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第二章 函数 函数的解析式和定义域 第6讲 1 3 已知f x 是一次函数 且f x 2f x 2x 1 则函数f x 3 已知f x 是一次函数 且f x 2f x 2x 1 则函数f x 解析 设f x ax b且a 0 因为f x 2f x 2x 1 所以a x b 2 ax b 2x 1 4 已知f 2x 1 的定义域为 0 2 则f x 的定义域为 解析 因为0 x 2 所以 1 2x 1 3 令t 2x 1 则f t 的定义域为 t 1 t 3 即f x 的定义域为 1 3 1 3 5 设函数f x 满足f x 2f x 3sinx cosx 则f p 解析 令x p得f p 2f p 1 令x p得f p 2f p 1 联立 解得f p 具体函数的定义域 点评 求函数的定义域总是归结为解不等式 组 要认真观察函数的具体表达形式 1 是开偶次方与对数式复合 自变量的取值范围既要满足开偶次方有意义 又要使对数式有意义 2 要特别注意cosx 0 因为x r 所以满足cosx 0的x的范围是等距离离散的实数区间 对k的取值进行逐一检验 并用并集表示函数的定义域 复合函数的定义域 例2 已知函数f x 的定义域是 a b 求函数y f 1 2x 的定义域 点评 复合函数的定义域关键是对复合函数的理解 函数y f g x 的定义域是其中x的范围 g x 的取值范围是函数f x 的定义域 变式练习2 已知函数f 2x 的定义域为 1 2 求函数f log2x 的定义域 求函数的解析式 解析 当x 0时 g x x0 所以f g x f x x g f x g x2 x2 点评 求函数解析式要注意 里 层函数的值域是 外 层函数的定义域 从关系上看 f g x 与f x 是同一对应关系的函数 仅是自变量的取值不同 这时g x 的值域就是f x 中x的范围 这是求复合函数的定义域时不可忽视的问题 变式练习3 已知f 1 cosx sin2x 求f x 的解析式 解析 设u 1 cosx 则cosx 1 u 所以cos2x 1 u 2 所以sin2x 1 1 u 2 u2 2u 因为u 1 cosx 0 2 所以f x x2 2x x 0 2 3 7 解析 因为x 1 3 所以2x 1 3 7 即函数f x 的定义域是 3 7 0 2 解析 由题意令2x x2 0得0 x 2 即定义域为 0 2 3 若函数f x 是一次函数 且f f x 4x 3 则函数f x 的解析式是 f x 2x 1或f x 2x 3 4 等腰三角形的周长是20 底边长y是一腰的长x的函数 则y 20 2x x 5 10 2 已知f x 的定义域是 a b 求f g x 的定义域是指满足a g x b的x的取值范围 而已知f g x 的定义域
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