第三章：三角函数、解三角形.doc

五年高考真题分类汇编：三角函数、解三角形一、填空题1. （2013福建高考理）如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_【解析】本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力因为sinBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理得，BD .【答案】2（2013安徽高考理）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，则角C_.【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用由3sin A5sin B可得3a5b，又bc2a，所以可令a5t(t0)，则b3t，c7t，可得cos C，故C.【答案】3（2013浙江高考理）在ABC中，C90，M是BC的中点，若sinBAM，则sinBAC_.【解析】本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题考查考生灵活利用公式的能力ABM中，由正弦定理，所以a，整理得(3a22c2)20 ，故sinBAC.【答案】4（2013新课标卷高考理）设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.【解析】本题考查三角函数诱导公式、两角差的三角函数公式、三角函数的化简运算及求最值的方法，意在考查考生利用两角差的三角函数公式进行化简、运算和转化的能力先利用asin xbcos x的结构通过构造进行合并化简为一个函数，然后讨论函数f(x)取到最值的条件，并利用诱导公式求解f(x)sin x2cos x sin (x)，其中sin ，cos ，当x2k(kZ)时函数f(x)取到最大值，即2k时函数f(x)取到最大值，所以cos sin .【答案】5. （2013新课标卷高考理）设为第二象限角，若tan，则sin cos _.【解析】本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力法一：由在第二象限，且tan，因而sin，因而sin cos sin.法二：如果将tan利用两角和的正切公式展开，则，求得tan .又因为在第二象限，则sin ，cos ，从而sin cos .【答案】6（2013江西高考理）函数ysin2x2sin2x的最小正周期T为_【解析】本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期性，意在考查考生的转化与化归能力以及运算能力ysin 2x2 sin2xsin 2xcos 2x2sin(2x)，所以该函数的最小正周期T.【答案】7（2013大纲卷高考理）已知是第三象限角，sin ，则cot _.【解析】本题考查同角三角函数关系由是第三象限角及sin ，可得cos ，所以cot 2 .【答案】2 8（2013四川高考理）设sin 2sin ，则tan 2的值是_【解析】本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力因为sin 2sin ，所以2sin cos sin ，cos .又，所以，tan 2tan .【答案】9（2013重庆高考文）设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_【解析】本题主要考查二次函数的图像、三角函数的运算、三角不等式的解法、不等式恒成立问题根据题意可得(8sin )248cos 20，即2sin2cos 20，2sin2(12sin2 )0，即sin .因为0，故（0， ）（，）.【答案】（0， ）（，）10（2013江苏高考文）函数y3sin的最小正周期为_【解析】本题主要考查三角函数的周期性，意在考查学生的运算能力T.【答案】11.（2013新课标高考文）函数ycos(2x)()的图像向右平移个单位后，与函数ysin的图像重合，则_.【解析】本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用将ycos(2x)的图像向右平移个单位后得到ycos的图像，化简得ycos(2x)，又可变形为ysin.由题意可知2k(kZ)，所以2k(kZ)，结合知.【答案】12.（2013新课标卷高考文）设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.【解析】本题主要考查三角函数的化简与求值f(x)sin(x)，其中sin ，cos ，当x时，f(x)最大，即2k(kZ)，2k(kZ)，cos cossin .95.【答案】13.（2013江西高考文）设f(x)sin 3xcos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|a，则实数a的取值范围是_【解析】本题主要考查两角和与差的公式、辅助角公式的应用、三角函数的基本性质，考查化归与转化思想由题意知f(x)2sin，则|f(x)|2，所以a2.【答案】2，)14.（2013四川高考文）设sin 2sin ，则tan 2的值是_【解析】本题主要考查简单的三角恒等变换，意在考查考生对公式的掌握与应用sin 22sin cos sin ，cos ，又，sin ，tan ，tan 2.【答案】15（2013山东高考文）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为_【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即圆心角PCA2，则PCB2，所以PBsin(2)cos 2，CBcos(2)sin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以OP(2sin 2,1cos 2)【答案】(2sin 2,1cos 2)16（2012重庆高考理）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，b3，则c_.【解析】由题意知sin A，sin B，则sin Csin(AB)sin Acos Bcos AsinB，所以c.【答案】17.（2012上海高考理）函数f(x)的值域是_【解析】因为f(x)2sin xcos x2sin 2x，且sin 2x1,1，所以函数f(x)的值域是，【答案】，18（2012湖南高考理）函数f(x)sin (x)的导函数yf(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点(1)若，点P的坐标为(0，)，则_；(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_【解析】f(x)cos(x)(1)当，x0时，由cos，得3；(2)曲线yf(x)的半周期为，在这个半周期内，曲线与x轴围成的区域的面积为xCxAcos(x)dx，根据三角函数图象的关系，这个定积分等于0sin xdx(cos x)02，此时三角形ABC的面积为，所以所求的概率为.【答案】319.（2012江苏高考理）设为锐角，若cos()，则sin(2)的值为_【解析】因为为锐角，cos()，所以sin()，sin 2()，cos 2()，所以sin(2)sin2().【答案】20.（2012大纲卷高考理）当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时，x_.【解析】ysin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)的最大值为2，又0x2，故当x，即x时，y取得最大值【答案】21（2012北京高考理）在ABC中，若a2，bc7，cos B，则b_.【解析】根据余弦定理代入b24(7b)222(7b)()，解得b4.【答案】422.（2012湖北高考理）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C_【解析】(ab)2c2ab，cos C，C.【答案】23.（2012福建高考理）已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_【解析】依题意得，ABC的三边长分别为a，a,2a(a0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：.【答案】24.（2012安徽高考理）设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)若abc2，则C；若ab2c，则C；若a3b3c3，则C；若(ab)c2ab，则C若(a2b2)c22a2b2，则C.【解析】由abc2，得c2ab，由余弦定理可知cos C，因为C(0，)，函数ycos x在(0，)上是减函数，所以C，即正确由余弦定理可知cos C，所以C，即正确若C是直角或钝角，则a2b2c2，即()2()21，而，(0,1)，而函数yax(0a1)在R上是减函数，所以()3()3()2()21与a3b3c3矛盾，所以假设不成立，所以C，即正确因为(ab)c2ab，所以c，即abc2，转化为命题，故错误因为(a2b2)c22a2b2，所以c2ab，即abc2，转化为命题，故错误【答案】25（2012江苏高考文）设为锐角，若cos()，则sin(2)的值为_【解析】因为为锐角，cos()，所以sin()，sin2()，cos2()，所以sin(2)sin2().【答案】26（2012上海高考文）函数f(x)的最小正周期是_【解析】f(x)sin xcos x2sin 2x2，T，故答案为.【答案】27（2012福建高考文）在ABC中，已知BAC60，ABC45，BC，则AC_.【解析】由正弦定理得，得AC.【答案】28（2012北京高考文）在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_【解析】由正弦定理可知sin B，所以B或(舍去)，所以CAB.【答案】29（2012大纲卷高考文）当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时，x_.【解析】ysin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)的最大值为2，又0x2，故当x，即x时，y取得最大值【答案】30.（2012重庆高考文）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则sin B_.【解析】由余弦定理及题中条件可得cos C，解得c2，所以三角形ABC为以BC为底边的等腰三角形，故BC，得cos B.由同角三角函数的基本关系式可得sin2B1cos2B，又因为B(0，)，可得sin B.【答案】31（2011新课标高考）在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_【解析】在ABC中，根据，得ABsinCsinC2sinC，同理BC2sinA，因此AB2BC2sinC4sinA2sinC4sin(C)4sinC2cosC2sin(C)(tan)，因此AB2BC的最大值为2.【答案】232（2011北京高考）在ABC中，若b5，B，tanA2，则sinA_；a_.【解析】因为ABC中，tanA2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sinA，再由正弦定理得，代入数据解得a2.【答案】233（2011大纲卷高考）已知(，)，sin，则tan2_.【解析】依题意得cos，tan，tan2.【答案】34（2011安徽高考）已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_【解析】不妨设角A120，c0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x，即sin xcos x1.于是sin.从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为.42（2013福建高考理）已知函数f(x)sin(x)(0,00，得2.又曲线yf(x)的一个对称中心为，(0，)，故fsin0，得，所以f(x)cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得ycos x的图象，再将ycos x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)cos的图象，所以g(x)sin x.(2)当x时，sin x，0cos 2xcos 2xsin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2xsin xsin xcos 2x在内是否有解设G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x，则G(x)cos xcos xcos 2x 2sin 2x(2sin x)因为x，所以G(x)0，G(x)在内单调递增又G0，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0满足题意(3)依题意，F(x)asin xcos 2x，令F(x)asin xcos 2x0.当sin x0，即xk(kZ)时，cos 2x1，从而xk(kZ)不是方程F(x)0的解，所以方程F(x)0等价于关于x的方程a，xk(kZ)现研究x(0，)(，2)时方程a的解的情况令h(x)，x(0，)(，2)，则问题转化为研究直线ya与曲线yh(x)，x(0，)(，2)的交点情况h(x)，令h(x)0，得x或x.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xH(x)00h(x)11当x0且x趋近于0时，h(x)趋向于，当x且x趋近于时，h(x)趋向于，当x1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内无交点，在(，2)内有2个交点；当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内有2个交点，在(，2)内无交点；当1a0，p(1)a1，p(1)a1.当a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)(另一个零点t21，舍去)，F(x)在(0,2上有两个零点x1，x2，且x1，x2(，2)；当a1时，函数p(t)有一个零点t1(0,1)(另一个零点t21，舍去)，F(x)在(0,2上有两个零点x1，x2，且x1，x2(0，)；当1a0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用(1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减45（2013重庆高考理）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2 abc2.(1)求C；(2)设cos Acos B，求tan 的值解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力(1)因为a2b2abc2，由余弦定理有cos C.故C.(2)由题意得.因此(tan sin Acos A)(tan sin Bcos B)，tan2sin Asin Btan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B.因为C，所以AB，所以sin(AB)，因为cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即sin Asin B，解得sin Asin B.由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4.46.（2013新课标卷高考理）如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解：本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力(1)由已知得，PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA232cos30.故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.47（2013新课标卷高考理）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：本题主要考查解三角形的基本知识，意在考查考生运用正、余弦定理以及三角形面积公式求解相关问题的能力，属于得分题(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.48（2013北京高考理）在ABC中，a3，b2 ，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解：本题考查正弦定理、二倍角公式、三角恒等变换公式等基础知识，意在考查方程思想和考生的运算求解能力(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A .又B2A，所以cos B2cos2A1.所以sin B .在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以c5.49（2013陕西高考理）已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性，意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力f(x)( sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcos sin 2xsincos 2xsin.(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，知当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(x)取得的最小值.因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是.50（2013江西高考理）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解：本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力(1)由已知得cos(AB)cos A cos B sin Acos B0，即有sin Asin B sin Acos B0，因为sin A0，所以sin B cos B0，又cos B0，所以tan B ，又0B，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accos B.因为ac1，cos B，所以b232.又0a1，于是有b21，即有b1.51（2013广东高考理）已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.解：本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数的基本关系、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力(1)fcoscoscos 1. (2)f(2) cos cos cos 2sin 2.因为cos ，所以sin .所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.所以fcos 2sin 2.52(2013山东高考理)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解：本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角差的正弦公式等基础知识，考查方程思想，考查运算求解能力(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9.解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.53(2013大纲卷高考理)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin A sin C2sin Asin Ccos (AC)2sin Asin C2，故AC30或AC30，因此C15或C45.54(2013湖北高考理)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解：本题考查三角恒等变换公式、三角形的面积公式、正余弦定理等基础知识，考查化归与转化思想、方程思想等数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A0，所以4，因此1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.因此1f(x).故f(x)在区间，上的最大值和最小值分别为，1.61(2013大纲卷高考文)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.解：本题主要考查余弦定理、三角恒等变换公式等基础知识，考查转化与化归、方程等数学思想，考查逻辑思维能力和简单的计算能力(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C2，故AC30或AC30，因此C15或C45.62(2013福建高考文)如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值解：本题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2，由余弦定理，得OM2OP2MP22OPMPcos 45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON.故SOMNOMONsin MON.因为060，则30230150，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM30时，OMN的面积的最小值为84.63(2013湖南高考文)已知函数 f(x)cos xcos.(1)求f的值；(2)求使f(x)成立的x的取值集合解：本题主要考查三角函数值的求解、三角函数化简和解三角不等式，意在考查考生的算求解能力和转化处理能力(1)fcos coscoscos2.(2)f(x)cos xcoscos xcos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos.f(x)等价于cos，即cos0.于是2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.故使f(x)成立的x的取值集合为.64(2013浙江高考文)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin Bb.(1)求角A的大小；(2) 若a6，bc8，求ABC的面积解：本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力(1)由2asin Bb及正弦定理，得sin A.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式Sbcsin A，得ABC的面积为.65(2013天津高考文)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B. (1)求b的值； (2)求sin的值解：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力(1)在ABC中，由，可得bsin Aasin B，又由bsin A3csin B，可得a3c，又a3，故c1.由b2a2c22accos B，cos B，可得b.(2)由cos B，得sin B，从而得cos 2B2cos2 B1，sin 2B2sin Bcos B.所以sinsin 2Bcos cos