平衡统计理论.doc

平衡统计物理学-临界现象我们在一些细节上讨论过连续相变，已经发展了一系列近似方法处理强相互作用和高度相关的系统，尤其是平均场迫近和延伸，也有朗道相变理论。我们证明了平均场理论的固有局限性，事实上相关函数在临界点附近有很大适用范围。出于这个原因，基于小集群上的精确处理理论不再适用处理系统的正确临界行为。我们这两章以理论的历史发展开始叙述，我们在5.1节以二维伊辛模型的昂色格关系推导开始，然后在5.2节讨论在1950到1960发展的一系列确定系统模型的临界性质的进一步方法。5.3节包含Widom，Domb，Hunter和Kadanoff等的标度理论的讨论。5.4节扩展到一维或多维系统的标度理论。在5.5节中，我们考虑普适性假设，检验理论和实验依据的符合关系。最后5.6节我们简短的定性分析对于具有连续对称性的二维系统相变的Kosterlitz-Thouless机制。关于那一点，我们会在某处讨论Wilson和其他人在1970年左右提出的对于临界现象的重整化群方法。这个方法基于标度理论和普适性的严格理论，是第六章的主要问题。5.1二维伊辛模型在一篇具有里程碑式意义的论文中，昂色格确切的计算了在一个零磁场的矩形晶格中的二维铁磁伊辛模型的自由能。这个计算结果提供了描述模型相变的第一种实在的解决方法。昂色格的原始的推导十分复杂，由于他最开始的文章，一系列解决问题的新方法出现。以下我们介绍一种叫Schultz的简洁的过程。我们推导过程的目的是两方面的，本书大部分都是用紧束缚近似，我们觉得有必要展示至少一种在统计物理上的一般方法，作为平均场理论和重整化群方法的计算的直接例子。第二点，我们常引用昂色格对于比热和序参量的直接结果，这样在没有推导过程的论证下读者会对这些结果不踏实。对于这些具体细节没有兴趣的读者可以跳过前面到5.1.4.5.1.4热力学函数具备一些代数知识，我们就能容易的表示出零场自由能。运用式和，我们就有 （5.42）现在考虑函数 （5.43）通过对的微分和对路径积分结果的估计，我们发现 或者 （5.44）在取时我们得到积分表达式 （5.45）我们定义 （5.46）运用三角函数关系改变积分变量得到 （5.47）的积分形式如同5.43，我们写成这种形式 = （5.48）但是，所以 （5.49）其中 （5.50）最后的得到对于旋转自由能形式 （5.51）在5.50中定义的函数，在处取得最大值，明显的在方程右边的积分部分当时由于平方根不能消除，系统的旋转自由能有以下式子给出 （5.52）在这里是第一类完全椭圆积分。当时，内部能量在相变过程中连续。旋转比热可以通过区分温度来获得。一些分析表明 （5.53）其中是第二类完全椭圆积分在附近比热容（5.53），近似表示为 （5.54） 比热的真实值和由平均场理论和朗道理论得到的不同之处很明显。我们找到对数发散方法来取代在处的不连续。现代临界现象理论中，比热的形式表示为 （5.55）昂色格的结果是这种幂律行为的特例。函数的极限形式为 公式5.54似乎是时奇异幂律的特例。 自发磁化的计算结果是当前推导的一般衍化，能够在Schultz和其他地方找到。结果是 （5.56） （5.57）当，自发磁化的极限形式为 就像在平均场理论中，在临界点处序参量有奇异幂律性，从平均场和朗道理论得到的指数，而不是。5.56的推导第一次被Yang发表，但是昂色格早前在一次会议上公布过他的结论。在时的零场磁化率条件下的渐进形式被人们所熟知 （5.58）上式中指数再次与经典值作比较。明显的从上述结果看出在临界点附近的自由能形式与朗道理论的假设相去甚远。5.3 标度理论在本节中我们从不同角度的出发点认识问题，说明这些标度律在接近临界点附近的自由能有特定类型的结构。5.3.1热力学理解我们第一次指出，热力学稳态让我们得出临界指数的不等式。最简单的例子就是Rushbrooke。考虑一个磁力系统，处于一个连续场的比热和一个稳定磁场的，满足关系式 （5.77）其中是等温磁化率。热力学稳态要求，都要大于或等于0.因此， （5.78）我们考虑一个温度低于，但是无限趋近临界温度的零磁场系统。我们得到 （5.79）导出Rushbrooke不等式： （5.80）我们从Stanley的书中知道一系列相似的不等式被推导出来，以及更多的细节。这些不等式的有意思之处在于他们看上去像是等式，仅仅只有一小部分的独立指数。5.3.2标度假设特别的，我们假设有一个合适的自由能是两个独立热力学变量的函数的系统。在系统的临界点，这些系统有值和其他一些值。我们有变量关系 （5.81）同时考虑数量关系 （5.82） 运用Helmholtz自由能，我们有系统稳态方程 （5.83）许多作者都在自问什么样的自由能函数形式或者稳态方程才能得到正确的临界指数。我们能从第三小节看出假定在临界点处的自由能分析如下 （5.84）在处，对于状态方程我们有 从这个稳态方程，我们自然而然得到了经典临界指数 然而，我们把方程改写成 我们有的任意值。如果我们在常量处求微分，这个方程也是不满足关系的。我们有 给出的易变指数。这种情况能够改变，如果我们假设状态方程 或者更一般的：其中是的一个任意齐次函数 （5.85） 更系统的，我们假设在相变附近的奇异自由能变化是由标度变化而决定的，类似于 （5.86）这种形式的自由能意味着会由下式得来 （5.87）然而 （5.88）现在我们考虑特殊情况，得到 （5.89）上式中的幂律部分的系数是在在远离奇点处由热力学函数推算出来的，简单的有限连续。我们知道当临界指数存在于临界点位置两边的时候，他们是相同的 （5.90）但是幂律关系的前部因子大体上是不相同的，没有理由说是和一样的。通过对比5.82我们发现 （5.91）我们看到只有两个独立临界指数和标度关系从5.91得来。就像我们看到的 （5.92）如果像5.58在附近对关联函数做类似的假设，能得到更多的标度关系。5.5普适类我们从5.2节看到不管基底结构是怎样的，三维伊辛模型的临界指数都是一样的，换句话说这些临界指数和二维伊辛模型，其他的一些如Heisenberg和XY模型的三维旋转模型都不一样。自然的我们就想问系统的哪些特征在确定相变的性质上至关重要，我们心中有很多想法。基底结构已经被排除了。其他可能性包括粒子间相互作用的范围，量子自旋而不是经典自旋的大小，在真实液体而不是格子气中的连续自由相变，空间旋转维度，晶体场的影响等其他。大量不同旋转系统的研究结论已经提出来了，现在越来越清楚的表明临界行为是与一系列细节无关的。 分形维数和空间维度是已经提出来影响临界指数的重要参数。换句话说，我们能问一个系统是否有Hamiltonian量 （5.110） 空间维度为3的这个系统和同性Heisenberg模型具有相同的临界指数。这表明这个模型和的伊辛模型有相同的临界行为，同时，我们的一些概念还需要细化。 从以往经验来看，有序相的对称性起到了关键作用。当时的哈密顿量5.110作为其基态与所有自旋状态都沿z方向。对于基态能和的自由能，不变的就是转换关系。另一方面，Heisenberg哈密顿量具有三维旋转对称性，向量能在三维球面的任意位置。我们曾用来表征空间维度的参数n现在表示旋转群的指数n，在这样的转变下自由能是不变的。 事实上Jasnow和Wortis证明了指数n是一个非常重要的参量，他们研究了经典转动系统的哈密顿量 （5.111）在基态哈密顿量中，因此基态从XY基态变成Heisenberg基态，最后当任意的时候变成伊辛基态。Jasnow和Wortis导出和分析了不同值的susceptibility series易感类，但是他们的分析结果明显表明在基态对称性变化时，数值处指数有些不连续变化。 我们以上提到的大多数其他参量都不考虑，对于这样的一些结论我们可以定性的理解。由于在处的相关高度是发散的，我们就会希望量子力学作用不会再临界现象上起作用：旋转群就是一个经典例子。类似的，连续可能性将没有离散变换重要。限定一个流体质点在a尺寸的晶格中，简单的允许粒子在标度尺寸下跃迁到最近邻格点是没有意义的。确切的说，在实验误差范围内，经典流体模型和三维伊辛模型具有相同的临界指数。 临界范围当然是很重要的。我们现在相信只要临界范围是有限的，或者只要相互作用是一个随间距迅速减小的函数，这个临界行为就会和只有最近邻相互作用的系统一样。 在丰富的经验性论据下提出了普适性假设和平滑假设。这些假设简单的指出系统的临界行为只由有序相的空间维度d和对称指数n决定。重整化群能让我们对这个一般性结论在某些方面理解。 在前面的讨论中，我们仅