基于异方差阈值法的金融风险度量模型研究.doc

- 7 -基于异方差阈值法的金融风险度量模型研究摘要：考虑到金融回报序列的条件异方差性和极值事件对金融风险的影响，本文综合极值理论和异方差的思想，利用异方差阈值法对金融时序建模，并与传统的方法进行比较分析。实证研究表明，基于异方差阈值法的风险度量模型更加适合厚尾分布的金融时序，并且预测出来的VaR和ES比其他估计更加精确。关键词：极值理论；GARCH模型；VaR；ES。1引言面对纷繁多变的金融市场,风险管理者的一个重要任务就是建立一个考虑到那些极少发生但又产生很大损失事件的风险管理模型。由于反应这些事件的观测值通常都是非常稀少而又远离正常观察值的极值,即观察值位于分布的尾部,所以人们常用基于尾部分布特征的极值理论建模,一般用阈值法去拟合分布尾部以有效刻画金融数据的厚尾性,但是，单单这样处理，只能得到静态的风险度量，没有考虑当前的预期和波动性，即没有考虑回报的动态性。而研究表明,金融回报数据不仅有肥尾,而且资产收益序列常服从一个有随机波动结构的平稳时序模型，通常假定为条件正态的经济模型，如广义自回归条件异方差模型（GARCH模型），但此模型的弱点是条件正态的假设不能更精确地刻画各种真实的数据。因此，本文将回报的肥尾性与随机波动性（条件异方差性）结合一起考虑，综合极值理论和异方差的思想，利用异方差阈值法对数据建模，求解单项资产的VaR和ES。我们先考虑不同分布下GARCH（1，1）模型，过滤股票的收益率，估计出相应的参数；然后用第一步过滤后得到的残差，使用极值理论中的POT模型，进一步捕捉第一步中没有估计到的尾部信息，希望能更精确地动态反映金融数据的回报特性。2异方差阈值法求解单项资产的VaR和ES的过程2.1不同分布下GARCH（1，1）模型我们考虑金融资产收益时间序列，设t-1期的信息集合记为Ft-1，给定的条件下，我们假定分解为如下的形式：=，其中E(.)为条件期望，为随机干扰项，且 ，随机项通常假定具有以下的形式： 具有时变性的特点。考虑到金融时序尖峰厚尾及波动的聚集性，因此本文假定随机误差项中的分别服从students-t分布和广义误差分布Generalize error distribution（GED），建立fattailed-garch模型。设前t-1期的信息集合Ft-1给定的条件下，随机误差项=的分布即/Ft-1的分布可以通过如下的公式计算：设误差项的对数似然函数为1 。根据此式可以计算各种分布下的对数似然函数,得到不同分布下GARCH（1，1）的一般模型为：此式中不同的分布对应不同分布的对数似然函数，其中正态分布的对数似然函数为：；students-t分布的对数似然函数为: ，其中：为自由度，T为样本数。广义误差分布Generalize error distribution（GED）的对数似然函数为:其中： ，（）为Gamma函数。在GED中，参数控制着分布的形式，不同的参数导致不同的分布。如果其参数=2，即为正态分布；如果2时，尾部比正态分布薄。然后利用极大似然估计就可以得到模型中参数的估计值，从而建立模型。由于理论上扰动项是无法直接观察到的，所以实际研究中我们用残差项估计它。即利用估计的不同分布下GARCH（1，1）模型的参数后就可以得到Rt的均值序列和标准差序列，于是就可以求得修正后残差序列。2.2利用极值理论的POT模型处理残差序列POT(peak over threshold) 模型(即超过阈值法)是极值理论中最有用的模型之一，它对样本数据中超过某一充分大阈值的数据进行建模，即只考虑尾部的近似表达，而不是对整个分布进行建模。极值理论对分布尾部的估计方法主要有两类：半参数方法和完全参数方法。本文用全参数法，即对残差序列，确定阈值u，对修正后残差序列中超过阈值的数据分布用广义帕累托分布函数近似2。2.21 广义帕累托分布（GPD） 这里，0，当0时，xo,。其中，为重要的形态参数，是分布的尺度参数。若0,是重新参数化的普通帕累托分布，其形态参数为=，此时，帕累托分布为厚尾分布，所以这种情形与下方风险测量是相关的。下面主要研究它与VaR、ES估计的关系。2.22超额损失分布拟合、GPD分布的参数估计与VaR、ES的估计令y=x-u,则超过某一阈值的条件分布函数(y)定义为其中：X为一随机变量，u是给定的一阈值，x-u为超过阈值的损失，为F分布的右端点即=，相应超额数的分布函数为：，由GPD分布取代3，用估计，这里n为总的观察值，为超过阈值的观察值，所以我们有： ，简化此式得到： 若给定概率qF(u),则反解上式就能得到q分位数的估计： (1)由Expected Shortfall的定义： 可以证明的估计为： (2)2.23 GPD分布中参数，及阈值u的确定：(a) 尾部指数的估计 由GPD分布函数，可求出其密度函数为：其中0时，xo, ，其对数似然函数为：由似然函数可推导出似然方程,从而求出，的最大似然估计值。(b) 阈值u的选取若随机变量X服从，则其超额均值函数为4显然，e(u)是u的线性函数，所以u的取值可通过做散点图使得当时是近似线性的来选取。2.24 动态风险测量模型的估计 利用极大似然估计法，估计出广义帕累托分布的相应参数后，代入公式(1)和(2)，求出、的估计结果，然后代入下式，构建持有期为一天的动态风险测量模型为2：其中：为不同分布下的GARCH模型估计的动态波动性。3实证研究我们主要选取上海股市综合指数日收盘价作为研究对象。样本期为1997年12月17至2005年12月3日，共计2105个数据，计算自然对数收益率(Rt=lnpt/pt-1)，共计2104个数据，构成被研究的金融时序。3.1 样本数据的描述性统计分析及正态性检验我们对对数收益率序列进行描述性统计及正态性检验（表1），进一步做出上证综指的时序图（图1）和收益分布图（图2）。表1：上证综指描述性统计及正态性检验结果MeanStd.DevSkewnessKurtosisJarque-BeraProb统计量上证综指-0.0000330.0075045-0.0699739.1477022836.0370.000 图2图2 上证综指收益分布图图1上证综指时序图 表1的结果表明：（1）上证综指，收益率分布呈现非对称的左偏分布（偏度系数Skeness均小于零），且尾部较厚，其峰度系数Kurtosis较高（高于正态分布的标准值3）；（2）Jarque-Bera 统计量及其检验结果表明，中国股市遵循正态分布的假设均遭到拒绝（p值均为零），具有更典型的尖峰、厚尾的特点。从上证综指的时序图及收益分布图可看出，收益序列不仅具有典型的尖峰、厚尾的特点，而且还具有波动聚集性等特征，因此用正态分布去拟合收益序列是不合适的。32 不同分布下的GARCH模型的参数估计结果 根据描述性统计的分析结果，选取不同分布下(Gaussian,Students-t,GED分布) GARCH(1,1)模型进行估计，其结果如下：表2：不同分布下的GARCH模型的参数估计结果GARCH-GaussianGARCH-Students-tGarch-GED0.000010859.783E-69.327E-60.149427530.12070.12140.810701710.8440.8406+0.960129240.96470.96204.4090741.157453各种分布假设下的GARCH模型中的参数都大于0.8，这说明上证综指收益的波动性具有持续性，集聚性的特点即大的波动集中在某些时间段，小的波动集中在另一些时间段，与基本统计结果相吻合；+3.8415,我们就拒绝本模型。下表给出了5%的显著性水平的检验结果：表4：不同模型下的检验结果 chi2inv(0.95,1)=3.8415分布5%1%理论预期值失败天数LR理论预期值失败天数LRVaR条件正态105.21030.048821.04303.4049条件 t105.24742.341121.04615.1323条件GED105.21070.032221.04180.4665VaR+极值理论条件正态-GPD105.21054.0048E-421.04161.3294条件 t-GPD105.21090.142921.04142.6975条件GED-GPD105.21080.077821.04142.6975(1)一般VaR模型在不同分布下的比较从LR检验来看，t分布模型过于保守，高估了市场风险，模型在2种不同的显著性水平都被拒绝，t分布的假设在实证研究中表现不佳。比较其它几种分布，正态分布在的显著性水平下LR接近临界值，GED分布在两种显著性水平下通过检验。因此从失败天数与期望天数的差及LR值来比较，广义误差分布拟合上证指数时间序列表现最佳，其次是正态分布，最差为t分布。这实际上也说明了上证综指具有尖峰厚尾的特征。(2) 一般VaR模型与基于极值理论下的VaR模型比较从LR检验来看，加入极值理论后，不同分布下的模型全部通过LR检验，三种分布下的模型检验结果相差不大且LR值大部分减少，很明显加入极值理论后模型得到优化。3.5 ES的检验VaR关心的是损失的频率，而不是损失的大小，而ES在理论上是表示超过VaR的均值，它关心的是损失有多大，而不是损失的频率。LR检验只是VaR的后验测试，对于ES我们定义一个检验统计量：，其中：为超过VaR的收益率，为超过的个数，LE越小，ES越好，其结果如下：表5：LE统计量结果 分布5%1%ES+EVT条件正态-GPD0.0013384190.003284条件t-GPD0.0011305860.0044835条件GED-GPD0.0013877940.0045816ES正态法下-0.001636794-0.01403374GARCH（1，1）-0.002535276-0.0150767 从表中看出：没有加极值理论的正态法和GARCH（1，1）法的LE值都为负，说明这两种方法都是低估了风险，而加了极值理论后则不同；另外加了极值理论后估计的LE统计量的绝对值比没有加极值理论下的两种估计的LE统计量的绝对值小。因此我们可以说在肥尾分布下，极值理论估计的ES结果比正态法和GARCH（1，1）法估计的ES结果优良。4结论我们看到极值理论具有解析的函数形式，计算简便，可以准确地描述分布尾部的分位数，最重要的是极值方法不需要对回报的分布做出假设，而是让数据来拟合分布的尾部，减少了建模的风险。本文将金融回报序列的肥尾性与随机波动性（异方差性）结合一起考虑，综合极值理论和异方差的思想，利用异方差阈值法对数据建模。这样既考虑了金融回报序列的条件异方差性又充分考虑了极值事件对金融风险的影响，从而弥补了一般模型低估尾部风险的缺陷，有助于风险管理者进一步分析可能的极值运动。实证研究表明：基于异方差阈值法的风险度量模型更加适合厚尾分布的金融时序，并且估计出来的VaR和ES比其他估计更加精确、有效。参考文献：1王春峰，李刚等.基于模拟退火算法的VaR_GARCH 模型J .系统工程学报 ,2003(1):15-17.2王春峰 .金融市场风险管理M .天津：天津大学出版社，2001：96-943Longin, F. M. The Assymptotic Distribution of Extreme Stock Market ReturnsJ.Journal of Business,1996, 69:383408.4McNeil A. Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theoryJ,ASTIN Bulletin,1997,27:117-1375Kupiec,Paul. H Techniques for verifying the acuracy of measurement modelsJ. Journal of Derivatives, 1995,(3): 73-80.The Compared Analysis to Risk Measurement Model on different Varianced-POTAbstract ： Its essential for risk manage to estimate of risk.Considering the extremum and different variance of financial time series to the financial risk effect , in this paper We use Extreme Value Theory(EVT) and the different variance method to model for financial time series. we compare this model with other traditiona