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极坐标系的概念 问题2 如何刻画这些点的位置 情境1 军舰巡逻在海面上 发现前方有一群水雷 如何确定它们的位置以便将它们引爆 情境2 请问到江山怎么走 问题1 为了简便地表示上述问题中点的位置 应创建怎样的坐标系呢 问题情境 请分析这句话 他告诉了问路人什么 从这向西走1000米 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想 就是极坐标的基本思想 情境2 请问到江山怎么走 1 极坐标系的建立 在平面内取一个定点o 叫做极点 引一条射线ox 叫做极轴 再选定一个长度单位和计算角度的正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 o 建构数学 2 极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点m 用 表示线段om的长度 用 表示以射线ox为始边 射线om为终边所成的角 叫做点m的极径 叫做点m的极角 有序数对 就叫做m的极坐标 极点的极坐标为 0 可为任意值 思考 对比直角坐标系 比较异同 要素 2 平面内点的极坐标用 表示 极点 极轴 长度单位 计算角度的正方向 例1 如图 写出各点的极坐标 x 1 数学运用 变式训练 在学案的图上描下列点 小结 由极坐标描点的步骤 1 先按极角找到点所在射线 2 在此射线上按极径描点 思考 平面上一点的极坐标是否唯一 若不唯一 那有多少种表示方法 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 3 点的极坐标的表达式的研究 如图 om的长度为4 请说出点m的极坐标的表达式 思考 这些极坐标之间有何异同 思考 这些极角有何关系 这些极角的始边相同 终边也相同 也就是说它们是终边相同的角 极径相同 不同的是极角 4 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 1 给定 就可以在极坐标平面内确定唯一的一点m 2 给定平面上一点m 但却有无数个极坐标与之对应 原因在于 极角有无数个 如果限定 0 0 2 那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了 数学运用 在一般情况下 极径都是取正值 但在某些必要的情况下 也允许取负值 0 当 0时如何规定 对应的点的位置 当 0时 点m 的位置规定 m 点m 在角 终边的反向延长线上 且 om 5 关于负极径 小结 从比较来看 负极径比正极径多了一个操作 将射线op 反向延长 x 小结 2k 2k 1 都是同一点的极坐标 1 例3 已知点q 分别按下列条件求出点p的坐标 1 p是点q关于极点o的对称点 2 p是点q关于直线的对称点 3 p是点q关于极轴的对称点 注意点m的极坐标具有多值性 数学运用 3 一点的极坐标有否统一的表达式 1 建立一个极坐标系需要哪些要素 极点 极轴 长度
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