华罗庚学校数学课本(5年级下册)第07讲 从不定方程的整数解谈起.doc

第七讲 从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t6.因此必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为：t0=6，t11，t1=36；t2=2，t2=18；t3=3，t3=12；t4=4， 这里t和t是62=36的互补因子（当tt6时自补因子也包括在内），所以成一种了。 以上情况推广到一般情况：求不定方程的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t，则就可得到全部解。例如，求不定方程：（即n12）的整数解，首先分解122（223）22432，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求：的整数解，例如求解在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。（1，4），（2，2）.可有并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数）故推断正确。在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改变形式写成：它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题）。公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和。而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如分解。上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12，6个因子任取2个配成一个组合，共有15种：（1，2），(1，3），（1，4），（1，6），（1，12）（2，3），（2，4），（2，6），（2，12）（3，4），（3，6），（3，12）（4，6），（4，12）（6，12）种情况即可.子不是1的，例如那么请问是否只有两种方式？答：是.理由呢？因为由推广的抽屉原理，求整数解呢？ 约分后分母为15，所以x，y为15，215，315，以下分情况讨论。y=15）的情况应排除。析，如y大于15，y是x与y可能的最小公倍数30，45，60，中某一个数的约数；单位分数，排除y=9.同样，也可排除y=11，12，13，14.只有y=10一种可能。从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易的.一些国际一流的数学家也致力于这类问题的研究.如1950年，厄尔丢斯（Erds）猜想：学家柯召、孙琦等证明了n4105=400000时，猜想成立.1965年有人把n推进到n107，1978年又将n推进到了n108。另有谢平斯基（Sierpinski）猜想：来证明.对于大多数小学生来讲，现在功力有限，只能在最简单的情况下一试身手。分情况讨论：对于方程（7），再用推广的抽屉原理，有又3=xy，这样，y=3或y=4，代入（8）后知（8）无解.习题七 1. 求不定方程的全部整数解。2. 求不定方程的整数解中，使x+y为最小以及最大的两组解。3. 应用公式（5），证明：。 4. 证明：。5. 求不定方程的整数解，你能求出全部整数解并证明再没有别的角吗？6. 计算 .习题七解答2302=223252，为找出它的全部因子，我们这里介绍“字典法则”：203050=1， 203051=5， 203052=25，203150=3， 203151=15， 203152=75，203250=9， 203251=45， 203252=225，213050=2， 213051=10， 213052=50，213150=6， 213151=30， 213152=150，213250=18， 213251=90， 213252=450，223050=4， 223051=20， 223052=100，223150=12， 223151=60， 223152=300，223250=36， 223251=180， 223252=900，大家都知道英语字典排序规则，先有a部，再看第二个字母的顺序，第二个字母相同时，看第三个字母的顺序，等等.这里因子的幂值正好借用作顺序编号.（当然上题每个因子恰好是2次幂，如别的也一样，如：232251的因子字典法排序为：回到本题，302的27个因子从小到大按方向“”排序为：其实只要排出30以下，另一头用302的互补因子即可，利用立即知x+y=60+t+t.现在问题转化成求t+t的最大最小值问题了.这里要求小学生会联想和类比，大家知道等积问题的一种结论：面积固定的长方形中，正方形的周长最小.或者两数乘积不变的情况下，两数相等时和最小。现在tt=302固定，要t+t最小，当然是t=t=30，所以x+y最小为120。那么x+y最大，也即60+t+t最大，经前面t，t排成二行的表一看就知为60+900+1=961。因此 因此 5.首先设xyz，因为显然不会有x=y=z的解.由