江苏省连云港市田家炳中学高三数学 29幂函数复习课件.ppt

第九节幂函数 基础梳理 1 幂函数概念 一般地 形如 的函数称为幂函数 其中x是 a是 2 幂函数的图象 以y x y x2 y x3 y 为例 y xa 自变量 常数 3 幂函数的图象和性质 1 所有的幂函数在 都有定义 并且图象都过点 2 a 0时 幂函数的图象通过原点 并且在区间 0 上是 3 a 0时 幂函数的图象在区间 0 上是 在第一象限内 当x从右边趋向于原点时 图象在y轴右方无限地逼近 当x趋于 时 图象在x轴上方无限地逼近 4 当a为奇数时 幂函数为 当a为偶数时 幂函数为 偶函数 0 1 1 增函数 减函数 y轴 x轴 奇函数 4 五种基本幂函数的性质 x x 0 0 0 0 y y 0 非奇非偶 奇 偶 奇 奇 增 0 减 0 增 增 增 0 减 0 减 1 1 0 0 1 1 基础达标 1 必修1p72例1改编 下列函数中 y x3 y x 2 y x 3 y x4 是偶函数 是奇函数 填序号 解析 由f x 与f x 的关系及定义域是否关于原点对称 可知 为奇函数 为偶函数 2 必修1p73习题2改编 函数的定义域为 值域为 0 0 解析 y x 0且y 0 3 幂函数y x 1及直线y x y 1 x 1将平面直角坐标系的第一象限分成八个 卦限 如图所示 那么幂函数y x的图象经过的 卦限 是 4 下列命题 幂函数的图象都经过点 1 1 和点 0 0 n 0时 函数y xn的图象是一条直线 幂函数y xn 当n 0时是增函数 幂函数y xn 当n 0时 在第一象限内函数值随x值的增大而减小 其中正确的是 填序号 解析 y xa 当a 0时 图象不过 0 0 故 错误 y x0 1 x 0 不是直线 被除去一个点 0 1 故 错 显然不正确 5 已知点在幂函数f x 的图象上 则f x 的定义域为 奇偶性为 单调减区间为 0 和 0 0 0 奇函数 解析 设f x xa 则 a 3 f x x 3的定义域为 0 0 其为奇函数 且在 0 和 0 上单调递减 经典例题 例1 已知f x m2 2m m为何值时 f x 是 1 正比例函数 2 反比例函数 3 二次函数 4 幂函数 5 在 4 的条件下 满足在 0 上单调递增 题型一幂函数的定义 分析 1 2 3 4 分别用相应函数的定义来确定m的值 5 中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系 解 1 若f x 为正比例函数 则 2 若f x 为反比例函数 则 3 若f x 为二次函数 则 4 若f x 为幂函数 则m2 2m 1 5 由 4 得当时 在 0 上单调递减 不合题意 当时 在 0 上单调递增 所以 变式1 1如果幂函数y m2 3m 3 xm2 m 2的图象不过原点 则m的值是 解析 由幂函数的定义 得m2 3m 3 1 解得m 1或m 2 又图象不过原点 所以m2 m 2 0 解得 1 m 2 故m 1或m 2皆适合 1或2 例2 点 2 在幂函数f x 的图象上 点在幂函数g x 的图象上 1 求f x g x 的解析式 2 问当x取何值时有 f x g x f x g x f x g x 分析 先求出幂函数的解析式 再利用图象判断f x g x 的大小关系 解 1 设f x xa 因为点 2 在幂函数f x 的图象上 将 2 代入f x xa中 得2 a 解得a 2 即f x x2 设g x xb 因为点在幂函数g x 的图象上 将代入g x xb中 得 2 b 解得b 2 即g x x 2 2 方法一 在同一坐标系下作出f x x2和g x x 2的图象如图所示 由图象可知 当x 1或xg x 当x 1或x 1时 f x g x 当 1 x 1且x 0时 f x g x 方法二 令 得x4 1 即x2 1 即 x 1 当x 1或xg x 令 得x4 1 当x 1时 f x g x 令 得x4 1 即 x 1 当 1 x 1且x 0时 f x g x 变式2 1已知函数f x k z 1 若f x 为偶函数 且在 0 上是增函数 求f x 的解析式 2 若f x 在 0 上是减函数 求k的取值范围 解析 1 f x 在 0 上是增函数 则 解得 13 k z 题型三幂函数性质的应用 例3 比较下列各组值的大小 3 0 20 5和0 40 3 分析 可借助幂函数和指数函数的单调性 有时也要借助中间值 解 1 由于幂函数在 0 上是减函数 所以 因此 即 2 由于因此 3 由于指数函数y 0 2x在r上是减函数 所以0 20 5 0 20 3 又由幂函数y x0 3在 0 上是递增函数 所以0 20 3 0 40 3 故有0 20 5 0 40 3 变式3 1当0 a b 1时 下列不等式正确的是 1 a a 1 b b 1 a b 1 a a 1 b b 解析 由0 1 b b 1 a a 1 b b 题型四幂函数的综合应用 例4 已知对任意的x1 x2 0 且x1 x2 幂函数f x x p2 2p 3 p z 满足f x1 f x2 并且对任意的x r f x f x 0 1 求p的值 并写出相应的函数f x 的解析式 2 对于 1 中求得的函数f x 设函数g x qf x 2q 1 x2 1 问 是否存在实数q q 0 使得g x 在区间 4 上是减函数 且在 4 0 上是增函数 若存在 求出q的值 若不存在 说明理由 分析 由条件易知f x 是偶函数且在 0 上是增函数 这样可求出f x 的解析式 再代入g x 的表达式得g x 的解析式 解 1 幂函数f x x p2 2p 3 p z 在 0 上是增函数 p2 2p 3 0 解得 1 p 3 又p z 则p 0 1或2 当p 0或2时 f x x3不是偶函数 当p 1时 f x x4是偶函数 p 1 此时f x x4 2 g x qx4 2q 1 x2 1 令t x2 设g t g qt2 2q 1 t 1 t 0 t x2在 0 上是减函数 当x 4 时 t 16 当x 4 0 时 t 0 16 当g t 在 16 上是增函数 在 0 16 上是减函数时 g x 在 4 上是减函数 在 4 0 上是增函数 此时二次函数g t 的对称轴方程为t 16 即 存在符合题意的实数q 变式4 1已知幂函数y xm2 2m 3 m n 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 求满足的a的取值范围 解析 函数在 0 上单调递减 m2 2m 30时 x 0 等价于a 1 3 2a 0或3 2a a 1 0或a 1 0 3 2