高考数学总复习 第7章 推理与证明 第3课时 数学归纳法课时训练（含解析）.doc

第七章推理与证明第3课时数学归纳法(理科专用) 1. 用数学归纳法证明1n(nn*，n1)时，第一步应验证不等式_答案：12解析： nn*，n1， n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为，故填12.2. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为_答案：f(n)n1解析：增加一个顶点，就增加n13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.3. 已知数列an的前n项和snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an_答案：解析：由snn2an知sn1(n1)2an1， sn1sn(n1)2an1n2an， an1(n1)2an1n2an， an1an(n2)当n2时，s24a2.又s2a1a2， a2，a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4，猜想an.4. 用数学归纳法证明“1n(nn*，n1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_答案：2k解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.5. 已知f(n)(2n7)3n9(nn*)，存在自然数m，使得对任意nn*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为_答案：36解析： f(1)36，f(2)363，f(3)3610， f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除6. 观察下列式子：1，1，1，则可归纳出_答案：1(nn*)解析：1，即1；1，即1，归纳出1(nn*)7. 设f(n)(nn*)，那么f(n1)f(n)_答案：解析：f(n1)f(n).8. 已知123332433n3n13n(nab)c对一切nn*都成立，则a、b、c的值为_答案：a，bc解析： 等式对一切nn*均成立， n1，2，3时等式成立，即整理得解得a，bc. 9. 已知正项数列an中，a11，an11(nn*)用数学归纳法证明：anan1(nn*)证明：当n1时，a21，a1a2，所以n1时，不等式成立；假设当nk(kn*)时，ak0.则当nk1时，ak2ak11ak110，所以nk1时，不等式成立综上所述，不等式anan1(nn*)成立10. 求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除(其中nn*)证明： 当n1时，a2(a1)1a2a1能被a2a1整除，即当n1时原命题成立 假设nk(kn*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1a(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设及a2a1能被a2a1整除可知，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1命题也成立根据和可知，对于任意的nn*，原命题成立11. 设数列an的前n项和sn2nan，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之解：由a12a1，得a11，由a1a222a2，得a2.由a1a2a323a3，得a3.由a1a2a3a424a4，得a4.猜想an.下面用数学归纳法证明猜想正确： 当n1时，左边a11，右边1，猜想成立 假设当nk时，猜想成立，就是ak，此时sk2kak2k.则当nk1时，由sk12(k1)ak1，得sk1ak12(k1)2ak1， ak12(k1)skk1.这就是说，当nk1时，等式也成立由可知，an对nn*均成立12. 已知abc的三边长为有理数，求证：(1) cos a是有理数；(2) 对任意正整数n，cosna是有理数证明：(1) 由ab、bc、ac为有理数及余弦定理知cosa是有理数(2) 用数学归纳法证明cosna和sinasinna都是有理数 当n1时，由(1)知cosa是有理数，从而有sinasina1cos2a也是有理数 假设当nk(k1)时，coska和sinasinka都是有理数当nk1时，由cos(k1)acosacoskasinasinka，sinasin(k1)asina(sinacoskacosasinka)(sinasina)coska