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考研数学强化讲义微积分1.5常规考研题型分析 常规考点一 简单极限的计算（热点）（2004）若，则 b=（2005） （2006）（2007）（2009）（2010 ） 若，则等于A 0 B 1 C 2 D 3（2011）设，则（2012）常规考点二 无穷小、无穷大及其阶的比较（重点）（2007）当时，与等价的无穷小量是A B C D (2009)当时，与是等价的无穷小，则A B C D （2010）设，则当充分大时有A B C D （2011）已知当时，与是等价无穷小，则【 】A B C D （2013）当时，用“”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【 】(A) ( B) ( C ) ( D) （2002数一）设的某邻域内具有连续一阶导数，且，若时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。（2006数二、四）试确定常数A，B，C的值，使得 其中是当时比高阶的无穷小。常规考点三 极限的计算（重点）（2000一）（2004）（2005）（2006）设求（1）（2）（2008）（2010） 求极限（2011）求极限（2012）求极限（2013）当时，与为等价无穷小，求的值。常规考点四 数列的极限（2006数一、二）设数列满足（1）证明存在，并求该极限；（2）计算常规考点五 函数的连续性、间断点及其类型（重点）（2004）设函数在 内连续，则c=（2009）函数的可去间断点的个数为A 1 B 2 C 3 D 无穷多个（2008）设函数在-1,1上连续，则是函数的A跳跃间断点 B可去间断点 C无穷间断点 D震荡间断点（2004)设在内有定义，且，则A 必是的第一类间断点 B 必是的第二类间断点 C必是的连续点 D 在点处的连续性与a的取值有关(2013) 函数的可去间断点的个数为 【 】 (A) 0 ( B) 1 ( C ) 2 ( D) 3（2003）设，试补充定义，使得在上连续 习题一计算题 9. 10. 11. 12. 13. 已知试求第二章 导数与微分2.1 导数的概念与性质(三)内容提要导数的定义： 函数在一点处的导数定义有三种形式： 1. ；2. ；3. 导数的几何意义： 1.在几何上为过曲线上点处的切线斜率； 2.当时，为过曲线上点处的法线斜率导数的性质： 1. 可导的偶函数的导数是奇函数； 2. 可导的奇函数的导数是偶函数； 3. 可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变。(四)典型例题2.2 导数的计算(三)内容提要 1、基本初等函数的导数与微分： 相应的有基本初等函数微分表（略）。2、导数与微分的四则运算法则： （1）； （2） (3) 相应的有微分的四则运算法则。3、复合函数的导数： 设在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导且4、反函数的导数：如果函数在区间I上单调、可导且，则它的反函数在相应区间上可导，且有 。 2.3 中值定理与泰勒公式 (三)内容提要费马定理 若在处可导且取极值，则。罗尔定理 设在上连续，在内可导，则至少存在一点使得拉格朗日定理 设在上连续，在内可导，则至少存在一点使得柯西定理设在上连续，在内可导且，则至少存在一点使得泰勒定理 设在有n+1阶导数，则 其中之间。（四）典型例题（5）在上连续，在内可导，且，证明：1）存在一点使得；2）存在两个不同的使得（6）设函数在上连续，在内存在二阶导数，且（1）证明存在，使；（2）证明存在，使。（7）设函数在a,b上连续，在（a,b）内二阶可导且存在相等的最大值，又 证明：（1）存在；（2）存在。 2.4 导数的应用-函数（曲线）的几何形态讨论(三)内容提要函数的单调性： 设在上连续，在内可导，若时恒有，则在内单调增加；若时恒有，则在内单调减少。极值第一充分判别定理 设在连续，在除外）内可导，若时，时，则在处取极大值；若时，时，则在处取极小值。极值第二充分判别定理 设在二阶可导且，则 当时，在处取极小值；当时，在处取极大值；当时，本方法失效。在处是否取极值可用其他方法判别。曲线的凸凹性设在上连续，在内二阶可导，若时恒有，则曲线在内凹；若时恒有，则曲线在内凸。拐点的判别方法方法一 设在连续，在除外）内二阶可导，若在的两侧变号，则为曲线的拐点。方法二 设在内二阶可导，若，则为曲线的拐点。曲线的渐近线若，或或（三式中只要有一成立），则为曲线的水平渐近线；为函数的间断点，若，或或（三式中只要有一成立），则为曲线的铅垂渐近线若，或或（三式中只要有一成立），则为曲线的斜渐近线，其中。 2.7 考研题型分析常规考试题型一-导数概念与计算 (2006)设函数在的某邻域内可导，且，则（2006）设在处连续，且，则A且存在 B且存在 C且存在 D 且存在(2007) 设函数，则 （2010）设可导函数由方程 确定，则（2012）设函数，其中n为正整数，则【 】 (A) ( B) ( C ) ( D) （2012）设函数则（2013）设曲线与在点处有公共切线，则常规考试题型二-几何讨论（2006）设函数具有二阶导数，且为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则A B C D （2004）设,则A 是的极值点，但（0，0）不是曲线的拐点B 不是的极值点，但（0，0）是曲线的拐点C 是的极值点，且（0，0）是曲线的拐点D 不是的极值点，（0，0）也不是曲线的拐点（2004）设在a,b上连续，且，则下列结论中错误的是A至少存在一点，使得B至少存在一点，使得 C至少存在一点，使得D至少存在一点，使得（2005）设,下列命题正确的是A 是极大值，是极小值 B 是极小值，是极大值C 是极大值，也是极大值 D 是极小值，也是极小值（2005）以下四个命题中，正确的是A若在内连续，则在内有界B 若在内连续，则在内有界 C若在内有界，则在内有界D若在内有界，则在内有界（2005）当a取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点。A 2 B 4 C 6 D 8（2007）曲线渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3（2012）曲线渐近线的条数为 【 】(A) 0 ( B) 1 ( C ) 2 ( D) 3(2010) 设函数具有二阶导数，且。若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是 （A） （B） （C） D （2010）若曲线有拐点，则（2007）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凸凹性。（2012）已知函数满足方程（）求的表达式；（）求曲线的拐点。常规考试题型三-中值问题与不等式(2004) 设在a,b上连续，且满足，证明：（2005）设在0，1上的导数连续，且 证明：对任何，有（2006）证明：当时（2007）设函数在a,b上连续，在（a,b）内二阶可导且存在相等的最大值，又 证明：（1）存在（2）存在（2009 ）（1）证明拉格朗日中值定理，若函数在a,b上连续，在（a,b）内可导，则存在 (2)证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且（2010）设函数在上连续，在内存在二阶导数，且（1）证明存在，使；（2）证明存在，使（2012）证明： 。（2013）设函数在上可导，且证明：（）存在使得；（）对（）中的，存在，使得常规考试题型四- 经济应用（2007）设某商品的需求函数为，其中Q,p分别表示需求量和价格，如果该商品的需求弹性的绝对值等于1，则该商品的价格是A 10 B 20 C 30 D 40（2009）设某产品的需求函数为，其对价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使收益增加 元（2010）设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中价格，且，则(2004) 设某商品的需求函数为，其中价格为需求量。 （1）求需求量对价格的弹性 （2）推到（其中R为收益）并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。（2013）设生产某商品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为，（是单价，单位：元；Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （）该商品的边际利润；（）当时的边际利润，并解释其经济意义；（）使得利润最大的定价 习题二 .证明：当时，第三章 一元函数积分学3.1 不定积分 (三)内容提要 1.原函数与不定积分的定义 设是定义在区间I上的已知函数，若存在函数，使得在区间I上恒有 。则称为在区间I上的一个原函数。 若在区间I上有一个原函数，在区间I上必有无穷多个原函数，在区间I上全体原函数记作+c。 的全体原函数称为的不定积分，记作。 2.不定积分的性质 （1）求不定积分与求导（基本）互为逆运算： ， 。 （2）不定积分的基本性质 3.不定积分的计算 （1）直接积分法-分拆项法 （2）第一换元法凑微分法 设可导，则 （3）第二换元法设单调、可微且，若（4）分部积分法假定均具有连续的导函数，则（四）典型例题 注意3.2 定积分 (三)内容提要 1.定积分的定义设是区间上有定义的函数（分割，作和，求极限。详细叙述略）其中。 2.定积分的性质 （1）。（2）设都在上可积则有(3) 。（4）（5）设都在上可积，且，则。（6）设在上可积，且，则（7）若在上连续，则在上至少存在一点，使得。 3.原函数存在性定理与变限积分的导数 （1）如果在上连续，则在上的原函数一定存在，且 就是在上的原函数。 （2）（3）4.牛顿莱布尼兹公式设在上连续，为的任一原函数原函数，则 3.4 反常积分（一）考核知识点 无穷区间上的反常积分 无界函数的反常积分（二）考核要求 了解反常积分的概念，会计算反常积分。(三)内容提要 1. 无穷区间上的反常积分的概念（1）设在上连续，则定义 当上式右端极限存在时，称反常积分收敛，否则称它发散。（2）设在上连续，则定义 当上式右端极限存在时，称反常积分收敛，否则称它发散。（3）设在上连续，则定义 ，其中c为任意常数。当上式右端两个广义积分均收敛时，称反常积分收敛，否则称它发散。 2. 无界函数的反常积分的概念（1）设在上连续，在点无界，则定义 当上式右端极限存在时，称反常积分收敛，否则称它发散。（2）设在上连续，在点无界，则定义 当上式右端极限存在时，称反常积分收敛，否则称它发散。（3）设在上连续，在点均无界，则定义 当上式右端两个广义积分均收敛时，称反常积分收敛，否则称它发散。（4）设在上除点外连续，在点无界，则定义 当上式右端两个广义积分均收敛时，称反常积分收敛，否则称它发散。3.几个常见的反常积分（1）（2）（3）（4）3.5 定积分的应用 (三)内容提要 1.平面图形的面积（1）设在上连续，则由曲线及直线所围图形面积为（2）设在上连续，则由曲线及直线所围图形面积为2.旋转体的体积（1）设连续函数，则由曲线及直线及轴所围图形绕轴旋转一周所得旋转体体积为 当时，该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积为 （2）设连续函数，则由曲线及直线及轴所围图形绕轴旋转一周所得旋转体体积为 3.函数的平均值若在上连续，则在上平均值为。3.6 考研题型分析常规考研题型一 - 求不定积分（2009）计算不定积分（2011）（2013）=常规考研题型二 -定积分及其应用（2004）设，则（2008）设，则（2008）是周期为2的连续函数（1） 对任意的实数t有（2） 证明是周期为2的周期函数。（2009）使不等式成立的x的范围是 （A） （B） （C） D （2009）设曲线，其中是可导函数，且。曲线与直线所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程。（2010设位于曲线下方，轴上方的无界区域为，则绕轴旋转一周所得空间区域的体积为-（2010）（1）比较与的大小，说明理由； (2)记，求极限（2012）由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为（2013）设D是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是D绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积。若，求的值。常规考研题型三 -积分不等式(2004) 设在a,b上连续，且满足，证明：（2005）设在0，1上的导数连续，且 证明：对任何，有第四章 多元函数微积分学 4.1 多元函数微分学（一）考核知识点- 多元函数概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数的偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 (三) 内容提要1. 二元函数的极限与连续 设函数在区域D上有定义，为D的内点或边界点，则 时 恒有 。设函数在区域D上有定义，若称函数在点处连续。2偏导数的概念 设二元函数 （1） 。 （2）。 （3） 。（4）。3.可微性与全微分 若函数在点处的全增量可以表示为： 称函数在点处可微。称为函数在点处的全微分。 可微的必要条件若函数在点处可微，则在点处的两个偏导数：都存在，且有。即 可微的充分条件若在点处的两个偏导数存在且连续，则函数在点处可微。 高阶偏导与混合偏导若在D内的两个偏导数仍存在偏导数，则称该偏导数为的二阶偏导。的二阶偏导共有四个，分别为： 其中称为混合偏导。若在点处的两个混合偏导连续，则 多元复合函数的偏导设对可导，在对应点可微，则对可导。且有 多元隐函数微分法 设由方程确定Z是的函数，则 4.2 多元函数极值及其应用 (三) 内容提要1.多元函数极值 若存在点的邻域，使得 。则称在处取得极大值（极小值）。多元函数极值的必要条件 设在点处取得极值，且两个偏导数存在，则多元函数极值的充分条件 设在点的某邻域内具有二阶连续的偏导数，又；令，则 （1）当时，在处取得极值： 当时取得极大值，当时取得极小值。（2）当时，在处无极值。（3）当时，本方法失效。2.多元函数最值若函数在有界闭区域D上连续，则在有界闭区域D上一定有最大值与最小值。3.多元函数条件极值 求在约束条件下的极值（最大值或最小值），一般情况下，常用拉格郎日乘数法求解： 构造拉格朗日函数 由 得可能的极值点，然后计算并比较即可得。 4.3 二重积分 (三) 内容提要 1.二重积分的概念 平面上有界闭区域D上二元有界函数的二重积分其中为小区域的直径。 2.二重积分的性质（1）。（2）(3) 其中。（4）（5）若在D上成立，则。（6）若在有界闭区域D上连续，则在D上至少存在一点，使得。（四）典型例题 利用定积分的定义计算 4.4常规考研题型分析常规考研题型-多元函数微分（2005）设二元函数，则（2006）设可微，且则在点（1，2）处的全微分（2007）设是二元可微函数，则（2009）设，则（2011）设函数，则（2008）已知,则A 都存在 B 不存在，存在C 存在，不存在 D ，都不存在（2004）设函数由关系式确定，其中函数可微，且，则（2005）设具有二阶连续的导数，且，求 （2008）设是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且（1） 求dz（2） 记求（2011）已知函数设具有二阶连续的偏导数，是的极值，求（2012）设连续函数满足。则（2013）设函数由方程确定，则=常规考研题型-多元函数极值及其应用（2006）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，则下列选项正确的是A若，则B若，则 C若，则D若，则（2009）求二元函数的极值。（2010）求函数在约束条件下的最大值和最小值。（2012）某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为（件）和（件），且这两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）。（）求生产甲、乙两种产品的总成本函数（万元）；（）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可是总成本最小（）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。常规考研题型-计算二重积分（2005） 设 ，其中A B C D （2007）设函数连续，则二次积分等于 （A） （B） （C）（D （2012）设函数连续，则二次积分 【 】（A） (B) (C) (D)（2008）设，则 (2013) 设是圆域位于第象限的部分，记，则 【 】(A) ( B) ( C ) ( D) 计算题（2004） 求，其中D是由圆和 所围成（2005） 求，（2006） 求，其中D是由直线所围成（2007） 设二元函数 求，其中D=（2008）计算 其中（2009）计算二重积分其中D=（2010）计算二重积分其中D是由曲线与直线及围成。（2012）计算二重积分，其中D是以曲线及轴为边界的无界区域。（2013）设平面区域D由直线围成，计算第五章 无穷级数5.1 数项级数的敛散性 (三)内容提要 1.数项级数的概念与性质 无穷多个数依次相加所得到的式子称为无穷级数。简称级数。 称为前n项的部分和。若存在，称级数收敛，否则，称发散。 敛散性不变（相同）的性质： 性质1. 与敛散性相同。性质2. 在级数中添加或去掉或改变有限项的值都不影响级数的敛散性。收敛级数的性质：性质3. 若两个级数，均收敛，则收敛，且其和性质4. 若级数收敛，则任意加括号（注意：不改变项的次序）所得级数仍收敛，且其和不变。性质5. 级数收敛的必要条件是正项级数的敛散性 比较判别法的一般形式设，都是正项级数，且存在正常数，有，则（1）当收敛时，收敛；（2）当发散时，发散。比较判别法的极限形式 设，都是正项级数，且 ，则 （1）当时，与敛散性相同； （2）当时，若收敛，则收敛；若发散，则发散；（3）当时，若发散，则发散；若收敛，则收敛；达朗贝尔判别法 设，则当交错级数的敛散性 莱布尼兹判别法交错级数的一般形式是，其中。若交错级数满足：（1）（2）。则收敛。任意项级数的敛散性 若级数收敛，称绝对收敛；若级数发散，但收敛，称条件收敛。5.2 幂级数的收敛域及和函数 (三)内容提要1.幂级数的概念设为常数，形如的级数称为的幂级数。常数称为幂级数的系数，当时，称为的幂级数。2.幂级数的收敛半径、收敛域与收敛区间 如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必存在正数，使得当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数可能收敛也可能不收敛。称为幂级数的收敛半径。当幂级数仅在一点收敛时，；当幂级数在整个数轴上收敛时，3.幂级数的和函数及其性质 设幂级数收敛半径为，为幂级数在收敛域上的和函数，则（1）在收敛区间内连续，当在处收敛时，在处单侧连续。（2）在收敛区间内可导，且有 （3）在收敛区间内可积，且有 5.3 函数的幂级数展开 (三)内容提要 1.泰勒级数与麦克劳林级数设函数在点的某邻域内有任意阶导数，则称级数 为函数在点泰勒级数。特别地，若，则称级数为函数麦克劳林级数。 2.常用的幂级数展开式（1）三大基础公式 （2）衍生公式（由三大基础公式求导或积分或变量代换可得）5.4 考研试题题型分析常规考研题型-级数的概念与性质（2004）设有下列命题：（1）若收敛，则收敛；（2）若收敛，则收敛（3）若收敛，则发散；（4）若收敛，则，都收敛以上命题中正确的是【 】A(1) ，（2） B （2），(3) C(3) ，（4） D(1) ，（4） （2005）设若发散，收敛，则下列结论正确的是【 】 （A）收敛，发散 （B）收敛，发散 （C）收敛， （D）收敛 （2006）若级数收敛，则级数【 】（A）收敛， （B）收敛（C）若收敛 （D）收敛。（2011）设是数列，则下列命题正确的是【 】A若收敛，则收敛；B若收敛，则收敛；C若收敛，则收敛；D若收敛，则收敛（2012）已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则【 】(A) ( B) ( C ) ( D) （2013）设是正项数列，则下列选项正确的是【 】（A）若，则收敛；(B) 若收敛，则；(C)若收敛，则存在常数，使存在；(D)若存在常数，使存在，则收敛.常规考研题型-幂级数的和函数(2004) 设级数 的和函数为，求：（1）所满足的一阶微分方程；（2）的表达式。（2005）求级数内的和函数。（2006）求幂级数的收敛域及和函数（2008）设银行存款年利率r=0.05,并以年复利计算，某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，。，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元。（2009）幂级数 的收敛半径为常规考研题型-函数的级数展开（2007）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。 第六章 微分方程与差分方程6.1 一阶微分方程 (三)内容提要 1.几个基本概念微分方程：含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。微分方程的阶：在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。微分方程的解：若把某函数及其导数代入微分方程能使微分方程成为恒等式，则称该函数是该微分方程的解。微分方程的通解：含有与微分方程的阶数同样个数的独立的任意常数的解，称为微分方程的通解。微分方程的特解：不含任意常数的解称为微分方程的特解。 2.几个特殊的一阶微分方程 可分离变量的微分方程 形如的方程称为可分离变量的微分方程。齐次微分方程 形如的方程称为齐次微分方程一阶线性微分方程 形如的方程称为一阶线性微分方程6.2 二阶常系数微分方程 (三)内容提要 1.二阶常系数线性微分方程解的结构 设二阶常系数线性非齐次微分方程为 （1） 其对应的齐次微分方程为 （2）则有： （1）若是（2）的两个解，则（其中为任意常数）仍是（2）的解。 （2）若是（2）的两个线性无关的解，则（其中为任意常数）是（2）的通解。 （3）若是（1）的任意两个解，则为（2）的解。 （4）若为（1）的一个特解，为其对应的齐次微分方程的通解，则为（1）的通解。 （5）设线性非齐次微分方程的右端为两个函数之和，即 若分别是与的解，则是的解。2.二阶常系数线性齐次微分方程的通解设有方程