江苏省连云港市田家炳中学高三数学 53平面向量的数量积及平面向量的应用举例复习课件.ppt

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例 基础梳理 1 两个向量的夹角 1 定义已知两个向量a和b 作 a b 则 aob 叫做向量a与b的夹角 2 范围向量夹角 的取值范围是 a与b同向时 夹角 a与b反向时 夹角 3 向量垂直如果向量a与b的夹角 则a与b垂直 记作 a b 非零 0 180 0 180 90 2 平面向量的数量积 1 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 我们把数量叫做a和b的数量积 或内积 记作a b 即a b 并规定零向量与任一向量的数量积为 2 一向量在另一向量方向上的投影 定义设 是a和b的夹角 则叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 当0 90 时 它是 当90 180 时 它是 当 90 时 它是 a b的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与的投影 b cos 的乘积 b在a方向上 a b cos 0 a b cos a cos b在a方向上 正数 负数 0 3 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e 2 a b a b 3 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b 特别地 a a a2 a 2或 a 4 a b a b 5 cos 是a与b的夹角 a cos 0 a b a b 4 向量数量积的运算律 1 a b 交换律 2 a b 数乘结合律 3 a b c 分配律 5 平面向量数量积的坐标表示a x1 y1 b x2 y2 1 a b 2 a b 3 a b 4 若a与b夹角为 则cos 5 若c的起点坐标和终点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 c 6 平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步 1 选好基向量 2 建立平面几何与向量的 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为 3 通过研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 4 把运算结果 翻译 成 几何关系 联系 向量问题 向量运算 基础达标 1 2010重庆改编 若向量a 3 m b 2 1 a b 0 则实数m的值为 解析 因为a b 6 m 0 所以m 6 6 2 2010安徽改编 设向量a 1 0 b 则下列结论中正确的有 写出所有正确结论的序号 a b a b a b与b垂直 a b 解析 利用向量的坐标运算 直接验证即可判定 是错误的 而a b a b b 0 即a b与b垂直 故只有 是正确的 3 必修4p77练习2改编 设e1 e2是两个单位向量 它们的夹角是60 则 2e1 e2 3e1 2e2 解析 2e1 e2 3e1 2e2 6e 2e 7e1 e2 6 2 7 1 1 cos60 4 已知向量a 2 1 a b 10 a b 5 则 b 5 解析 由a 2 1 得 a 由 a b 5知 a b 2 a 2 b 2 2a b 50 得 b 5 5 必修4p81习题13改编 已知 a 1 b 6 a b a 2 则向量a与向量b的夹角是 解析 因为由条件得a b a2 2 所以a b 2 a2 3 故所求夹角的余弦为cos 即夹角为 经典例题 例1 1 2010广东改编 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x 2 2010天津改编 如图 在 abc中 ad ab 则 分析 1 利用数量积公式化简计算 2 利用正弦定理进行化简求解 题型一数量积的运算 解 1 8a b 8 8 2 5 6 3 8a b c 6 3 3x 30 x 4 2 cos dac cos dac sin bac sinb sinb 变式1 1 2010广州模拟 已知点a 1 0 b 0 1 c 2sin cos 1 若 求tan 的值 2 若 其中o为坐标原点 求sin2 的值 解析 1 a 1 0 b 0 1 c 2sin cos 2sin 1 cos 2sin cos 1 化简得 2sin cos cos 0 若cos 0 则sin 1 上式不成立 tan 2 1 0 0 1 2sin cos 1 2 2sin 2cos 1 sin cos sin cos 2 sin2 题型二模长与垂直问题 例2 已知 a 4 b 8 a与b的夹角是120 1 计算 a b 4a 2b 2 当k为何值时 a 2b ka b 分析 1 利用模长公式 a 和 a b 求解 2 利用向量垂直的充要条件 通过坐标表示列方程求k 解 由已知得 a b a b cos120 4 8 16 1 a b 2 a2 2a b b2 16 2 16 64 48 a b 4 4a 2b 2 16a2 16a b 4b2 16 16 16 16 4 64 3 162 4a 2b 16 2 若 a 2b ka b 则 a 2b ka b 0 ka2 2k 1 a b 2b2 0 即16k 16 2k 1 2 64 0 k 7 解析 1 方法一 b c cos 1 sin 则 b c 2 cos 1 2 sin2 2 1 cos 1 cos 1 0 b c 2 4 即0 b c 2 当cos 1时 有 b c 2 向量b c的长度的最大值为2 方法二 b 1 c 1 b c b c 2 当cos 1时 有b c 2 0 即 b c 2 b c的长度的最大值为2 变式2 1 2009湖北 已知向量a cosa sina b cosb sinb c 1 0 1 求向量b c的长度的最大值 2 设 且a b c 求cosb的值 2 方法一 由已知可得b c cos 1 sin a b c cos cos cos sin sin cos cos a b c a b c 0 即cos cos 由 得cos cos 即 2k k z 2k 或 2k k z 于是cos 0或cos 1 方法二 若 则a 又由b cos sin c 1 0 得a b c cos 1 sin cos sin a b c a b c 0 即cos sin 1 sin 1 cos 平方后化简得cos cos 1 0 解得cos 0或cos 1 题型三夹角问题 例3 已知a b都是非零向量 且 a b a b 求a与a b的夹角 分析 由公式cos 可知 求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积 本题中 a b a b 的充分利用是求数量积的关键 考虑怎样对条件进行转化 解 方法一 由 a b a b 得 a 2 b 2 b 2 a2 2a b b2 所以a b a2 而 a b 2 a 2 2a b b 2 2 a 2 2 a 2 3 a 2 所以 a b a 设a与a b的夹角为 则cos 由于0 180 所以 30 方法二 设a x1 y1 b x2 y2 由 a b a b 得 a 2 b 2 a b 2 a2 2a b b2 所以x12 y12 x22 y22 x12 y12 x22 y22 2x1x2 2y1y2 即x1x2 y1y2 x y 所以 a b 2 x1 x2 2 y1 y2 2 x12 y12 x22 y22 2x1x2 2y1y2 3 x12 y12 故 a b 设a与a b的夹角为 则cos 由于0 180 所以 30 变式3 1已知 a b 3 a和b的夹角为45 求当向量a b与 a b的夹角是锐角时 l的取值范围 解析 a b a b cos45 a b与 a b的夹角为锐角 a b a b 0 即a b 2 a2 b2 a b 0 把a b 3 a2 b2 a 2 b 2 2 9 11代入上式得3 2 11 3 0 解得 又因为a b与 a b的夹角为锐角 所以即 1 所以 题型四向量在几何中的应用 例4 已知等腰直角三角形aob中 ac bd为两直角边上的中线 求ac bd相交所形成的钝角的余弦值 分析 角的计算 可归结为两个向量的夹角的计算 本题适当建立坐标系后 正确地写出相关点的坐标及向量的坐标 即可通过运算求解 解析 如图 分别以等腰直角三角形aob的两直角边为x轴 y轴建立直角坐标系 设a 2a 0 b 0 2a 则d a 0 c 0 a a 0 2a a a 2a ac bd相交形成的钝角即为与的夹角 cos 即ac bd相交形成的钝角的余弦值为 变式4 1已知 abc中 ad为中线 求证 解析 以b为坐标原点 以bc所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系 设a a b c c 0 则 则 c a b c 0 所以即 易错警示 例1 若正 abc的边长为1 则 错解由于正 abc的边长为1 所以 a b c 60 所以 正解 与的夹角为180 bca 120 所以 例