高考数学大一轮复习 数列的综合与应用精品试题 理（含模拟试题）(1).doc

2015届高考数学大一轮复习 数列的综合与应用精品试题 理（含2014模拟试题）1.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，则下列结论中错误的是（）a. 若，则可以取3个不同的值b. 若，则数列是周期为的数列c. 且，存在，是周期为的数列 d. 且，数列是周期数列解析 1.对于a项，若，则由得或；进而推出，或，或. 即或或，故a项正确；对于b项，若，即，则，故数列是周期为的数列. 故b项正确；对于c项，若且，是周期为的数列，则一定有满足，即，化简得，所以（舍去）. 此时，满足. 故c项正确；对于d项，假设且，数列是周期数列，则一定存在使得，那么，. 故其后一定有某一项为，且，则，化简得，所以. 因为不可能为有理数，故与假设矛盾. 所以d项错误.2.(2013课标, 12,5分) 设anbncn的三边长分别为an, bn, cn, anbncn的面积为sn, n=1,2, 3, . 若b1 c1, b1+c1=2a1, an+1=an, bn+1=, cn+1=, 则()a. sn为递减数列b. sn为递增数列c. s2n-1为递增数列, s2n为递减数列d. s2n-1为递减数列, s2n为递增数列解析 2.由bn+1=, cn+1=得bn+1+cn+1=an+(bn+cn), bn+1-cn+1=-(bn-cn), 由an+1=an得an=a1, 代入得bn+1+cn+1=a1+(bn+cn), bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1),b1+c1-2a1=2a1-2a1=0, bn+cn=2a1 |bncn|=a1, 所以点an在以bn、cn为焦点且长轴长为2a1的椭圆上(如图). 由b1 c1得b1-c1 0, 所以|bn+1-cn+1|=(bn-cn),即|bn-cn|=(b1-c1) , 所以当n增大时|bn-cn|变小, 即点an向点a处移动, 即边bncn上的高增大,又|bncn|=an=a1不变, 所以sn为递增数列.3. (2014山西太原高三模拟考试（一），16) 在数列中，已知 ，则 . 解析 3. ，.，又因为，代入解得，同理可得，又因为函数单调函数，所以可得，同理可得，所以.4.(2013年河南十所名校高三第二次联考，16,5分) 设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列，的前n项和分别为 ，. 若a5b5，a6b6，且s7s54（t6t4），则_.解析 4. 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由a5b5，a6b6，且s7s54（t6t4），得解得故5.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，22）（原创）在数列中，已知，其前项和满足。(1) 求的值；(2) 求的表达式；(3) 对于任意的正整数，求证：。解析 5. (1) 依次令可得，； (2) 法一：由猜想，下面用数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法三：由题，当时，故，因此。又，故。(3) 法一：由(2) 知为等差数列，故。由知一定时，要使最小，则最大。显然，故，因此，从而。 法二：因为，所以，故，因此，从而，即。法三：(i) 当时不等式显然成立；(ii) 假设时不等式成立，即，则如“法二” 可证，故，即当时不等式成立。综上得证。6.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，20) 已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且 （1）求数列的通项公式； （2）的值.解析 6.（1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4sn = an2 + 2an3 当时 4sn1 = + 2an-13 , 即， ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分 （2）又 = 12分7. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，22) 已知数列中，, 点在直线上，其中. （1）令，求证数列是等比数列;（2）求数列的通项； 设分别为数列的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出. 若不存在, 则说明理由.解析 7.解：（i）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列. 4分（ii）由（i）知，将以上各式相加得： 8分（iii）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列. 14分解法二：存在，使数列是等差数列.由（i）、（ii）知，又当且仅当时，数列是等差数列. 14分8.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，17）已知数列的前n项和为， （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为解析 8. (1) 时, 得: 即 3分在中令, 有, 即，5分故对9.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，18）已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为sn，s4=2s2+8（）求公差d的值；（）若a1=1，设tn是数列的前n项和，求使不等式tn对所有的nn*恒成立的最大正整数m的值；解析 9. （）设数列an的公差为d， s4=2s2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=24分（）由a1=1，d=2，得an=2n-1，5分 =6分 tn=，8分又 不等式tn对所有的nn*恒成立， ，10分化简得：m2-5m-60，解得：-1m6 m的最大正整数值为612分10.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，其中 （1）求的通项公式； （2）令求的前20项和。解析 10.11.(2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，18,12分）已知数列是等比数列，且是的等差中项.（i） 求数列的通项公式；（ii）若,求数列的前n项和.11.12.(2013重庆市高三九校一月联合诊断考试，21,12分）设数列的前项和为，满足，且.（）求的值；（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，都有：.12.13.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，18,12分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.（）求数列的通项公式；（）令，记数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值.13.14.(2013山东青岛高三三月质量检测，20,12分）已知, 数列满足, 数列满足；又知数列中，且对任意正整数，.（）求数列和数列的通项公式；（）将数列中的第项，第项，第项，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.14.15.（2013安徽省皖南八校高三第三次联合考试21,14分）已知sn为数列an的前n项和，a1=a，sn=kan+1且常数k满足0 |k| 1.(i) 求数列an的通项公式；(ii) 对于每一个正整数m, 若将数列中的三项am+1，am+2，am+3按从小到大的顺序调整 后，均可构成等差数列，且记公差为dm，试求k的值及相应dm的表达式(用含m的 式子表示) ；(iii) 记数列dm (这里dm是(2) 中的dm的前m项和为tm=d1+d2+dm. 问是否存在 a, 使得tm 90对恒成立？若存在，求出a的最大值; 若不存在，请说明理由.15.16.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，20，13分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.（）数表如表1所示，若经过两次“操作” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作” 后所得的数表（写出一种方法即可）；（）数表如表2所示，若必须经过两次“操作” ，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；（）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作” 以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.16.17.(2013年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试，19，12分) 鑫隆房地产公司用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房. 经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）. 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）17.18.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，数列，满足.（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： .18.19.（2013江西，17,12分）正项数列an的前n项和sn满足: -(n2+n-1) sn-(n2+n) =0.(1) 求数列an的通项公式an;(2) 令bn=, 数列bn的前n项和为tn. 证明: 对于任意的nn*, 都有tn |bncn|=a1, 所以点an在以bn、cn为焦点且长轴长为2a1的椭圆上(如图). 由b1 c1得b1-c1 0, 所以|bn+1-cn+1|=(bn-cn),即|bn-cn|=(b1-c1) , 所以当n增大时|bn-cn|变小, 即点an向点a处移动, 即边bncn上的高增大,又|bncn|=an=a1不变, 所以sn为递增数列.答案 3. 解析 3. ，.，又因为，代入解得，同理可得，又因为函数单调函数，所以可得，同理可得，所以.答案 4.解析 4. 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由a5b5，a6b6，且s7s54（t6t4），得解得故答案 5.查看解析解析 5. (1) 依次令可得，； (2) 法一：由猜想，下面用数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：当时结论显然成立；假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。 法三：由题，当时，故，因此。又，故。(3) 法一：由(2) 知为等差数列，故。由知一定时，要使最小，则最大。显然，故，因此，从而。 法二：因为，所以，故，因此，从而，即。法三：(i) 当时不等式显然成立；(ii) 假设时不等式成立，即，则如“法二” 可证，故，即当时不等式成立。综上得证。答案 6.查看解析解析 6.（1）当n = 1时，解出a1 = 3,又4sn = an2 + 2an3 当时 4sn1 = + 2an-13 , 即， ,（），是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分 （2）又 = 12分答案 7.查看解析解析 7.解：（i）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列. 4分（ii）由（i）知，将以上各式相加得： 8分（iii）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列. 14分解法二：存在，使数列是等差数列.由（i）、（ii）知，又当且仅当时，数列是等差数列. 14分答案 8.查看解析解析 8. (1) 时, 得: 即 3分在中令, 有, 即，5分故对答案 9.查看解析解析 9. （）设数列an的公差为d， s4=2s2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=24分（）由a1=1，d=2，得an=2n-1，5分 =6分 tn=，8分又 不等式tn对所有的nn*恒成立， ，10分化简得：m2-5m-60，解得：-1m6 m的最大正整数值为612分答案 10.查看解析解析 10.答案 11.（）设等比数列的公比为q， ，是的等差中项，解得q =2，. 6分（ii）由（）知， ， .12分11.答案 12.（）由题意知， ，.4分（