高考数学总复习 第四单元 第二节 导数的应用Ⅰ课件.ppt

第二节导数的应用 利用导数求函数的单调区间 求函数f x x2 2lnx的单调区间 分析先计算f x 再去研究不等f x 0和f x 0 解 令f x 0得 x 0 x2 1 x 1 即函数的增区间是 1 令f x 0 得 x 0 x2 1 0 x 1即函数的减区间是 0 1 规律总结求函数的单调区间的步骤 1 求f x 的定义域 2 求f x 3 令f x 0得增区间 令f x 0得减区间 变式训练1已知a r 函数f x x a 求f x 的单调区间 解析 由题意知函数f x 的定义域为 x x 0 当x 0时 f x 0 既不是增函数也不是减函数 x 0时 当a 0时 f x 0 f x 在 0 上是增函数 当a 0时 f x 0 3x a 0 f x 在上 为增函数 f x 0 0 x f x 在 0 上是减函数 综上 当a 0时 f x 的递增区间为 0 当a 0时 f x 的递增区间为 递减区间为 0 利用导数证明不等式 已知x 1 证明不等式x lnx成立 分析构造函数g x x lnx 利用函数g x 的单调性证明 证明令g x x lnx 则g 1 1 ln1 1 0 x 1 g x 在 1 上为增函数 g x g 1 0 即x lnx 规律总结利用函数的单调性证明不等式是证明不等式的常用技巧 若证明f x g x x a b 可以等价转化为证明f x g x 0 如果 f x g x 0 说明函数f x g x 在区间 a b 上是增函数 如果f a g a 0 由增函数下定义可知 当x a b 时 f x g x 0 即f x g x 变式训练2若 求证 x sinx 证明 设f x x sinx 则f x 1 cosx 0 f x 在上递增 又f 0 0 x 0时f x f 0 即x sinx 已知函数的单调性 求参数范围 12分 函数 1 若f x 在 0 上是增函数 求a的取值范围 2 若f x 在 1 上是减函数 求a的取值范围 分析单调性对应的导数的正负 转化为恒成立问题 解 1 2分若f x 在 0 上是增函数 则f x 0在x 0 时恒成立 4分即 a 2x3 max 5分 x 0 2x3 0 a 0 7分故a的取值范围是 0 2 若f x 在 1 上是减函数 则f x 0恒成立 8分即a 2x3 min 10分 x2 a 2 故a可取值范围是 2 12分 规律总结 1 若f x 在 a b 上单调递增 则f x 0在x a b 恒成立 f x 不恒为0 若f x 在 a b 上单调递减 则f x 0在x a b 恒成立 f x 不恒为0 2 不等式恒成立问题 可以转化为求函数的最值问题来研究 如a f x x d 恒成立 可得a f x max x d a f x x d 恒成立 可得a f x min x d 也可利用函数图象求解 如二次不等式讨论恒成立问题时 多采用图象法 解析 由题意得f x 3x2 2ax 0在x 0 2 上恒成立 即在x 0 2 上恒成立 变式训练3若函数f x x3 ax2 1在 0 2 内单调递减 求实数a的取值范围 1 掌握判断函数在某区间上单调性的步骤 掌握单调区间的求法 注意在定义域上研究单调区间 2 已知含参数函数f x 在某区间上的单调性 求参数范围时 注意可以用分离参数法求范围 并且注意当函数f x 在区间上是增函数时有f x 0 是减函数时有f x 0 已知函数f x ax3 3x2 x 1在r上是减函数 求a的取值范围 错解f x 3ax2 6x 1 当f x 0时 f x 是减函数 即3ax2 6x 1 0在r上恒成立 故解得a 3 错解分析f x 0 x a b 是f x 在 a b 上单调递减的充分不必要条件 在解题过程中易误作充要条件 如f x x3在r上是减函数 但f x 3x2 0 f x 在 a b 上单调递减应为f x 0在 a b 上恒