高考数学复习课件 11.1 分类计数原与分步计数原 理 新人教版.ppt

第十一章计数原理 随机变量及其分布列 1 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 2 排列与组合 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 3 二项式定理 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 4 概率与统计 1 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单的应用 3 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 理解n次独立重复试验的模型及二项分布 并能解决一些简单的实际问题 4 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 5 利用实际问题的直方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 1 分类计数原理 完成一件事有两类不同方案 在第 类方案中有m种不同的方法 在第 类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 2 分步计数原理 完成一件事需要两个步骤 做第一步有m种不同的方法 做第二步有n种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 n m n n m n 1 从a地到b地需要经过c地 已知a到c有3条路 c到b有2条路 则从a到b不同的走法共有 种 解析 根据分步计数原理知有3 2 6种走法 答案 62 书架上有5本不同的数学书 3本不同的英语书 2本不同的物理书 现从中取一本 则不同的取法种数是 解析 根据分类计数原理 5 3 2 10 答案 10 3 有a b c d四位乒乓球运动员 现将他们配对组成2对双打选手 则不同的配对方式有 种 解析 不同的配对方式有 a b c d a c b d a d b c 共3种 答案 34 某商场要从4种品牌的牛奶和3种品牌的饮料中各选一种进行搭配销售 则不同的搭配方式有 种 解析 注意 各选 一种 属于分步完成 有4 3 12种 答案 12 1 分类计数原理和分步计数原理的区别在于分类计数原理针对的是 分类 问题 其中各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步计数原理针对的是 分步 问题 各个步骤中的方法相互依存 只有各个步骤都完成才算做完这件事 2 用两个计数原理解决计数问题时 最重要的是在开始计算之前要仔细分析 确定需要分类还是分步 1 分类要做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类计数原理求和 得到总数 2 分步要做到 步骤完整 完成了所有步骤 恰好完成任务 当然步与步之间要相互独立 分步后再计算每一步的方法数 最后根据分步计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 3 对于复杂问题 可同时运用两个基本计数原理或借助列表 画图的方法来帮助分析 考点一分类计数原理 案例1 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 关键提示 对十位上的数字按1 2 3 8分8类进行讨论 再用加法原理得出答案 即时巩固详解为教师用书独有 解 根据题意 将十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数的个数共有 8 7 6 5 4 3 2 1 36个 故共有36个 点评 应用分类计数原理 首先根据问题的特点 确定分类的标准 分类应满足 完成一件事的任何一种方法 必属于某一类且仅属于某一类 本题若按个位上的数字进行分类 应如何进行 请同学们思考 即时巩固1 三边长均为整数且最大边长为11的三角形有多少个 解 另两边长用x y表示 且不妨设1 x y 11 要构成三角形 需x y 12 当y 11时 x 1 2 11 有11个三角形 当y 10时 x 2 3 10 有9个三角形 当y 6时 x 6 有1个三角形 所以满足条件的三角形的个数为11 9 7 5 3 1 36 个 点评 如果完成一件事有n类办法 这n类办法彼此之间是互相独立的 无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事 求完成这件事的方法种数就是用分类计数原理 考点二分步计数原理 案例2 一个口袋里有5封信 另一个口袋里有4封信 各封信内容均不相同 1 从两个口袋里各取一封信 有多少种不同的取法 2 把这两个口袋里的9封信 分别投入4个邮筒 有多少种不同的放法 解 1 各取一封信 不论从哪个口袋中取 都不能算完成了这件事 因此应分两个步骤完成 由分步计数原理知 共有5 4 20 种 2 若以邮筒装信的可能性考虑 第一个邮筒有10种可能性 即可能装入0 1 2 9封信等不同情况 但再考虑第二个邮筒时 装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响 非常麻烦 若以每封信投入邮筒的可能性考虑 第一封信投入邮筒有4种可能 第二封信仍有4种可能 第九封信还有4种可能 由分步计数原理可知 共有49种不同的放法 即时巩固2 4张卡片的正 反面分别有0与1 2与3 4与5 8与7 将其中3张卡片排放在一起 可组成多少个不同的三位数 分析 分三步确定百位 十位 个位 注意到首位不能为0 且正反两面都可用 解 分三个步骤 第一步 首位可放8 1 7个数 第二步 十位可放6个数 第三步 个位可放4个数 根据分步计数原理 可以组成n 7 6 4 168 点评 分类计数原理和分步计数原理是排列组合的理论基础 这两个原理的本质区别在于分类与分步 分类用分类计数原理 分步用分步计数原理 用分类计数原理的关键在于恰当分类 分类要做到 不重不漏 应用分步计数原理的关键在于分步 要正确设计分步程序 考点三两种计数原理的综合应用 案例3 有一项活动 需在3名老师 8名男同学和5名女同学中选人参加 1 若只需一人参加 有多少种不同的选法 2 若需老师 男同学 女同学各一人参加 有多少种不同的选法 3 若需一名老师 一名学生参加 有多少种不同的选法 关键提示 正确区分是分类还是分步 从而决定使用加法或乘法完成 解 1 有3类选人的方法 3名老师中选一人 有3种方法 8名男同学中选一人 有8种方法 5名女同学中选一人 有5种方法 由分类计数原理知 共有3 8 5 16 种 选法 2 分3步选人 第一步选老师 有3种方法 第二步选男同学 有8种方法 第三步选女同学 有5种方法 由分步计数原理知 共有3 8 5 120 种 选法 3 可分两类 每一类又分两步 第一类 选一名老师再选一名男同学 有3 8 24 种 选法 第二类 选一名老师再选一名女同学 共有3 5 15 种 选法 由分类计数原理知 共有24 15 39 种 选法 点评 在用两个计数原理处理具体问题时 首先要分清是 分类 还是 分步 其次要清楚 分类 或 分步 的具体标准 在 分类 时要遵循 不重不漏 的原则 在 分步 时要正确设计分步的程序 注意 步 与 步 之间的连续性 即时巩固3 已知三个集合a a b c d b m n p c x y 在集合a b c中任取两个集合 然后从这两个集合中各选一个元素构成含有两个元素的集合 这种两元素的集合有多少个 解 先分类 再分步 先分类 任取两个集合有三类情况 即选取a b a c b c 再对每一类分步考虑 1 当选取的集合是a b时 构成的两元素集合可分两步完成