高考数学大一轮复习 函数与方程精品试题 理（含模拟试题）(1).doc

2015届高考数学大一轮复习 函数与方程精品试题 理（含2014模拟试题）1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，7）已知函数的图像与轴恰好有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）（a） （b） （c） （d）解析 1. , 当或时, 可得; 当时, , 所以函数的极小值为, 极大值为, 由题意可得, 解得.2. (2014山西太原高三模拟考试（一），12) 已知方程在（0，+）上有两个不同的解a，b（ab），则下面结论正确的是( ) 解析 2. 由题意可得上有两个不同的解a，b（ab），结合数形结合可得直线与曲线相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选c.3. (2014福州高中毕业班质量检测, 9) 若定义在上的函数满足, , 且当时, 其图象是四分之一圆(如图所示), 则函数在区间上的零点个数为 ( ) a. 5b. 4c. 3d. 2解析 3. 因为定义在上的函数满足, ,所以函数是偶函数，且关于对称，又因为函数的定义域是, 所以，令得，极小值由表中数据可知的单调减区间为，单调增区间为，当时，函数的极小值为，所以在时取得极大值，且函数在上是增函数，所以当时由3个交点；时只有一个交点，故函数在区间上的零点个数为4.4. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11) 已知函数 其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( ) a. b. c. d. 解析 4. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选b.5. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 8) 下列命题中假命题的是（ ）a. $，使b. ，函数都不是偶函数 c. $，使d. $0, 函数有零点解析 5.当时，为偶函数，所以是假命题. , , 显然为真.6. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，8) 已知函数的零点分别为的大小关系是（）a. b. c. d. 解析 6. 由已知分别是，的根, 作出，的图像，如图所示，由图像可得.7. (2014广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 解析 7. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。又当时，所以，从而.8.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，7）函数的所有零点之和等于（ ）a 2 b 4 c6 d 8解析 8. 函数的图像关于直线对称，直线也是函数的一条对称轴，函数的最小正周期为2，且在区间上有一个半周期，所以其与函数在区间上有3个交点，又因为他们的图像都关于直线对称，所以它们的和为.9.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，7）已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）a. b. c. d. 解析 9. 令，当，；当，所以函数在（0，+为增函数，所以. 所以欲使有零点，只需使.10.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，10）函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，下列说法错误的是（ ）a b c d若关于的方程恰有三个不同实根，则取值唯一解析 10. 根据函数解析可得函数图像如图所示，由图像可知，选项d的说法错误.11. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，3) 函数的零点所在区间是（ ）a. b. c. d. 解析 11. 在上单调递增，又，所以选b.12.(2014周宁、政和一中第四次联考，2) 函数的零点所在的区间是（ ） a b c（0，1） d（1，2）解析 12. 作函数与的图象，如图，由图知，函数的零点所在的区间是. 13.(2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 12) 若关于的方程有五个互不相等的实根，则的取值范围是（ ） a. b. c. d. 解析 13. 函数是偶函数，依题意，函数的图象与的图象有五个不同的交点，如图，由图知，当时，函数与的图象有两个交点，由直线与曲线相切，则方程有等根，即，满足条件，根据偶函数图象的对称性知也满足条件，故所求的的取值范围是.14. (2014天津七校高三联考, 8) 已知定义在上的奇函数，满足, 且在区间0,2上是增函数, 若方程在区间-8,8上有四个不同的根, 则=（ ）（a） 0 （b）8 （c） -8 （d）16解析 14. 依题意，此函数是周期函数，又是奇函数，且在上是增函数，综合条件得出函数示意图，由图知，四个交点中两个的横坐标之和为，另两个横坐之和为，故四个交点的横坐标之和. 15. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 9) 函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（）a. b. c. d. 解析 15.如图，方程要有五个不同的解，必须，所以，从而，因为只有2个解，所以要有3个解，由数形结合可得：.16. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，10) 已知和是定义在上的两个函数，则下列命题正确的的是（ ）（a）关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是（b）关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是（c）当时，对，成立（d）若，成立，则解析 16. 函数的图象如图所示，故函数的图象关于直线对称，即正确；由图象知，关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是，故正确；当时，时，时，故时，不存在，使得成立，故错误；时，若，成立，则，故正确.故正确的命题是d.17.(2014广州高三调研测试, 8) 对于实数a和b，定义运算“*” ：*，设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ） a b c d解析 17. 由得，由定义，则，即由于函数在的最大值是，由图知，关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，设，则，由，则，由，即.故的取值范围是.18. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，15) 已知, 有且仅有一个零点时，则的取值范围是 . 解析 18. 令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.19. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，13) 的零点个数是. 解析 19. 函数的图象如图，由图知零点的个数是0个.20. (2014北京东城高三第二学期教学检测，11) 若函数有零点，则的取值范围为_. 解析 20. 由已知，所以不是零点。从而函数有零点等价于方程有解. 设，故的范围是函数的值域. ，易得在单调递减，单调递减，单调递增.又当时，当时，为最小值，所以.故的值域是，从而或21.(2014湖北武汉高三2月调研测试，14) 已知函数f(x) sin2x2cos2xm在区间0，上的最大值为3，则（）m ；（）对任意ar，f(x) 在a，a20上的零点个数为 解析 21. （1）因为： ，所以， ，所以 ， .（2）由（1） ，周期，在长为的闭区间内有两个或三个零点，区间的长度为十个周期，故零点个数为40个或41个.22. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），13) 若关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是 . 解析 22. 由方程有四个不同的实数根，是其中1个根，当时，方程有三个不同的实根，即函数与应有3个不同的交点，如图，显然不成立，当时，与的图象有一个交点，只需与的图象有2个交点即可，联立方程组，消去得，由，解得或（舍去），即当时，与的图象有2个交点，综上所述，的取值范围是.23. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 16) 定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是_. 解析 23. ，又函数的递增区间为，即，又恰有6个不同的实根，等价于恰有6个不同的实根，即，要使恰有6个不同的实根，也就是方程各有3个不同的实根，当得，此时函数单调递增，当得或，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，此时必有，即，故.24. (2014湖北黄冈高三期末考试) 定义在上的偶函数，满足，都有，且当时，. 若函数在上有三个零点，则的取值范围是 . 解析 24.由函数是偶函数，则，令，又对都有成立，则，即，是周期为2的函数，又当时，又，由得，分别作与的图象，若不满足条件，当时，要函数在上有三个零点，则，即.25. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 给定下列四个命题：，使成立；，都有；若一个函数没有减区间，则这个函数一定是增函数；若一个函数在为连续函数，且，则这个函数在上没有零点.其中真命题个数是 .解析 25. 方程无整数解，假命题；由，则恒成立，所以是真命题；这个函数可能是常数函数，故是假命题；可能有零点，故错误.故真命题个数是，正确的个数是1个.26. (2014山西太原高三模拟考试（一），21) 已知函数， . （i）若函数在区间（0, ）无零点，求实数的最小值； （）若对任意给定的 ，在上方程总存在两个不等的实根，求实数的取值范围.解析 26.27. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，21）已知函数. () 求函数的单调区间；() 试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；() 若，且在上恒成立，求实数的取值范围.解析 27.() 由，当时，则有函数在区间单调递增；当时，, ，函数的单调增区间为，单调减区间为，综合的当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （5分)() 函数定义域为，又，令，则，(7分)，故函数在上单调递减，在上单调递增，(8分)有由（1）知当时，对，有，即，当且趋向0时，趋向，随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向，得到函数的草图如图所示，故当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点；(10分)（3）由（2）知当时，故对，先分析法证明：要证只需证即证构造函数故函数在单调递增，则成立. (12分)当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立.当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，故当时，所以，则不满足题意.综合得，满足题意的实数的取值范围. (14分)28. (2014广东广州高三调研测试，20) 设函数，. () 若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；() 当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；() 当，时，求函数在区间上的最小值.解析 28.解：() 因为，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以, 且.即, 且,解得，. （3分）() 当时，所以.令，解得，.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （5分）故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ，即，解得.所以实数的取值范围是. （8分）() 当，时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，所以. （9分）当，即时，.当时，.当时，在区间上单调递增，.综上可知，函数在区间上的最小值为（14分）29.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，21） 已知函数 (i) 求函数的零点的个数； () 令，若函数在(0，) 内有极值，求实数a的取值范围； () 在() 的条件下，对任意，求证：解析 29.30.(2014湖北八市高三下学期3月联考，22) 定义在r上的函数及二次函数满足：且。（i）求和的解析式；（ii）；（iii）设，讨论议程的解的个数情况解析 30. () , 即由联立解得: . 2分是二次函数, 且, 可设,由, 解得. . 4分() 设,依题意知: 当时, , 在上单调递减, 6分在上单调递增, 解得: 实数的取值范围为. 9分() 设, 由() 知, 的图象如图所示:设, 则当, 即时, , 有两个解, 有个解;当, 即时, 且, 有个解; 11分当, 即时, , 有个解;当, 即时, , 有个解. 13分综上所述:当时, 方程有个解;当时, 方程有个解;当时, 方程有个解;当时, 方程有个解. 14分31. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），21) 设函数. （）求函数的单调区间 () 若函数有两个零点，且，求证：解析 31. （） ，当时，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为 ， （4分）当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为 ， （6分） () 因为是函数的两个零点，有则，两式相减得即所以 ，又因为，当时，；当时，故只要证即可，即证明 , （10分）即证明，即证明，设. 令，则，因为，所以，当且仅当时，所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.所以原题得证. (13分)32. （2014陕西宝鸡高三质量检测(一)，21 ）已知函数，设 （）求函数的单调区间； （）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； （）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.解析 32. （） ，由得，在上是增函数.由得，在上是减函数.的单调递减区间为，单调递增区间为. （4分）（）由 ，得恒成立，即恒成立.当时，取得最大值，的最小值为. （8分）（）若的图像与的图像恰有四个不同交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根. 令.则(x) =.当变化时、的变化情况如下表：（-，-1）（-1,0）（0,1）（1，+）的符号+-+-的单调性由上表知：, ，画出草图和验证，可知，当时，与恰有四个不同交点.当时，的图像与的图像恰有四个不同交点.33. (2014广州高三调研测试, 20) 设函数，. （）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；（）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；（）当，时，求函数在区间上的最小值.解析 33. 解析（）因为，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以, 且。即, 且,解得. （3分） （）当时，所以.令，解得.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 即解得.所以实数的取值范围是. （8分） （）当，时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，所以.当，即时，.当时，. （12分）当时，在区间上单调递增，.综上可知，函数在区间上的最小值为 （14分）答案和解析理数答案 1. c解析 1. , 当或时, 可得; 当时, , 所以函数的极小值为, 极大值为, 由题意可得, 解得.答案 2. c解析 2. 由题意可得上有两个不同的解a，b（ab），结合数形结合可得直线与曲线相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选c.答案 3. b解析 3. 因为定义在上的函数满足, ,所以函数是偶函数，且关于对称，又因为函数的定义域是, 所以，令得，极小值由表中数据可知的单调减区间为，单调增区间为，当时，函数的极小值为，所以在时取得极大值，且函数在上是增函数，所以当时由3个交点；时只有一个交点，故函数在区间上的零点个数为4.答案 4. b解析 4. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选b.答案 5.b解析 5.当时，为偶函数，所以是假命题. , , 显然为真.答案 6.a解析 6. 由已知分别是，的根, 作出，的图像，如图所示，由图像可得.答案 7.a解析 7. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。又当时，所以，从而.答案 8. c解析 8. 函数的图像关于直线对称，直线也是函数的一条对称轴，函数的最小正周期为2，且在区间上有一个半周期，所以其与函数在区间上有3个交点，又因为他们的图像都关于直线对称，所以它们的和为.答案 9. c解析 9. 令，当，；当，所以函数在（0，+为增函数，所以. 所以欲使有零点，只需使.答案 10. d解析 10. 根据函数解析可得函数图像如图所示，由图像可知，选项d的说法错误.答案 11. b解析 11. 在上单调递增，又，所以选b.答案 12. b解析 12. 作函数与的图象，如图，由图知，函数的零点所在的区间是. 答案 13. d解析 13. 函数是偶函数，依题意，函数的图象与的图象有五个不同的交点，如图，由图知，当时，函数与的图象有两个交点，由直线与曲线相切，则方程有等根，即，满足条件，根据偶函数图象的对称性知也满足条件，故所求的的取值范围是.答案 14. c解析 14. 依题意，此函数是周期函数，又是奇函数，且在上是增函数，综合条件得出函数示意图，由图知，四个交点中两个的横坐标之和为，另两个横坐之和为，故四个交点的横坐标之和. 答案 15.b解析 15.如图，方程要有五个不同的解，必须，所以，从而，因为只有2个解，所以要有3个解，由数形结合可得：.答案 16. d解析 16. 函数的图象如图所示，故函数的图象关于直线对称，即正确；由图象知，关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是，故正确；当时，时，时，故时，不存在，使得成立，故错误；时，若，成立，则，故正确.故正确的命题是d.答案 17. a解析 17. 由得，由定义，则，即由于函数在的最大值是，由图知，关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，设，则，由，则，由，即.故的取值范围是.答案 18. 或解析 18. 令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.答案 19.0个解析 19. 函数的图象如图，由图知零点的个数是0个.答案 20.或解析 20. 由已知，所以不是零点。从而函数有零点等价于方程有解. 设，故的范围是函数的值域. ，易得在单调递减，单调递减，单调递增.又当时，当时，为最小值，所以.故的值域是，从而或答案 21. （1）0；（2）40或41解析 21. （1）因为： ，所以， ，所以 ， .（2）由（1） ，周期，在长为的闭区间内有两个或三个零点，区间的长度为十个周期，故零点个数为40个或41个.答案 22. 解析 22. 由方程有四个不同的实数根，是其中1个根，当时，方程有三个不同的实根，即函数与应有3个不同的交点，如图，显然不成立，当时，与的图象有一个交点，只需与的图象有2个交点即可，联立方程组，消去得，由，解得或（舍去），即当时，与的图象有2个交点，综上所述，的取值范围是.答案 23. 解析 23. ，又函数的递增区间为，即，又恰有6个不同的实根，等价于恰有6个不同的实根，即，要使恰有6个不同的实根，也就是方程各有3个不同的实根，当得，此时函数单调递增，当得或，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，此时必有，即，故.答案 24. 解析 24.由函数是偶函数，则，令，又对都有成立，则，即，是周期为2的函数，又当时，又，由得，分别作与的图象，若不满足条件，当时，要函数在上有三个零点，则，即.答案 25. 1解析 25. 方程无整数解，假命题；由，则恒成立，所以是真命题；这个函数可能是常数函数，故是假命题；可能有零点，故错误.故真命题个数是，正确的个数是1个.答案 26.查看解析解析 26.答案 27.查看解析解析 27.() 由，当时，则有函数在区间单调递增；当时，, ，函数的单调增区间为，单调减区间为，综合的当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （5分)() 函数定义域为，又，令，则，(7分)，故函数在上单调递减，在上单调递增，(8分)有由（1）知当时，对，有，即，当且趋向0时，趋向，随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向，得到函数的草图如图所示，故当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点；(10分)（3）由（2）知当时，故对，先分析法证明：要证只需证即证构造函数故函数在单调递增，则成立. (12分)当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立.当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，故当时，所以，则不满足题意.综合得，满足题意的实数的取值范围. (14分)答案 28.查看解析解析 28.解：() 因为，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以, 且.即, 且,解得，. （3分）() 当时，所以.令，解得，.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （5分）故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 ，即，解得.所以实数的取值范围是. （8分）() 当，时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，所以. （9分）当，即时，.当时，.当时，在区间上单调递增，.综上可知，函数在区间上的最小值