重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第一章第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词指导课件 新人教A版 .ppt

第三节 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 一 简单的逻辑联结词 1 一般地 用联结词 且 把命题p和q联结起来 得到一个新命题 记作 读作 2 一般地 用联结词 或 把命题p和q联结起来 得到一个新命题 记作 读作 3 一般地 对一个命题p全盘否定 得到一个新命题 记作p 读作 4 命题p q p q p的真假判断 真值表 p q p且q p q p或q 非p 或 p的否定 二 全称量词和存在量词 1 全称量词有 所有的 任意一个 任给 用符号 表示 存在量词有 存在一个 至少有一个 有些 用符号 表示 2 含有全称量词的命题 叫做全称命题 对m中任意一个x 有p x 成立 可用符号简记为 读作 对任意x属于m 有p x 成立 3 含有存在量词的命题 叫做特称命题 存在m中的元素x0 使p x0 成立 可用符号简记为 读作 存在m中的元素x0 使p x0 成立 三 含有一个量词的命题的否定 x0 m 綈p x0 x m 綈p x x m p x x0 m p x0 四 全称命题与特称命题的关系 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 对 或 且 非 的理解 1 或 与日常生活中的用语 或 的意义不同 对于逻辑用语 或 的理解我们可以借助于集合中的并集的概念 在a b x x a 或x b 中的 或 是指 x a 与 x b 中至少有一个成立 可以是 x a 且x b 也可以是 x a 且x b 也可以是 x a 且x b 逻辑用语中的 或 与并集中的 或 的含义是一样的 2 对 且 的理解 可以联想到集合中的交集的概念 在a b x x a 且x b 中的 且 是指 x a x b 都要满足的意思 即x既要属于集合a 又要属于集合b 3 对 非 的理解 可以联想到集合中的补集的概念 若将命题p对应集合p 则命题非p就对应着集合p在全集u中的补集 up 对于非的理解 还可以从字意上来理解 非 本身就具有否定的意思 一般地 写一个命题的否定 往往需要对正面叙述的词语进行否定 1 下列命题中是含有全称量词的命题并且是真命题的是 a 所有菱形的四条边都相等b x n 2x为偶数c 若对 x r 则x2 2x 1 0d 是无理数 解析 选项a中含有全称量词 该命题正确 答案 a 2 文 对命题 x r x2 2x 4 0 的否定正确的是 a x r x2 2x 40c x r x2 2x 4 0d x r x2 2x 4 0 解析 特称命题 x0 m p x0 的否定是全称命题 x m p x 故所给命题的否定是 x r x2 2x 4 0 答案 d 理 已知命题p 所有有理数都是实数 命题q 正数的对数都是负数 则下列命题中为真命题的是 a p qb p qc p q d p q 解析 不难判断命题p为真命题 命题q为假命题 从而上述叙述中只有p q 为真命题 答案 d 3 教材改编题 在一次投篮练习中 某同学连续投篮两次 设命题p是 第一次投中 q是 第二次投中 用逻辑联结词表示命题 两次都投中 为 解析 两次都投中 即p发生 q发生 可表示为p q 答案 p q 4 若 x 2 5 或x x x4 是假命题 则x的取值范围是 解析 由题意 p x 2 5 q x x x4 p q 是假命题 则綈 p q p q 为真命题 即x 2 5 且x x x4 是真命题 得1 x 2 答案 1 2 含有逻辑联结词的命题真假判定 a b c d 思路点拨 判断命题p q的真假 是正确解题的基础 解析 sinx 1 命题p是假命题 x2 x 1 x 2 0恒成立 命题q是真命题 从而可知 成立 答案 b 变式探究 1 已知命题p x0 r 使tanx0 1 命题q x2 3x 2 0的解集是 x 1 x 2 给出下列结论 命题 p q 是真命题 命题 p q 是假命题 命题 p q 是真命题 命题 p q 是假命题 其中正确的是 a b c d 解析 命题p是真命题 q也是真命题 再由命题 p q p q p 真假的判定易知 都正确 答案 d 方法技巧 p q p q p 形式命题真假的判断步骤 1 确定命题的构成形式 2 判断其中命题p q的真假 3 根据真值表确定 p q p q p 形式命题的真假 全称命题和特称命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假 思路点拨 判断一个命题是全称命题还是特称命题 主要看命题中是否含有全称量词或存在量词 对于有的题目隐含了全称量词或存在量词 要注意对其进行改写来找 1 3 为全称命题 2 4 为特称命题 其中 4 隐含了存在量词 至少有一个 4 f x 的零点 即是方程f x 0的实根 由f x 0 得lnx 2 x 在同一直角坐标系中 分别作出y lnx y 2 x的图象知 它们有一个公共点 所以f x 有一个零点 故 4 为真命题 变式探究 2 判断下列命题是否是全称命题或特称命题 若是 用符号表示 并判断其真假 1 有一个实数 sin2 cos2 1 2 任何一条直线都存在斜率 3 所有的二次函数都有零点 4 存在实数x 使得 1 解 1 是一个特称命题 用符号表示为 r sin2 cos2 1 是一个假命题 2 是一个全称命题 用符号表示为 直线l l存在斜率 是一个假命题 因为当直线垂直于x轴时 直线的斜率不存在 3 是一个全称命题 用符号表示为 二次函数f x 函数f x 有零点 是一个假命题 4 是一个特称命题 用符号表示为 x r 1 是一个真命题 如当x0 0 或x0 1时成立 方法技巧 短语 所有 任意 凡是 每一个 等在陈述句中都表示事物的全体 这些词语都可以理解为全称量词 短语 有一个 有些 至少有一个 等在陈述句中都表示事物的个体或部分 可以理解为存在量词 2 要判断一个全称命题 x m p x 是真命题 必须对限定集合m中的每个元素验证p x 成立 但要判定全称命题是假命题 只要能举出集合m中的一个x x 0 使 p x 0 不成立即可 这就是通常所说的 举出一个反例 3 要判定一个特称命题是真命题 只要在给定集合m中 至少能找到一个x x 0 使p x 0 成立即可 否则 这一特称命题就是假命题 全称 或特称 命题的否定 例3 写出下列命题的否定 并判断命题的否定的真假 1 对任意的a 0 函数f x ax b是r上的增函数 2 有a r 使得a2 2a 2 0 3 至少有一个实数x0 使x03 1 0 4 所有的正方形都是矩形 思路点拨 首先明确所给命题所含量词 看是全称命题还是特称命题 然后将其否定 并判断真假 解 1 全称命题 p 存在实数a 0 函数f x ax b不是r上的增函数 是假命题 2 特称命题 p a r a2 2a 2 0 是真命题 3 特称命题 p x r x3 1 0 是假命题 4 全称命题 p 至少存在一个正方形不是矩形 是假命题 3 写出下列命题的否定并判断真假 1 p 所有末位数字是0的整数都能被5整除 2 q 对任意集合a a 3 r 存在一个三角形 它的内角和大于180 4 t 某些梯形的对角线互相平分 解 1 p 存在一个末位数字是0的整数不能被5整除 是假命题 2 q 存在一个集合a 不是a的真子集 是真命题 3 r 所有三角形的内角和都小于等于180 是真命题 4 t 每一个梯形的对角线都不互相平分 是真命题 方法技巧 1 弄清命题是全称命题还是特称命题 是正确写出命题的否定的前提 2 全称命题 特称命题 的否定与命题的否定有着一定的区别 全称命题 特称命题 的否定是其全称量词改为存在量词 或存在量词改为全称量词 并把结论否定 而命题的否定则直接否定结论即可 一般地 写一个命题的否定 往往需对正面叙述的词语进行否定 3 一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下 4 p或q的否定为 非p且非q p且q的否定为 非p或非q 有关的参数问题 例4 已知命题 命题 若命题 p且q 是真命题 求实数a的取值范围 思路点拨 已知命题p是全称命题 q为特称命题 若 p q 真命题 则p q都为真命题 先分别求出使p q为真的a的范围 再求其交集即可 解 由 p且q 是真命题 可知p为真命题 q也为真命题 若p为真命题 则a x2恒成立 x 1 2 a 1 若q为真命题 即x2 2ax 2 a 0有实根 4a2 4 2 a 0 即a 1 或a 2 综上 所求实数a的取值范围为a 2 或a 1 变式探究 4 已知两个命题r x sinx cosx m s x x2 mx 1 0 如果对 x r r x 与s x 有且仅有一个是真命题 求实数m的取值范围 解 sinx cosx sin x 当r x 是真命题时 m0恒成立 有 m2 4 0 2 m 2 当r x 为真 s x 为假时 m 同时m 2 或m 2 即m 2当r x 为假 s x 为真时 m 且 2 m 2 即 m 2 综上 实数m的取值范围是 2 2 方法技巧 对于含有逻辑联结词的命题 首先要确定构成命题的真假 求出此时参数成立的条件 其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件 注意 p q 为假且 p q 为真 等价于p q中一真一假 例 2009年辽宁卷 下列4个命题 其中的真命题是 a p1 p3b p1 p4c p2 p3d p2 p4 答案 d 类型对某些正面词语的否定不正确致误 例 设命题p 4的平方根一定是2 则 非p 是 正解 4的平方根不一定是2 分析 命题 非p 是 4的平方根一定不是2 还是 4的平方根不一定是2 呢 有些学生弄不清楚 认为是前者 事实上 由于命题p 4的平方根一定是2 为假 则綈p命题为真 而 4的平方根一定不是2 为假 4的平方根不一定是2 为真 即 一定 的否定是 不一定 故应填 4的平方根不一定是2 一 选择题 1 已知命题p x r cosx 1 则 a p x0 r cosx0 1b p x r cosx 1c p x0 r cosx0 1d p x r cosx 1 解析 全称命题的否定是特称命题 故綈p x0 r cosx0 1 答案 c 2 文 2010年广东汕头质量测评一 若命题 綈 p或q 为假命题 则 a p q均为真命题b p q均为假命题c p q中至少有一个为真命题d p q中至多有一个为真命题 解析 p q 为假命题 p q为真命题 即p q中至少有一个为真命题 答案 c 理 平面向量a b共线的充要条件是 a a b方向相同b a b两向量中至少有一个为零向量c 0 r b 0ad 存在不全为零的实数 1 2 1a 2b 0 解析 a与b共线的充要条件是 当b 0时 存在实数 0 使a 0b 从而a 0b 0 答案 d 3 对下列命题的否定 说法错误的是 a p 能被3整除的整数是奇数 p 存在一个能被3整除的整数不是奇数b p 不共线的三点确定一个平面 p 存在不共线的三点不共面c p 有的三角形为正三角形 p 所有的三角形都不是正三角形d p x0 r x 2x0 2 0 p 当x2 2x 2 0时 x r 解析 根据全称命题的否定是特称命题 存在性命题的否定是全称命题可知 选项d中 p的否定应为 p x r x2 2x 2 0 答案 d 4 已知命题p 若x2 y2 0 则x y都为0 命题q 若a2 b2 则a b 给出下列命题 p且q p或q p q 其中是真命题的是 a b c d 解析 命题p是真命题 命题q是假命题 p且q为假 p或q为真 p是假 q为真 答案 d 5 文 已知命题p a b 0 当a b 1时 3 命题q x r x2 x 1 0恒成立 则下列命题是假命题的是 a p qb p qc p qd p q 解析 对命题p 由于 a b 2 2 4 当且仅当a b 时取得等号 故 3为假命题 命题q 由于x2 x 1 x 2 0 故命题为真命题 从而p真 q为假 故p q为假 答案 b 理 2009年海南卷 有四个关于三角函数的命题 p1 x r sin2 cos2 p2 x y r sin x y sinx siny p3 x 0 sinx p4 sinx cosy x y 其中的假命题是 a p1 p4b p2 p4c p1 p3d p2 p3 解析 对 x r sin2 cos2 1 而不是 故p1为假命题 当x y k k z 时 sin x y sinx siny成立 故p2为真命题 由半角公式sinx 当x 0 时 sinx 0 sinx p3为真命题 当sinx cosy 即sinx sin y 得x k 1 k y k z 故p4为假命题 答案 a 二 填空题 6 2010年江苏苏州中学阶段性测试一 若命题 x0 r 使得 1 a x0 1 0 是真命题 则实数a的取值范围是 解析 由题意 不等式x2 1 a x 10 解得a3 答案 1 3 7 若a b都是奇数 则a b不是偶数 的否定为 解析 一般命题的否定 只需将结论否定即可 正面词语 不是 的否定是 是 答案 若a b都是奇数 则a b是偶数 8 文 已知命题p 函数f x log0 5 3 x 的定义域为 3 命题q 若k 0 则函数g x 在 0 上是减函数 则下列结论中错误的是 命题 p且q 为真 命题 p或非q 为假 命题 p或q 为假 命题 非p且非q 为假 解析 f x log0 5 3 x 的定义域 由3 x 0确定 即为x 3 故命题p正确 反比例函数g x 当k 0时 在 0 上是增函数 故命题q是假命题 答案 理 设p 函数f x 2 x a 在区间 4 上单调递增 q loga2 1 如果 p 是真命题 p或q 也是真命题 那么实数a的取值范围是 解析 数形结合法 要使函数f x 2 x a 在区间 4 上是增函数 则a 4 故使命题p为真 则a 4 当a 1时 由loga22 当0 a 1时 由loga2 1 0 a 1 故使q为真的a的取值范围是 0 1 2 如果 p 是真命题 p或q 也是真命题 则命题p为假命题 q为真命题 故 答案 4 9 命题 x r m z m2 m x2 x 1 是 命题 填 真 或 假 解析 对 x r x2 x 1 恒成立 因此只需m2 m 根据题意 只需m2 m 0 m z 知m 0 或m 1等 时 对 x r m z m2 m x2 x 1成立 因此这个命题是真命题 答案 真 三 解答题 10 判断下列命题是全称命题还是特称命题 并判断其真假 1 指数函数都是单调函数 2 至少有一个整数 它既能被2整除 又能被5整除 3 存在x0 x 01 解 1 是任何指数函数y ax a 0且a 1 都是单调函数 这是一个全称命题 是真命题 2 是特称命题 如n 10便符合题意 是真命题 3 是一个特称命题 由log2x0 1得x0 2 因此 不存在x0 0 2 使log2x0 1成立 故为假命题 11 试判断下列命题的真假 1 x r x4 x2 2 若p