福建省福鼎市高三数学《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》复习课件.ppt

1 二元一次不等式表示的平面区域 1 一般地 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧的所有的点组成的平面区域 半平面 不含边界直线 不等式ax by c 0所表示的平面区域 半平面 含有边界直线 2 对于直线ax by c 0同一侧的所有的点 x y 使得ax by c值的符号相同 也就是位于同一半平面的点 其坐标适合ax by c 0 而位于另一半平面的点 其坐标适合ax by c 0 3 可在直线ax by c 0的某一侧任取一点 一般取特殊点 x0 y0 从ax0 by0 c的符号来判断ax by c 0 或ax by c 0 所表示的区域 2 基本概念 1 线性约束条件 由x y 或方程 组成的不等式组 是关于x与y的一次不等式 或等式 2 目标函数 要求最大值或最小值的函数 如z 2x y z x2 y2 3 线性目标函数 关于x y的一次函数 4 可行解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 5 可行域 由所有的可行解组成的集合叫做可行域 6 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫最优解 7 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题叫做线性规划问题 考点训练 1 2009 天津卷 设变量x y满足约束条件则目标函数z 2x 3y的最小值为 a 6b 7c 8d 23 答案 b 解析 不等式表示的平面区域如图所示 当z 2x 3y过点a时取得最小值 联立方程组取得a 2 1 将点a坐标代入z 2x 3y中得zmin 7 2 2009 海南 宁夏卷 设x y满足则z x y a 有最小值2 最大值3b 有最小值 无最大值c 有最大值3 无最小值d 既无最小值 也无最大值 答案 b 解析 如图 z x y表示直线过可行域时 在y轴上的截距 当目标函数平移至过可行域a点时 z有最小值 联立 解得a 2 0 z最小值 2 z无最大值 3 2009 北京卷 若实数x y满足则s x y的最大值为 答案 9 解析 不等式表示的平面区域如下图所示 由图象观察知 当目标函数过c 4 5 时 s x y取得最大值 smax 4 5 9 4 2009 湖北卷 在 家电下乡 活动中 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用400元 可装洗衣机20台 每辆乙型货车运输费用300元 可装洗衣机10台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为 a 2000元b 2200元c 2400元d 2800元 答案 b 解析 设甲型货车用x辆 乙型货车用y辆 总费用z元 则根据题意得z 400 x 300y 且作出可行域如下图所示 由可行域得 4 2 为此题的最优解 此时z 2200元 解读高考第二关热点关 题型一用二元一次不等式 组 表示平面区域 例1如图 abc中 a 0 1 b 2 2 c 2 6 写出 abc区域所表示的二元一次不等式组 解 由两点式得直线ab bc ca的方程并化简为 直线ab x 2y 2 0 直线bc x y 4 0 直线ca 5x 2y 2 0 原点 0 0 不在各直线上 将原点坐标代入到各直线方程左端 结合式子的符号可得不等式组为 点评 判断不等式表示的区域在直线的哪一侧 只需在直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 由ax0 by0 c的正负即可判别 当c 0时 常用原点来判别 变式1 2009 安徽高考 不等式组所表示的平面区域的面积等于 答案 c 题型二求目标函数的最值 例2已知求 1 z x 2y 4的最大值 2 z x2 y2的最小值 3 z 的最小值 解 画出可行域如下图所示 并分别求出顶点坐标a 1 3 b 3 1 c 7 9 1 作直线l0 x 2y 4 0 当l0向上平移过点c 7 9 时z取得最大值为21 2 由z x2 y2的几何意义知 它表示可行域内的点 x y 到原点 0 0 的距离的平方 由原点到直线ab的距离得 故z的最小值为 2 2 8 3 由z 的几何意义知 它表示可行域内点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 其最小值为kob 即z的最小值为 点评 线性规划求最值问题 要充分理解目标函数的几何意义 如直线的截距 两点间的距离 或平方 点到直线的距离 过已知两点的直线斜率等 变式2 已知x y满足约束条件求函数z x2 y2的最大值和最小值 解 已知不等式组为在同一坐标系中 画出可行域如图所示 题型三线性规划的实际应用 例3甲 乙两公司生产同一种产品 但由于设备陈旧 需要更新 经测算 对于函数f x g x 及任意的x 0 当甲公司投入x万元改造设备时 若乙公司投入改造设备费用小于f x 万元 则乙有倒闭的风险 否则无倒闭的风险 同样当乙公司投入x万元改造设备时 若甲公司投入改造设备费用小于g x 万元 则甲有倒闭的风险 否则无倒闭的风险 1 请解释f 0 g 0 的实际意义 2 设f x x 5 g x x 10 甲 乙两公司为了避免恶性竞争 经过协商 同意在双方均无倒闭的风险的情况下尽可能地减少改造设备资金 问此时甲乙两公司各投入多少万元 解 1 f 0 表示当甲公司不投入资金改造设备时 乙公司要避免倒闭 至少要投入f 0 万元的资金 g 0 表示当乙公司不投入资金改造设备时 甲公司要避免倒闭 至少要投入g 0 万元的资金 2 设甲公司投入的资金为x万元 乙公司投入的资金为y万元 依题意 甲乙公司均无倒闭风险 须双方均无倒闭的平面区域如图阴影部分 由得p 25 30 故在双方均无倒闭的情况下 甲公司至少要投入25万元 乙公司至少要投入30万元 点评 简单的线性规划问题指的是在线性约束条件下 求线性目标函数d ax by的最值 一般步骤包括 1 确定线性约束条件 并在直角坐标系中画出对应的平面区域 即可行域 2 由d ax by变形为所以求d的最值可看成是求直线在y轴上截距的最值 其中a b是常数 d随x y的变化而变化 3 将直线ax by 0平移 在可行域中 观察使最大 或最小 时所经过的点 4 将该点代入目标函数 从而求出d的最大值或最小值 变式3 某公司仓库a存有货物12吨 仓库b存有货物8吨 现按7吨 8吨和5吨把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库a运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库b运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为3元 4元 5元 问应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 解 将已知数据列成下表 费 运 吨 每 店 设仓库a运给甲 乙商店的货物分别为x吨 y吨 则仓库a运给丙商店的货物为 12 x y 吨 从而仓库b运给甲 乙 丙商店的货物分别为 7 x 吨 8 y 吨 x y 7 吨 于是总运费为z 8x 6y 9 12 x y 3 7 x 4 8 y 5 x y 7 x 2y 126 作出上述不等式组表示的平面区域 即可行域 如下图 作出直线l x 2y 0 把直线l平行移动 显然当直线l移动到过点 0 8 时 在可行域内z x 2y 126取得最小值zmin 0 2 8 126 110 则x 0 y 8时总运费最小 安排的调运方案如下 仓库a运给甲 乙 丙商店的货物分别为0吨 8吨 4吨 仓库b运给甲 乙 丙商店的货物分别为7吨 0吨 1吨 此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最小 笑对高考第三关技巧关 线性规划与最值问题常见代数式的几何意义 1 yx表示点 x y 与原点 0 0 连线的斜率 表示点 x y 与点 a b 连线的斜率 2 表示点 x y 与原点 0 0 的距离表示点 x y 与点 a b 间的距离 结合线性规划与代数式的几何意义可以解决一些最值问题 典例实系数一元二次方程x2 ax 2b 0有两个根 一个根在区间 0 1 内 另一个根在区间 1 2 内 求 1 点 a b 对应的区域的面积 2 的取值范围 3 a 1 2 b 2 2的值域 解 方程x2 ax 2b 0的两根在区间 0 1 和 1 2 上的几何意义分别是 函数y f x x2 ax 2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间 0 1 和 1 2 内 由此可得不等式组 在如图所示的aob坐标平面内 满足约束条件的点 a b 对应的区域为 abc 不包括边界 1 abc的面积为s abc bc h h为a到oa轴的距离 3 a 1 2 b 2 2表示区域内的点 a b 与定点 1 2 之间距离的平方 a 1 2 b 2 2 8 17 考向精测 解析 作出可行域如图所示 由题意得 a 答案 5 a 7 课时作业 二十一 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 一 选择题 1 2009 广东佛冈模拟 不等式x2 y2 0所表示的平面区域 阴影部分 是 答案 c 2 三个点p 1 1 q 2 2 r 0 1 中 在方程 x 1 y 1 1确定的曲线所围成区域中的个数有 a 3个b 2个c 1个d 0个 答案 c 解析 作图可知方程 x 1 y 1 1确定的曲线所围成区域中的点满足 x 1 y 1 1 将三个点的坐标分别代入可知 只有点p满足 故选c 答案 d 解析 不等式组表示的区域如图所示 由于直线ax y 1 0过定点 0 1 若围成面积为2 直线ax y 1 0还过点 1 4 把 1 4 代入直线得a 3 答案 c 解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示 由题意得a 1 9 c 3 8 当y ax过a 1 9 时 a取最大值 此时a 9 当y ax过c 3 8 时 a取最小值 此时a 2 2 a 9 5 2009 四川高考 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用a原料3吨 b原料2吨 生产每吨乙产品要用a原料1吨 b原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨 b原料不超过18吨 那么该企业可获得最大利润是 a 12万元b 20万元c 25万元d 27万元 答案 d 解析 设该企业在一个生产周期内生产甲产品x吨 乙产品y吨 获得利润z万元 则依题意有目标函数z 5x 3y 画出不等式组表示的平面区域及直线l0 5x 3y 0 易知当平移l0至经过点 3 4 时 z得最大值5 3 3 4 27 故选d 二 填空题 解析 作出可行域如下图 po 表示区域内的点到原点的距离 由图可知 当点p与点b重合时 po min 当点p与点c重合时 po max 答案 a 0 解析 在平面直角坐标系中 画出不等式组所表示的可行域 其中直线x ay 1 0经过定点 1 0 且斜率为 结合图形可知 只有当 0 即a 0时 目标函数z x 3y才能在 1 0 点取得最大值 如下图 1 若0 8 2009 山东高考 某公司租赁甲 乙两种设备生产a b两类产品 甲种设备每天能生产a类产品5件和b类产品10件 乙种设备每天能生产a类产品6件和b类产品20件 已知设备甲每天的租赁费用为200元 设备乙每天的租赁费为300元 现该公司至少要生产a类产品50件 b类产品140件 所需租赁费最少为 元 答案 2300 解析 设租赁甲 乙两种设备x y台 则目标函数z 200 x 300y 画出可行域知目标函数在点