点 反思感悟 判断函数在某个区间上是否存在零点 要根据具体题目灵活处理 当能直接求出零点时 就直接求出进行判断 当不能直接求出时 可根据零点存在性定理 当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断 类型二二分法求方程的近似解解题准备 1 用二分法求函数的零点时 最好是利用表格 将计算过程所得到各个区间 中点坐标 区间中点的函数值等置于表格中 可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程 有时也可利用数轴来表示这一过程 2 在确定方程近似解所在的区间时 转化为求方程对应函数的零点所在的区间 找出的区间 a b 长度尽可能小 且满足f a f b 0 典例2 求函数f x x3 2x2 3x 6的一个为正数的零点 误差不超过0 1 分析 由于要求的是函数的一个正数零点 因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间 m n 且f m f n 0 所以可取区间 1 2 作为计算的初始区间 当然选取 0 2 也是可以的 解 f 1 60 存在x 1 2 使f x 0 用二分法逐次计算 列表如下 最后一个区间端点精确到0 1的近似值都是1 7 所求的正数零点是1 7 反思感悟 用二分法求函数零点的近似值 首先要选好计算的初始区间 这个区间既要包含所求的根 又要使其长度尽量小 其次要依据给定的精确度 及时检验所得区间的端点的近似值 精确到给定的精确度 是否相等 以决定是停止计算还是继续计算 类型三函数零点的应用解题准备 由于函数的零点与函数的图象以及相应方程的根都有密切的关系 因此我们通过研究函数的零点问题 可讨论方程根的分布问题 解不等式 也可以作出相应的函数的图象 讨论函数的性质 我们在解决有关问题时 一定要充分利用这三者的关系 观察 分析函数的图象 找函数的零点 判断各区间上函数值的符号 使问题得以解决 典例3 已知函数f x x2 2ex m 1 g x x x 0 1 若g x m有零点 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 分析 1 g x m有零点 可以分离参数转化为求函数最值 2 利用图象求解 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其对称轴x e f x max m 1 e2 若函数f x 与g x 的图象有两个交点 必须有m 1 e2 2e 即m e2 2e 1 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 反思感悟 在解答有关函数零点的综合问题时 常利用方程思想或利用函数构造法 并结合数形结合的思想来解决此类问题 错源一函数零点定理使用不当致误 典例1 函数f x mx2 2x 1有且仅有一个正实数的零点 则实数m的取值范围是 a 1 b 0 1 c 0 1 d 1 剖析 解本题易出现的错误是分类讨论片面 函数零点定理使用不当 如忽视了对m 0的讨论 这样就会出现误选c的错误 正解 当m 0时 x 为函数的零点 当m 0时 若 0 即m 1时 x 1是函数唯一的零点 若 0 显然x 0不是函数的零点 这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f x mx2 2x 1 0有一个正根一个负根 即mf 0 0 即m 0 故选b 答案 b 评析 函数的零点定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条连续的曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也是方程f x 0的根 我们称这个结论为函数的零点定理 函数的零点有 变号零点 和 不变号零点 如本题中的x 1就是函数的 不变号零点 对于 不变号零点 函数的零点定理是 无能为力 的 在解决函数的零点问题时要注意这个问题 错源二 极值点 与 零点 关联不清 典例2 若函数f x x3 3x a有3个不同的零点 则实数a的取值范围是 a 2 2 b 2 2 c 1 d 1 错解 由题意知方程x3 3x a 0有3个根 a的取值范围为 1 故选d 剖析 本题的错误在于不能将函数零点问题与导数的应用联系起来求解 不能从极值的角度分析函数的图象 因此找不到解题的突破口 正解 函数f x 有3个不同的零点 即其图象与x轴有3个不同的交点 因此只需f x 的极大值与极小值异号即可 f x 3x2 3 令3x2 3 0 则x 1 故极值为f 1 和f 1 f 1 a 2 f 1 a 2 所以应有 a 2 a 2 0 故a 2 2 选a 答案 a 技法确定方程根的个数的三种方法一 利用函数的周期性 典例1 设函数f x 在 上满足f 2 x f x 2 f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上只有f 1 f 3 0 1 试判断函数y f x 的奇偶性 2 试求方程f x 0在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 解题切入点 对于 1 可用特殊化策略求解 对于 2 可据条件首先求出函数的周期 利用其周期适当分段结合题设条件确定 故f x 在 0 10 和 10 0 上均有两根 从而可知y f x 在 0 2000 上有400个根 在 2000 2005 上有两根 在 2000 0 上有400个根 在 2005 2000 上没有根 所以函数y f x 在 2005 2005 上有802个根 答案 c 方法与技巧 如果函数y f x 在区间 a b 上