【走向高考】高考数学总复习 111两个计数原理(理) 课件 北师大版.ppt

1 理 排列与组合是中学数学中相对独立性较强的一部分 也是密切联系实际较强的一部分 一直是高考必考内容 从近几年各地高考试题看 预计仍会出排列 组合试题 试题的难度为 较易 到 中等 程度 排列 组合的试题仍会以现实生活中的生产问题 经济问题等为背景 2 理 历年高考的二项式定理试题以客观题的形式出现 多为课本例题 习题迁移的改编题 是多年来缺少变化的试题 考查内容还是以每年考的几方面为主 难度不大 重点考查的内容主要有 求多项式系数和 求某项系数 求二项式中的参数值 求常数项 有理项系数最大项 求整数余数 求近似值 试题常以选择或填空形式出现 有时解答题也会涉及到这些内容 难度与课本习题相当 3 古典概型与几何概型是两种最基本的概率问题 是高考重点关注的一个点 但深度有限 几何概型只要求会解决与长度 面积 体积相关的概率问题 重点是理解概率 学会转化 计算准确快捷 不宜过于深化与拓展 4 理 随机变量及其分布在高考中多以解答题的形式出现 分值一般在12分左右 属中 低档题 重点考查离散型随机变量的分布列 以及由此分布列求随机变量的均值 方差 特别是二项分布 1 理 1 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理 它贯穿于本单元学习的始终 体现了解决问题时将其分解的两种常用方法 即把问题分类解决或分步解决 是本单元学习的重点 2 正确区分使用两个原理是学好本单元的关键 区分 分类 与 分步 的依据在于能否 一次性 完成 若能 一次性 完成 则不需 分步 只需分类 否则 就分步处理 2 理 二项式定理是一个恒等式 对待恒等式通常有两种思路 一是利用恒等定理 两个多项式恒等 则对应项系数相等 二是赋值 这两种思路相结合可以使很多二项式展开式的系数问题迎刃而解 要注意二项式系数与二项式展开式的系数之间的区别 3 理 1 概率问题应用广泛 贴近生活 本部分知识既有必修内容 也有选修内容 随着高考改革的不断深入 概率问题正逐步成为高考的热点内容 2 解决概率应用问题时 首先熟悉几种常见的概率类型 熟练掌握其计算公式 其次还要弄清问题所涉及的事件有什么特点 事件之间有什么联系 4 理 求随机变量的分布列 重要的基础是概率的计算 如古典概率 互斥事件概率 相互独立事件同时发生的概率 n次独立重复试验有k次发生的概率等 第一节 两个计数原理 理 1 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有 a 50个b 45个c 36个d 35个 答案 c 2 甲 乙两人从4门课程中各选修2门 则甲 乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 a 6种b 12种c 24种d 30种 答案 c 解析 4门课程 有1门相同 则4种选法 不同的课程选法 甲有3门 乙就有2门 所以共有4 3 2 24 种 3 某银行储蓄卡的密码是一个4位数码 某人采千位 百位上的数字之积作为十位 个位上的数字 如2816 的方法设计密码 当积为一位数时 十位上数字选0 千位 百位上都能取0 这样设计出来的密码共有 a 90个b 99个c 100个d 112个 答案 c 解析 由于千位 百位确定下来后十位 个位就随之确定 则只考虑千位 百位即可 千位 百位各有10种选择 所以有10 10 100 个 答案 a 解析 本题主要考查分步计数原理知识 1名同学有5种选择 则6名同学共有56种选择 5 原创题 美女换装游戏中 有5套裙子 4双鞋子 3顶帽子 要求裙 鞋 帽必须且只能各选择一件 则有 种妆扮方案 答案 60 解析 根据分步计数原理知 有5 4 3 60种 6 2012 哈尔滨模拟 有a b两种类型的车床各一台 现有甲 乙 丙三名工人 其中甲 乙都会操作两种车床 丙只会操作a种车床 先从三名工人中选2名分别去操作以上车床 则不同的选派方法有 种 答案 4 解析 若选甲 乙2人 则包括甲操作a车床 乙操作b车床或甲操作b车床 乙操作a车床 共有2种选派方法 若选甲 丙2人 则只有甲操作b车床 丙操作a车床这1种选派方法 若选乙 丙2人 则只有乙操作b车床 丙操作a车床这1种选派方法 共有2 1 1 4 种 不同的选派方法 7 从 3 2 1 0 1 2 3 中任取3个不同的数作为抛物线y ax2 bx c a 0 的系数 如果抛物线过原点 且顶点在第一象限 则这样的抛物线共有多少条 解析 由题意得c 0 a0 分三步 第一步 a 3 2 1 第二步 b 1 2 3 第三步 c 0 故由分步计数原理知抛物线的条数n 3 3 1 9 条 分类加法计数原理 当x 5时 y 7 8 9 10 11 当x 6时 y 6 7 8 9 10 11 当x 7时 y 7 8 9 10 11 当x 11时 y 11 所以不同三角形的个数为1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 点评 应用分类加法计数原理时 首先要根据问题的特点 确定好分类的标准 分类时应满足 完成一件事的任何一种方法 必属于某一类且仅属于某一类 1 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里 使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号 则不同的放球方法有 a 10种b 20种c 36种d 52种 答案 a 2 集合p x 1 q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且p q 把满足上述条件的一对有序整数对 x y 作为一个点的坐标 则这样的点的个数是 a 9b 14c 15d 21 答案 b 解析 p q x y或x 2 当x 2时 y 1 2 y有7种选法 当x y时 y 1 2 y也有7种选法 共有满足条件的点7 7 14个 分步乘法计数原理 解析 设由左到右五块田中要种a b c3种作物 不妨先设第一块种a 则第二块种b c 有两种选法 同理 如果第二块种b 则第三块可种a和c 也有两种选法 由分步乘法计数原理共有1 2 2 2 2 16 其中要去掉ababa和acaca两种方法 故a种作物种在第一块田中时有16 2 14种种法 同理b或c也可种在第一块田中 故共有3 2 2 2 2 2 3 16 2 42种 点评 本题完成种五块地 要分五步完成 故应用分步乘法计数原理 解决问题时 应理清思路 按事情发生的过程或事情解决的过程合理分步 答案 c 解析 显然 a a a c 等均为a b中的元素 确定a b中的元素是由a中取一个元素来确定x b中取一个元素来确定y 由分步乘法计数原理可知a b中有3 4 12个元素 故选c 2 将4个不同的小球放入3个不同的盒子 其中每个盒子都不空的放法共有 a 34种b 43种c 18种d 36种 答案 d 解析 4个不同的小球放入3个不同的盒子 其中每个盒子都不空 则必有一个盒子放入2个球 设4个球的编号分别为1 2 3 4 则其中2个球放在一个盒子里的情况有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 计6种情况 把2个球放在一个盒子里的情况当作1个球和另外2个球分别放入3个盒子里 共有3 2 1种放法 于是所求放法为6 3 2 1 36种 3 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 a 10种b 20种c 25种d 32种 答案 d 解析 因为每人均有两种选择方法 所以不同的报名方法有25 32种 两个原理的综合应用 解析 1 分四类 第一类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二班学生中选1人 有8种选法 第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第四类 从四班学生中选1人 有10种选法 所以 共有不同的选法n 7 8 9 10 34 种 2 分四步 第一 二 三 四步分别从一 二 三 四班学生中选一人任组长 所以共有不同的选法n 7 8 9 10 5040 种 3 分六类 每类又分两步 从一 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 从二 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以共有不同的选法n 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431 种 点评 在解决实际应用问题时 两个原理并不是孤立的 首先要弄清楚完成的是什么事 其次必须清楚是分类完成 还是分步完成 需认真审题 明确条件与问题 解析 如图所示 由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b已染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染颜色4 则d可染颜色3或5 有2种染法 若c染颜色5 则d可染颜色3或4 也有2种染法 若c染颜色2 则d可染颜色3或4或5 有3种染法 可见 当s a b已染好时 c与d还有7种染法 根据乘法原理 可以有60 7 420种染法 点评 运用两个原理解答时是先分类后分步 还是先分步后分类应视具体问题而定 另外为了问题的简化和表达的方便 数学中经常将具有实际意义的事物符号化 数字化 2 用n种不同颜色为下列两块广告牌着色 如图示 要求在a b c d四个区域中相邻 有公共边的 区域不用同一颜色 若n 5 为 着色时共有多少种不同的方法 若为 着色时共有120种不同的方法 求n 解析 1 为a着色有5种方法 为b着色有4种方法 为c着色有3种方法 为d着色也有3种方法 所以 共有着色方法5 4 3 3 180 种 2 与 1 的区别在于与d相邻的区域由两块变成了三块 同理 不同的着色方法数是n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 120 又120 180 可分别将n 4 5代入得n 5时上式成立 1 应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成 注意分类做到不重不漏 应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤 2 在处理具体的应用题时 首