内蒙古兴安盟高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

内蒙古兴安盟2015届高 考数学二模试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集u=xr|x0，函数f（x）=的定义域为a，则ua为( )a2复数为纯虚数，则实数a=( )a2bc2d3平面向量=（1，2），=（2，x），若，则x等于( )a4b4c1d24设等比数列an的前n项和为sn，满足an0，q1，且a3+a5=20，a2a6=64，则s5=( )a31b36c42d485设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为( )a3b2c1d06执行如图的程序框图，则输出s的值为( )a2016b2cd17如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）( )a8+b8+4c16+d16+48若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( )a3b4c5d69在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinc=2sinb，则a=( )abcd10已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是( )a在上是增函数b其图象关于直线x=对称c函数g（x）是奇函数d当x时，函数g（x）的值域是11如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=所围成的阴影部分的面积为( )a1bc2d212已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（mn）的最小值为( )abcd二填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知随机变量x服从正态分布n（1，2），若p（0x1）=0.3，则p（x2）=_14已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于_15给出下列5种说法：在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；标准差越小，样本数据的波动也越小；回归分析就是研究两个相关事件的独立性；在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；相关指数r2是用来刻画回归效果的，r2的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好其中说法正确的是_（请将正确说法的序号写在横线上）16如图，在三棱锥abcd中，acd与bcd是全等的等腰三角形，且平面acd平面bcd，ab=2cd=4，则该三棱锥的外接球的表面积为_三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和sn，a1=，sn+（n2）（1）计算s1，s2，s3，猜想sn的表达式并用数学归纳法证明；（2）设bn=，数列的bn的前n项和为tn，求证：tn18某城市随机监测一年内100天的空气质量pm2.5的数据api，结果统计如下：api（50，100（100，150（150，200（200，250（250，+）天数61222301416（1）若将api值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年2015届高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；（2）api值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润f（x）与api值x的函数关系为：f（x）=（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和x，求离散型随机变量x的分布列以及数学期望和方差19直三棱柱abca1b1c1 中，aa1=ab=ac=1，e，f分别是cc1、bc 的中点，aea1b1，d为棱a1b1上的点（1）证明：dfae；（2）是否存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点d的位置，若不存在，说明理由20已知点f（1，0），点p为平面上的动点，过点p作直线l：x=1的垂线，垂足为h，且=（1）求动点p的轨迹c的方程；（2）设点p的轨迹c与x轴交于点m，点a，b是轨迹c上异于点m的不同d的两点，且满足=0，在a，b处分别作轨迹c的切线交于点n，求点n的轨迹e的方程；（3）在（2）的条件下，求证：kmnkab为定值21已知函数，对任意的x（0，+），满足，其中a，b为常数（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，5），求a的值；（2）已知0a1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图ab是圆o的一条弦，过点a作圆的切线ad，作bcac，与该圆交于点d，若ac=2，cd=2（1）求圆o的半径；（2）若点e为ab中点，求证o，e，d三点共线【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为（是参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为=（1）求曲线c1的普通方程和曲线c2的直角坐标方程；（2）求曲线c1上的任意一点p到曲线c2的最小距离，并求出此时点p的坐标【选修4-5：不等式选讲】24设f（x）=|x1|+|x+1|（1）求f（x）x+2的解集；（2）若不等式f（x）对任意实数a0恒成立，求实数x的取值范围内蒙古兴安盟2015届高考数学二模试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集u=xr|x0，函数f（x）=的定义域为a，则ua为( )a考点：并集及其运算 专题：集合分析：求出f（x）的定义域确定出a，根据全集u求出a的补集即可解答：解：由f（x）=，得到1lnx0，解得：0xe，即a=（0，e），全集u=（0，+），ua=a8+b8+4c16+d16+4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，结合图中数据求出它的体积即可解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，且下部长方体的长、宽、高分别为4、2、2，上部圆柱体的底面圆半径为1，高为1；该几何体的体积（容积）为v=v长方体+v圆柱体=422+121=16+故选：c点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目8若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( )a3b4c5d6考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：二项式的通项公式tr+1=cnr（x6）nr（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值解答：解：由题意，（x6）n的展开式的项为tr+1=cnr（x6）nr（）r=cnr=cnr令6nr=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：c点评：本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值9在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinc=2sinb，则a=( )abcd考点：余弦定理的应用；正弦定理 专题：应用题；解三角形分析：根据sinc=2sinb，由正弦定理得，再利用余弦定理可得结论解答：解：因为sinc=2sinb，所以由正弦定理得，所以，再由余弦定理可得，所以a=故选a点评：本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求10已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g（x），下列说法正确的是( )a在上是增函数b其图象关于直线x=对称c函数g（x）是奇函数d当x时，函数g（x）的值域是考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求解答：解：f（x）=sinx+cosx=，由题意知，则t=，=，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2=2cos2x其图象如图：由图可知，函数在上是减函数，a错误；其图象的对称中心为（），b错误；函数为偶函数，c错误；，当x时，函数g（x）的值域是，d正确故选：d点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题11如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=所围成的阴影部分的面积为( )a1bc2d2考点：定积分的简单应用 专题：导数的综合应用分析：由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求解答：解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选：d点评：本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求12已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（mn）的最小值为( )abcd考点：函数的最值及其几何意义 专题：计算题；压轴题分析：先根据函数f（x）的解析式和f（m）+f（n）=1用lnn表示出lnm，然后代入到f（mn）的表达式，最后由基本不等式可得答案解答：解：f（x）=f（m）+f（n）=2=1lnm+1=f（mn）=1=1=1=1=11=（当且仅当 ，即n=m=e3时等号取到）故选b点评：本题主要考查基本不等式的应用，属中档题，使用基本不等式时注意等号成立的条件二填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知随机变量x服从正态分布n（1，2），若p（0x1）=0.3，则p（x2）=0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：随机变量服从正态分布n（1，2），得到曲线关于x=1称，根据曲线的对称性得到p（x2）=p（x0）=0.5p（0x1），根据概率的性质得到结果解答：解：随机变量服从正态分布n（1，2），曲线关于x=1对称，p（x2）=p（x0）=0.5p（0x1）=0.2故答案为：0.2点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题14已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线y2=4x，可得准线方程为x=1双曲线（a0，b0）可得两条渐近线方程分别为y=x利用渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，可得=1，即可得出双曲线的离心率解答：解：由抛物线y2=4x，可得准线方程为x=1由双曲线（a0，b0）可得两条渐近线方程分别为y=xx=1时，y=，渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，=1，=1双曲线的离心率为e=故答案为：点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于基础题15给出下列5种说法：在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；标准差越小，样本数据的波动也越小；回归分析就是研究两个相关事件的独立性；在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；相关指数r2是用来刻画回归效果的，r2的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好其中说法正确的是（请将正确说法的序号写在横线上）考点：命题的真假判断与应用 专题：概率与统计分析：根据众数和中位数的性质进行判断根据标准差的定义和性质判断根据回个分析的定义进行判断根据回归分析中，根据预报变量的定义和性质判断根据相关性指数r2的意义进行判断解答：解：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故错误标准差是衡量样本数据中的波动程度，标准差越小，数据越稳定，样本数据的波动也越小，正确回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，错误在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的，正确根据相关性指数的定义和性质可知，相关指数r2是用来刻画回归效果的，r2的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好正确故答案为：点评：本题的考点是相关关系和回归分析，对本题的正确判断需要对相关概念的熟练掌握16如图，在三棱锥abcd中，acd与bcd是全等的等腰三角形，且平面acd平面bcd，ab=2cd=4，则该三棱锥的外接球的表面积为考点：球的体积和表面积；球内接多面体 专题：空间位置关系与距离分析：取ab，cd中点分别为e，f，连接ef，af，bf，求出ef，判断三棱锥的外接球球心o在线段ef上，连接oa，oc，求出半径，然后求解表面积解答：解：取ab，cd中点分别为e，f，连接ef，af，bf，由题意知afbf，af=bf，ef=2，易知三棱锥的外接球球心o在线段ef上，连接oa，oc，有r2=ae2+oe2，r2=cf2+of2，求得，所以其表面积为故答案为：点评：本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和sn，a1=，sn+（n2）（1）计算s1，s2，s3，猜想sn的表达式并用数学归纳法证明；（2）设bn=，数列的bn的前n项和为tn，求证：tn考点：数学归纳法；数列与不等式的综合 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）利用已知条件计算s1，s2，s3，猜想sn的表达式，然后用数学归纳法证明步骤证明即可；（2）化简bn=，利用裂项法求解数列的bn的前n项和为tn，即可证明tn解答：（本小题满分12分）解：（1）因为an=snsn1（n2），所以，由此整理得，于是有：，猜想：证明：当n=1时，猜想成立假设n=k时猜想成立，即，那么，所以当n=k+1时猜想成立，由可知，猜想对任何nn*都成立（2）由（1），于是：，又因为，所以点评：本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题，虽存在着一定的难度，但是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求18某城市随机监测一年内100天的空气质量pm2.5的数据api，结果统计如下：api（50，100（100，150（150，200（200，250（250，+）天数61222301416（1）若将api值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年2015届高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；（2）api值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润f（x）与api值x的函数关系为：f（x）=（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和x，求离散型随机变量x的分布列以及数学期望和方差考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）根据分布表格得出续两天出现“好天”的概率（2）确定x的所有可能取值为45，70，95，120，利用二项分的概率知识求解，p（x=120）=（0.4）3=0.064，根据利用分布列求解e（x），d（x）解答：解：（1）根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.40.4=0.16（2）x的所有可能取值为45，70，95，120p（x=45）=（0.6）3=0.216p（x=120）=（0.4）3=0.064x457095120p0.2160.4320.2880.064e（x）=450.216+700.432+950.288+1200.064=75d（x）=（4575）20.216+（7075）20.432+（9575）20.288+（12075）20.064=450点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力19直三棱柱abca1b1c1 中，aa1=ab=ac=1，e，f分别是cc1、bc 的中点，aea1b1，d为棱a1b1上的点（1）证明：dfae；（2）是否存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点d的位置，若不存在，说明理由考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用分析：（1）先证明abac，然后以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则能写出各点坐标，由与共线可得d（，0，1），所以=0，即dfae； （2）通过计算，面def的法向量为可写成=（3，1+2，2（1），又面abc的法向量=（0，0，1），令|cos，|=，解出的值即可解答：（1）证明：aea1b1，a1b1ab，aeab，又aa1ab，aa1ae=a，ab面a1acc1，又ac面a1acc1，abac，以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则有a（0，0，0），e（0，1，），f（，0），a1（0，0，1），b1（1，0，1），设d（x，y，z）， 且，即（x，y，z1）=（1，0，0），则 d（，0，1），所以=（，1），=（0，1，），=0，所以dfae； （2）结论：存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为理由如下：设面def的法向量为=（x，y，z），则，=（，），=（，1），即，令z=2（1），则=（3，1+2，2（1）由题可知面abc的法向量=（0，0，1），平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为，|cos，|=，即=，解得或（舍），所以当d为a1b1中点时满足要求点评：本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题20已知点f（1，0），点p为平面上的动点，过点p作直线l：x=1的垂线，垂足为h，且=（1）求动点p的轨迹c的方程；（2）设点p的轨迹c与x轴交于点m，点a，b是轨迹c上异于点m的不同d的两点，且满足=0，在a，b处分别作轨迹c的切线交于点n，求点n的轨迹e的方程；（3）在（2）的条件下，求证：kmnkab为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由，展开数量积公式可得，可知点p为线段hf中垂线上的点，由抛物线定义可得动点p的轨迹c为以f为焦点的抛物线，其方程为y2=4x；（2）设直线ma的斜率为k（k0），写出直线ma的方程，和抛物线联立求得，进一步求得切线na的方程，同理求出切线nb的方程，联立即可求得交点n的轨迹方程；（3）由（2）求出n的坐标，由两点坐标求斜率公式求得kmn、kab得答案解答：（1）解：由可得：，即，可知点p为线段hf中垂线上的点，故动点p的轨迹c为以f为焦点的抛物线，其方程为y2=4x；（2）解：设直线ma的斜率为k（k0），则ma所在直线方程为y=kx，联立直线ma和抛物线方程，得，可求得切线na的方程为，化简整理得，mamb，故直线mb的方程为联立直线mb和抛物线方程，解得b（4k2，4k），切线nb的方程为，化简整理得，得，解得x=4（定值）故点n的轨迹为x=4，是垂直x轴的一条定直线；（3）证明：由（2）有，故（定值）点评：本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求，是压轴题21已知函数，对任意的x（0，+），满足，其中a，b为常数（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，5），求a的值；（2）已知0a1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（1）由求得a=b，代入原函数求得则f（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，5）求得a=2；（2）求出=，令g（x）=（0x1），利用导数求得g（x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）g（1）0得答案；（3）求出函数f（x）=lnxax+的导函数，分析可知当a0时，f（x）0，f（x）为（0，+）上的增函数，不符合题意；当a0时，由0求得a的范围进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x11，x21，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f（1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）解答：（1）解：由，且，得，即，a=b则f（x）=lnxax+，则f（1）=12a，又f（1）=0，f（x）的图象在x=1处的切线方程为y0=（12a）（x1），即y=（12a）x1+2a（0，5）在切线上，5=1+2a，即a=2；（2）证明：f（x）=lnxax+，=，令g（x）=（0x1），则=0g（x）在（0，1）上为减函数，x（0，1）时，g（x）g（1）=2ln1+2ln2=0a1时，；（3）由f（x）=lnxax+，得=当a=0时，f（x）为（0，+）上的增函数，不符合题意；当a0时，f（x）为（0，+）上的增函数，不符合题意；当a0时，由=14a20，得0则当x（0，），（）时，f（x）0；当x（）时，f（x）0设，则x11，x21，f（x）在（x1，1）上递增，f（x1）f（1）=0，又，存在，使得f（x0）=0，又，f（1）=0，f（x）恰有三个不同的零点综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）点评：本题考查了函数性质的应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了函数最值的求法，考查了利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图ab是圆o的一条弦，过点a作圆的切线ad，作bcac，与该圆交于点d，若ac=2，cd=2（1）求圆o的半径；（2）若点e为ab中点，求证o，e，d三点共线考点：圆的切线的性质定理的证明 专题：选作题；推理和证明分析：（1）取bd中点为f，连结of，求出bc，可得bf，利用勾股定理求圆o的半径；（2）证明四边形oadb为平行四边形，利用e为ab的中点，即可证明o，e，d三点共线解答：（1）解：取bd中点为f，连结of，由题意知，ofac，of=acac为圆o的切线，bc为割线，ca2=cdcb，由，bc=6，bd=4，bf=2在rtobf中，由勾股定理得，（2）证明：由（1）知，oabd，oa=bd四边形oadb为平行四边形，又e为ab的中点，od与ab交于点e，o，e，d三点共线点评：本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容本小题重点考查考生对平面几何推理能力【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为（是参数），以原