江苏省高考数学二轮总复习 专题28 函数与方程的思想方法专题导练课件 理.ppt

1 函数与方程的思想方法 2 函数与方程的思想是中学数学中的基本思想 它在数学试题中占有较大比重 试题中的很多压轴题往往和函数与方程的思想有关 一个问题常常涉及到多个变量 这些变量之间相互关联 相互制约 为了解决问题 我们便把它们之间的这种制约关系用函数的形式反映出来 运用函数的知识来处理 这便是函数的思想 为确定某些未知量 常需建立量与量之间的等量关系 通过联立方程来求解 这便是方程思想 像这种利用函数与方程来解决问题的思想就是函数与方程思想 它在数学问题的解决中有着极为广泛的应用 3 1 应用函数思想解题的关键 在解题中 善于挖掘题目中的隐含条件 构造出函数解析式和活用函数的性质 这里所应用的函数性质包括 函数f x 的单调性 奇偶性 周期性 最大值和最小值以及图象变换等 要求我们熟练掌握一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 三角函数等基本初等函数的具体特性 2 应用函数思想的几种常见题型 遇到变量 构造函数关系解题 有关的不等式 方程 最小值和最大值之类的问题 利用函数观点加以分析 含有多个变量的数学问题中 选定合适的主变量 从而揭示其中的函数关系 实际应用问题 翻译成数学语言 建立数学模型和函数关系式 应用函数性质或不等式等知识进行解答 4 等差 等比数列中 通项公式 前n项和公式 都可以看成n的函数 数列问题也可以用函数知识加以解决 3 应用方程思想应着重考虑 把问题中对立的已知量与未知量通过建立等量关系统一在方程中 通过解方程解决 从分析问题的结构入手 找出主要矛盾 抓住某一个关键变量 将等式看成关于这个主变元 常称为主元 的方程 利用方程的特征解决 根据几个变量间的关系 判断符合哪些方程的性质和特征 通过研究方程所具有的性质和特征解决 在中学数学中常见数学模型 如函数 曲线等 经常转化为方程问题去解决 5 1 函数思想 1 利用函数的定义域和值域 例1 设不等式2x 1 m x2 1 对满足 m 2的一切实数m均成立 试求实数x的取值范围 6 分析 由于思维定势 易把问题看成关于x的不等式而进行讨论 然而 若变换一个角度 以m为变量 问题就是 已知关于m的一次不等式 x2 1 m 2x 1 0在 2 2 上恒成立 试求实数x的取值范围 于是可设f m x2 1 m 2x 1 则问题转化为求一次函数 或常数函数 f m 的值在 2 2 内恒为负值时实数x应该满足的条件 7 解析 问题可变成关于m的一次不等式 x2 1 m 2x 1 0在 2 2 上恒成立 设f m x2 1 m 2x 1 则 解得x 8 点评 本题的关键是变换角度 以参数m作为自变量而构造函数式 不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题 一般地 在一个含有多个变量的数学问题中 确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更明朗化 或者含有参数的函数中 将函数自变量作为参数 而参数作为函数 更具有灵活性 从而巧妙地解决有关问题 9 2 利用函数的单调性 例2 已知实数m n满足m3 3m2 5m 1 n3 3n2 5n 5 则m n为 分析 拟通过求出m n的具体取值显然是困难的 而注意到题设两等式的特征 可使我们联想构造函数并利用函数的单调性加以求解 10 解析 因为m3 3m2 5m 1 所以 m 1 3 2 m 1 2 0 又因为n3 3n2 5n 5 所以 1 n 3 2 1 n 2 0 设f x x3 2x 2 则 等价于f m 1 0 等价于f 1 n 0 于是f m 1 f 1 n 又显然f x 为r上的增函数 所以m 1 1 n 所以m n 2 11 3 利用函数的奇偶性 分析 方程左边两项均具有x 的形式 故可联想构造函数法来加以完成 12 解析 令f x x 1 则原方程等价于f 6x 5 f x 0 又易知f x 为奇函数 所以f x f x 0 所以f 6x 5 f x 另一方面 易证f x 为增函数 所以6x 5 x 所以x 13 4 利用函数的有界性与连续性 例4求证 方程x asinx b a 0 b 0 至少有一个正根 且它不超过a b 证明 设f x asinx b x 则f x 在r上是连续的且f 0 b 0 又f a b asin a b b a b a sin a b 1 0 若f a b 0 则a b就是方程的根 且它不超过a b 若f a b 0 又f 0 0 故在区间 0 a b 内至少存在一个实数x0 使得f x0 0 即x0 asinx0 b 故方程x asinx b至少有一个正根 且它不超过a b 14 评析 从几何意义上来讲 这里用到的结论是 若函数f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则函数f x 的图象必在区间 a b 内至少要穿越x轴一次 这便是根的存在性定理 15 5 利用函数的周期性 例5已知函数f x 满足f x 1 且f 1 2 求f 2010 的值 16 17 18 2 方程思想 1 利用根与系数的关系构造方程 例6已知 abc的三内角a b c成等差数列 且tana tanc 2 又知顶点c的对边c上的高等于4试求 abc的三边a b c及三内角 分析 已知了一个积式 考虑能否由其他已知得到一个和式 再用方程思想求解 19 20 21 2 运用根的判别式构造方程 分析 先使用三角公式进行变形 后通过察式子的特点而选择和发现最合适的方法加以解决 22 23 点评 本题原本是三角问题 引入参数后 通过三角变形 发现了其等式具有 二次 特点 于是联想了一元二次方程 将问题变成代数中的方程有实数解的问题 这既是 方程思想 也再现了 判别式法 参数法 的灵活应用 24 3 直接利用条件构造方程 分析 由于此题表面上重在 形 因而本题容易走入误区 老是想在 形 上找解决问题的突破口 而忽略了 数 本题的顺利求解可利用方程思想巧妙转化 25 26 27 28