高中数学 4.2.1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

4 2直线 圆的位置关系4 2 1直线与圆的位置关系 自学导引 学生用书p88 1 了解直线与圆的位置关系 有相离 相切 相交三种情形 2 会用几何法 d与r的关系 代数法 直线方程与圆的方程解的组数 来判断直线与圆的位置关系 3 了解圆的切线方程的几种常见形式 会依据条件求圆的切线方程 课前热身 学生用书p88 直线与圆有三种位置关系 1 直线与圆 有两个公共点 2 直线与圆 有一个公共点 3 直线与圆 没有公共点 相交 相切 相离 名师讲解 学生用书p88 1 判断直线与圆的位置关系的两种方法 1 利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断 dr 相离 2 联立直线与圆的方程 转化为一元二次方程 利用判别式 进行判断 0 相交 0 相切 0 相离 2 有关直线与圆相交所得的弦长问题一般地 求直线与圆相交所得的弦长 可结合垂径定理与勾股定理 几何法 来处理 也可利用韦达定理 代数法 来处理 3 求圆的切线方程的常用方法 1 若点p x0 y0 在圆c上 过点p的切线只有一条 利用圆的切线的性质 求出切线的斜率 k切 代入点斜式方程可得 也可以利用结论 若点p x0 y0 在圆x2 y2 r2上 则过该点的切线方程是x0 x y0y r2 若点p x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2上 则过该点的切线方程是 x0 a x a y0 b y b r2 2 若点p x0 y0 在圆c外 过点p的切线有两条 这时可设切线方程为y y0 k x x0 利用圆心c到切线的距离等于半径求k 若k仅有一值 则另一切线斜率不存在 应填上 也可用判别式 0求k的值 典例剖析 学生用书p88 题型一直线与圆的位置关系例1 直线x y 3 0与圆x2 y2 4x 2y 3 0是相切 相离还是相交 消去y 并整理可得 x2 6x 9 0 6 2 4 9 0 直线与圆相切 方法2 将已知圆配方得 x 2 2 y 1 2 2 圆心 2 1 到直线的距离 故直线与圆相切 规律技巧 判断圆与直线的位置关系有以下两种方法 1 把圆c的圆心c a b 到直线l的距离d与圆的半径r作比较 即圆c与直线l相离 d r 圆c与直线l相切 d r 圆c与直线l相交 d r 2 用圆c和直线l的公共点的个数来判定 一般需通过解方程组进行消元 然后用判别式来判断 这种方法计算量大一点 但具有较普遍的意义 变式训练1 以点c 4 3 为圆心的圆与直线2x y 5 0相离 则圆c的半径r的取值范围是 解析 圆心c 4 3 到直线2x y 5 0的距离 题型二切线问题例2 已知圆的方程是x2 y2 r2 求经过圆上一点m x0 y0 的切线方程 分析 只要求出切线的斜率即可 解 如右图所示 设切线的斜率为k 半径om的斜率为k1 因为圆的切线垂直于过切点的半径 于是 当点m在坐标轴上 可以验证上面方程同样适用 变式训练2 求由下列条件所决定圆x2 y2 4的切线方程 1 经过点 2 经过点q 3 0 3 斜率为 1 解 1 点在圆上 故所求切线方程为 2 32 02 4 点q在圆外 设切线方程为y k x 3 即kx y 3k 0 直线与圆相切 圆心到直线的距离等于半径 k 所求切线方程为y 即 3 设圆的切线方程为y x b 代入圆的方程 整理得2x2 2bx b2 4 0 直线与圆相切 2b 2 4 2 b2 4 0 解得b 所求切线方程为x y 规律技巧 2 也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程 3 也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程 题型三弦长问题例3 直线l经过点p 5 5 且和圆c x2 y2 25相交 截得弦长为求l的方程 分析 若直线l的斜率不存在 l x 5与圆c相切 可知直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 5 k x 5 再根据弦长得方程求k 解法1 设直线l的方程为y 5 k x 5 且与圆c相交于a x1 y1 b x2 y2 两边平方 整理得2k2 5k 2 0 解得或k 2 代入 1 知 0 故直线l的方程为x 2y 5 0 或2x y 5 0 解法2 如右图所示 oh是圆心到直线l的距离 oa是圆的半径 ah是弦长ab的一半 在rt aho中 oa 5 规律技巧 关于弦长问题 通常有两种方法 其一称为代数法 即将直线方程代入圆的方程 消去一个变量y 或x 利用韦达定理 代入两点间距离公式求解 其二称为几何法 即半弦长 弦心距 半径组成直角三角形 利用直角三角形求解 本例说明几何法比代数法简便 变式训练3 求直线l 3x y 6 0被圆x2 y2 2y 4 0截得的弦长 消去y得x2 3x 2 0 解得x1 1 x2 2 y1 3 y2 0 两交点坐标a 1 3 b 2 0 弦长 易错探究例4 求过点p 6 8 与圆c x2 y2 2x 4y 20 0相切的直线方程 错解 将圆的方程配方 得 x 1 2 y 2 2 25 圆心c 1 2 半径r 5 易知点p 6 8 在圆c外部 设切线方程为y 8 k x 6 即kx y 6k 8 0 由圆心到切线的距离等于半径得解得 切线方程为即3x 4y 14 0 错因分析 事实上 从圆外一点作圆的切线有两条错解中只考虑了斜率存在的情况 忽略了斜率不存在时的切线 造成错解 正解 在错解中补充上 另一条切线x 6即可 技能演练 学生用书p90 基础强化1 若直线x y m 0与圆x2 y2 m相切 则m为 a 0或2b 2c d 无解解析 依题意得 m2 2m m 0 m 2 答案 b 2 直线y x 1上的点到圆x2 y2 4x 2y 4 0的最近距离为 解析 圆心 2 1 到直线y x 1的距离是 直线上的点到圆的最近距离是答案 c 3 若直线ax by 1与圆x2 y2 1相交 则点p a b 的位置是 a 在圆上b 在圆外c 在圆内d 以上都有可能解析 由题意可得 点p a b 在圆外 答案 b 4 设直线过点 0 a 其斜率为1 且与圆x2 y2 2相切 则a的值为 a 4b c 2d 解析 直线方程为y a x 即x y a 0 该直线与圆x2 y2 2相切 a 2 答案 c 5 直线3x 4y 5 0与圆2x2 2y2 4x 2y 1 0的位置关系是 a 相离b 相切c 相交且过圆心d 相交不过圆心 解析 将圆的方程配方得 直线与圆相交且通过圆心 答案 c 6 过点的直线l将圆 x 2 2 y2 4分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小时 直线l的斜率k 解析 当直线l与过圆心 2 0 和点的直线垂直时 直线l截得的劣弧最短 此时其对的圆心角最小 可求得 7 若直线y x k与曲线恰有一个公共点 则k的取值范围是 解析 利用数形结合法 8 求与直线y x 3平行且与圆 x 2 2 y 3 2 8相切的直线方程 解 方法1 设直线的方程为y x m 即x y m 0 圆 x 2 2 y 3 2 8的圆心坐标为 2 3 半径为由得m 5或m 3 所以直线方程为y x 5或y x 3 方法2 设直线的方程为y x m 和圆的方程联立消去y得2x2 2m 10 x m2 6m 5 0 由直线与圆相切 2m 10 2 8 m2 6m 5 0 即m2 2m 15 0 解得m 5或m 3 所以直线的方程为y x 5或y x 3 能力提升9 在直线上求一点p 使p到圆x2 y2 1的切线长最短 并求出此时切线的长 解 设p x0 y0 则切线长故当p为时 切线长最短 其值为 10 求经过点p 6 4 且被定圆x2 y2 20截得弦长为直线的方程 分析 充分利用半径 弦 弦心距之间的关系 解 如下图所示 作oc ab于c 在rt oac中 oc 设所求直线的斜率为k 则直线的方程为y 4 k x 6 即kx y 6k 4 0 圆心到直线的距离为 即17k2 24k 7 0 k1 1 k2 所求直线方程为x y 2 0或7x 17y 26 0 品味高考 学生用书p90 11 2009 辽宁 已知圆c与直线x y 0及x y 4 0都相切 圆心在直线x y 0上 则圆c的方程为 a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 2c x 1 2 y 1