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第十章 立体几何几何初步 柱 锥 台 球的表面积与体积 第58讲 几何体的表面积 例1 斜三棱柱abc a1b1c1的底面是边长等于a的正三角形 侧棱长等于b 一条侧棱aa1和底面相邻的两条边ab ac都成45 角 求这个斜三棱柱的侧面积 解析 如图 由于侧棱aa1和底面相邻的两条边ab ac都成45 角 所以点a1在底面abc内的射影o在 bac的平分线ad上 由于底面abc是正三角形 所以bc ad 即bc ao 点评 由于给出的棱柱不是正棱柱 所以在求侧面积时 应对每一个侧面的面积分别进行计算 本题的关键是判断侧面bb1c1c的形状 其中应用了非常重要的结论 从角的顶点出发的一条射线 如果它和角的两边所成的角相等 那么这条射线在角所在平面内的射影在角的平分线上 自己证明 变式练习1 在三棱柱abc a1b1c1中 底面是边长为a的正三角形 且aa1与ac ab所成的角均为60 且a1a ab 求该三棱柱的侧面积 几何体的体积 例2 如图 边长为4的正方形abcd所在平面与正 pad所在平面互相垂直 q是ad的中点 求三棱锥c pbd的体积 点评 若用直接法求三棱锥c pbd的体积 就必须求c到平面pbd的距离 显然这是比较困难的 一般来讲 当直接法求距离 高 遇到较大阻力时 往往可以轮换三棱锥中的顶点 将底面和高转化为题目已知或容易求解的问题 这是解决求高或体积问题时常用的思路 变式练习2 将棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中截去一角b1 a1bc1 求三棱锥b1 a1bc1的体积 并求三棱锥b1 a1bc1的高 空间几何体的内接 内切 外接问题 例3 如图 已知一个圆锥的底面半径为r 高为h 在其中有一个高为x的内接圆柱 1 求圆柱的侧面积 2 当x为何值时 圆柱的侧面积最大 点评 圆锥的内接问题 一般都要借助于三角形的相似找到变量之间的比例关系 将未知的变量转化为已知变量来解决 圆柱 圆锥的表面积和体积求解的关键是求出底面半径 母线长和高 再准确运用公式进行计算 而求最大 最小值的问题 往往都是转化为某个变量的函数 再运用相关函数的图象和性质求解即可 变式练习3 求棱长为1的正四面体的外接球的半径r 5 设圆锥底面圆周上两点a b间的距离为2 圆锥顶点到直线ab的距离为 ab和圆锥的轴之间的距离为1 求该圆锥的体积 1 熟练掌握各种几何体的结构特征是求几何体的侧面积和体积的前提条件 特别是正棱柱和正棱锥的结构特征 求多面体的侧面积的关键是将侧面沿着一条棱剪开 展成一个平面图形 弄清楚各个侧面的形状 然后将各个侧面的面积相加即得所求侧面积 注意侧面积与表面积的区别 表面积是在侧面积的基础上加上底面面积 2 了解柱 锥 台 球的表面积和体积的计算公式 不要求记忆公式 注意公式间的联系与区别 与圆柱 圆锥 球有关的组合体问题 主要是指内接和外切 解题时要认真研究轴截面 分析平面图 借助相似成比例或直角三角形中的勾股定理找到变量之间
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