内蒙古包头市高三数学上学期第一次模拟试卷 理（含解析）.doc

内蒙古包头市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合m=x|x24，n=1，0，4，则mn=( )a1，0，4b1，0c0，4d2，1，02若复数z的共轭复数为，且满足（2i）=10+5i（i为虚数单位），则|z|=( )a25b10c5d3已知等差数列an的公差为d=3，若a1，a2，a3，a4，a5的平均数为18，则a1的值为( )a12b12c24d244曲线y=ex+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形面积为( )abc1d25如图是一个算法的流程图，若输出的结果是255，则判断框中的整数n的值为( )a6b7c8d96一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )abcd27（2x+1）（1）5的展开式中的常数项是( )a11b10c1d98设非负实数x，y满足，则z=3x+2y的最大值是( )a7b6c9d129已知ae是abc的中线，若a=120，=2，则|的最小值是( )a1b0c1d210已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于m，n两点，o为坐标原点，若双曲线的离心率为2，mon的面积为，则p的值为( )ab3c4d211已知函数f（x）=，若|f（x）|mx，则m的取值范围是( )a0，2b2，0c（，2d2，+）12已知椭圆c：=1（ab0）和圆o：x2+y2=b2，若c上存在点m，过点m引圆o的两条切线，切点分别为e，f，使得mef为正三角形，则椭圆c的离心率的取值范围是( )a，1）b，1）c，1）d（1，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a，b，c三所大学时，甲说：我去过的大学比乙多，但没去过a大学；乙说：我没去过b大学；丙说：我们三人去过同一所大学；由此可判断乙去过的大学为_15设是函数f（x）=sin（2x+）（|）的一个零点，则函数f（x）在区间（0，2）内所有极值点之和为_16设数列an为等差数列，其公差为d，数列bn为等比数列，若a1a2，b1b2，且b1=ai2（i=1，2，3），则_三、解答题（共5小题，满分60分）17在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知3cos（bc）=1+6cosbcosc（1）求cosa；（2）若a=3，abc的面积为2，求b+c的值18如图，已知在长方体abcda1b1c1d1中，ad=a1a=ab=2，点e是棱ab上一点，且=（1）证明：d1ea1d；（2）若二面角d1ecd的余弦值为，求ce与平面d1ed所成的角19从某大学中随机选取7名女大学生，其身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）数据如表： 编号 1 23 45 67 身高x 163 164 165 166 167 168 169 体重y 5252 5355 5456 56（1）求根据女大学生的身高x预报体重y的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重；（3）试分析说明回归方程预报的效果附：1回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，=2反映回归效果的公式为：r2=1，其中r2越接近于1，表示回归的效果越好3参考数据：（y1）2=2.2520在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：=1（ab0）的离心率为，过椭圆c的右焦点f作两条互相垂直的弦ef与mn，当直线ef斜率为0时，|ef|+|mn|=7（1）求椭圆c的方程；（2）求|ef|+|mn|的取值范围21已知函数f（x）=x2lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对任意的t0，方程f（x）t=0关于x在（1，+）上有唯一解s，使t=f（s）；（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当te2时，有【选修4-1：几何证明选讲】22如图，o的半径oc垂直于直径db，f为bo上一点，cf的延长线交o于点e，过e点的切线交db的延长线于点a（1）求证：af2=abad；（2）若o的半径为2，ob=of，求fe的长【选修4-2：极坐标与参数方程】23已知直线n的极坐标是pcos（+）=4，圆a的参数方程是（是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆a上的点到直线n上点距离的最小值【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|x1+a|+|xa|（1）若a2，xr，证明：f（x）3；（2）若f（1）2，求a的取值范围内蒙古包头市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设集合m=x|x24，n=1，0，4，则mn=( )a1，0，4b1，0c0，4d2，1，0考点：交集及其运算 专题：集合分析：先求出不等式x24的解集m，再由交集的运算求出mn解答：解：由x24得2x2，则集合m=x|2x2，又n=1，0，4，所以mn=1，0，故选：b点评：本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题2若复数z的共轭复数为，且满足（2i）=10+5i（i为虚数单位），则|z|=( )a25b10c5d考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出解答：解：满足（2i）=10+5i（i为虚数单位），=3+4i，z=34i则|z|=5故选：c点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，属于基础题3已知等差数列an的公差为d=3，若a1，a2，a3，a4，a5的平均数为18，则a1的值为( )a12b12c24d24考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：先用等差数列的性质与平均数的概念，求出a3的值，再用等差数列的通项公式求出a1的值解答：解：等差数列an中，公差d=3，a1，a2，a3，a4，a5的平均数为18，=a3=18，a1=a32d=1823=12；即a1的值为12故选：a点评：本题考查了等差数列的通项公式以及平均数的应用问题，是基础题目4曲线y=ex+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成的三角形面积为( )abc1d2考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题；导数的综合应用分析：先对函数y=ex+1求导，求出y在x=0处的斜率，根据点斜式求出切线方程，再利用面积公式进行求解答：解：y=ex+1，y=ex，切线的斜率k=y|x=0=1，且过点（0，2），切线为：y2=x，y=x+2，切线与x轴交点为：（2，0），与y轴的交点为（0，2），切线与直线y=0和y=0围成的三角形的面积为：s=22=2，故选：d点评：此题利用导数研究曲线上的点的切线，注意斜率与导数的关系，此题是一道基础题5如图是一个算法的流程图，若输出的结果是255，则判断框中的整数n的值为( )a6b7c8d9考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的s，a的值，当s=255时，由题意，此时不满足条件8n，退出循环，输出s的值为255，从而判断出判断框中整数n的值解答：解：模拟执行程序，可得a=1，s=1满足条件an，s=3，a=2满足条件an，s=7，a=3满足条件an，s=15，a=4满足条件an，s=31，a=5满足条件an，s=63，a=6满足条件an，s=127，a=7满足条件an，s=255，a=8由题意，此时不满足条件8n，退出循环，输出s的值为255，则判断框中的整数n的值应为7故选：b点评：本题主要考查了算法流程图，同时考查了分析问题的能力和读图的能力，属于基础题6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )abcd2考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正三棱柱解答：解：该几何体为正三棱柱，其底面的边长为2，高为1；故其体积为v=21=，故选a点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力7（2x+1）（1）5的展开式中的常数项是( )a11b10c1d9考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：把（1）5按照二项式定理展开，可得（2x+1）（1）5的展开式中的常数项解答：解：（2x+1）（1）5=（2x+1）（15+1010+5），故展开式中的常数项是 2（5）+1=9，故选：d点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8设非负实数x，y满足，则z=3x+2y的最大值是( )a7b6c9d12考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过点b（1，2）时，z最大值即可解答：解：根据约束条件画出可行域直线z=3x+2y过点b，z取得最大值，由，解得，可得b（1，2）时，z最大值是7，故选：a点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题9已知ae是abc的中线，若a=120，=2，则|的最小值是( )a1b0c1d2考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式，及向量的平方即为模的平方，结合重要不等式即可得到最小值解答：解：设ac=b，ab=c，又a=120，=2，则bccos120=2，即有bc=4，由ae是abc的中线，则有=（+），即有=（+2）=（b2+c24）（2bc4）=（84）=1当且仅当b=c时，|的最小值为1故选：c点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的中点表示形式及向量的平方即为模的平方，运用重要不等式是解题的关键10已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于m，n两点，o为坐标原点，若双曲线的离心率为2，mon的面积为，则p的值为( )ab3c4d2考点：双曲线的简单性质 专题：解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得m，n，求出三角形mon的面积，进而解得p=2解答：解：由e=2，可得=由，求得m（，），n（，），所以smon=将=代入，得p2=4，解得p=2故选d点评：本题考查双曲线和抛物线的综合应用求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，属于中档题11已知函数f（x）=，若|f（x）|mx，则m的取值范围是( )a0，2b2，0c（，2d2，+）考点：函数恒成立问题；分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：作出函数f（x）的图象，结合不等式恒成立，对m进行分类讨论即可得到结论解答：解：作出函数f（x）的图象如图：若m=0，则|f（x）|mx成立，若m0，由图象可知不等式|f（x）|mx不成立，若m0，当x0时，不等式|f（x）|mx成立，要使|f（x）|mx成立，则只需要当x0时|f（x）|mx成立，即|x2+2x|mx，即x22xmx，则x2（m+2）x成立，x0，不等式x2（m+2）x等价为xm+2，即mx2恒成立，x0，x22，即此时2m0，综上2m0，故选：b点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用数形结合以及分段函数的应用是解决本题的关键12已知椭圆c：=1（ab0）和圆o：x2+y2=b2，若c上存在点m，过点m引圆o的两条切线，切点分别为e，f，使得mef为正三角形，则椭圆c的离心率的取值范围是( )a，1）b，1）c，1）d（1，考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图所示，连接oe，of，om，由于mef为正三角形，可得ome=30，om=2ba，再利用离心率计算公式即可得出解答：解：如图所示，连接oe，of，om，mef为正三角形，ome=30，om=2b，则2ba，椭圆c的离心率e=又e1椭圆c的离心率的取值范围是故选：c点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可解答：解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率p=故答案为：点评：本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a，b，c三所大学时，甲说：我去过的大学比乙多，但没去过a大学；乙说：我没去过b大学；丙说：我们三人去过同一所大学；由此可判断乙去过的大学为c考点：进行简单的合情推理 专题：推理和证明分析：可先由乙推出，可能去过a大学或c大学，再由甲推出只能是b，c中的一个，再由丙即可推出结论解答：解：由乙说：我没去过b大学，则乙可能去过a大学或c大学，但甲说：我去过的大学比乙多，但没去过a大学，则乙只能是去过b，c中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一大学，则由此可判断乙去过的大学为c故答案为：c点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题15设是函数f（x）=sin（2x+）（|）的一个零点，则函数f（x）在区间（0，2）内所有极值点之和为考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：根据函数零点的定义求出的值，然后求出所有的最值相加即可即可解答：解：是函数f（x）=sin（2x+）（|）的一个零点，f（）=sin（2+）=sin（+）=0，即+=k，解得=k，kz，|，当k=0时，=，则f（x）=sin（2x），由2x=+k，得x=+，kz，x（0，2），当k=0时，x=，当k=1时，x=，当k=2时，x=，当k=3时，x=，+=，故答案为：点评：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出的值是解决本题的关键16设数列an为等差数列，其公差为d，数列bn为等比数列，若a1a2，b1b2，且b1=ai2（i=1，2，3），则1考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列an的公差为d，可得d0，由数列bn为等比数列，可得b22=b1b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得结论解答：解：设等差数列an的公差为d，由a1a2可得d0，b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，数列bn为等比数列，b22=b1b3，即（a1+d）4=a12（a1+2d）2，（a1+d）2=a1（a1+2d） 或（a1+d）2=a1（a1+2d），由可得d=0与d0矛盾，应舍去；由可得a1=d，或a1=1d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1b2矛盾，舍去；当a1=1d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，满足题意，=1，故答案为：点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知3cos（bc）=1+6cosbcosc（1）求cosa；（2）若a=3，abc的面积为2，求b+c的值考点：余弦定理 专题：解三角形分析：（1）已知等式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式及诱导公式化简，求出cosa的值即可；（2）由cosa的值求出sina的值，利用三角形的面积公式表示出三角形abc面积，把sina，已知面积代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把a与cosa的值代入求出b2+c2的值，利用完全平方公式求出（b+c）2的值，开方即可求出b+c的值解答：解：（1）由3cos（bc）=1+6cosbcosc，整理得：3cosbcosc3sinbsinc=1，即3cos（b+c）=1，cosa=cos（b+c）=；（2）a为三角形内角，sina=，sabc=bcsina=2，bc=6，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，即b2+c2=13，联立，得（b+c）2=b2+c2+2bc=13+12=25，则b+c=5点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键18如图，已知在长方体abcda1b1c1d1中，ad=a1a=ab=2，点e是棱ab上一点，且=（1）证明：d1ea1d；（2）若二面角d1ecd的余弦值为，求ce与平面d1ed所成的角考点：直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明：d1ea1d；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求出线面所成的角的大小解答：（1）证明：建立如图所示的坐标系，则d（0，0，0），a（2，0，0），b（2，4，0），a1（2，0，2），b1（2，4，2），c1（0，4，2），d1（0，0，2）因为=，所以e（2，0），于是=（2，2）=（2，0，2），则=（2，2）（2，0，2）=0，即，则d1ea1d （2）解：因为d1d平面abcd，所以平面dec的法向量为=（0，0，2）又=（2，2），=（0，4，2），设平面d1ce的法向量为=（x，y，z），则=2x+y（4）=0，=4y+2z=0，所以向量的一个解为（2，1，2）因为二面角d1ecd的大小为则=，较大=1，即e（2，2，0），故=（0，0，2），=（2，2，0），=（2，2，0），则=0，=0，即ce平面d1ed，即ce与平面d1ed所成的角为点评：本题考查线线垂直，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，建立坐标系是解决本题的关键19从某大学中随机选取7名女大学生，其身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）数据如表： 编号 1 23 45 67 身高x 163 164 165 166 167 168 169 体重y 5252 5355 5456 56（1）求根据女大学生的身高x预报体重y的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重；（3）试分析说明回归方程预报的效果附：1回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，=2反映回归效果的公式为：r2=1，其中r2越接近于1，表示回归的效果越好3参考数据：（y1）2=2.25考点：线性回归方程 专题：应用题；概率与统计分析：（1）计算平均数，求出b，a，即可求出回归方程；（2）b0，可得这7名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系，代入公式，预报一名身高为172cm的女大学生的体重；（3）求出r2=1=87.5%，即可说明回归方程预报的效果解答：解：（1）=166，=54，b=，a=54=70.5，y=x70.5；（2）b0，这7名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系，x=172时，y=17270.5=58.5（kg）；（3）r2=1=87.5%，女大学生的体重差异有87.5%是由身高引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的点评：本题考查回归方程，考查学生的计算能力，正确求出回归方程是关键20在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：=1（ab0）的离心率为，过椭圆c的右焦点f作两条互相垂直的弦ef与mn，当直线ef斜率为0时，|ef|+|mn|=7（1）求椭圆c的方程；（2）求|ef|+|mn|的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意知e=，mn=72a，再由点（c，）在椭圆上，能求出椭圆的方程（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，|ef|+|mn|=7；当两弦斜率均存在且不为0时，设a（x1，y1），b（x2，y2），设直线ef的方程为y=k（x1），直线mn的方程为y=（x1）由此能求出|ef|+|mn|，从而能求出其取值范围解答：解：（1）由题意知，e=，|mn|=72a，所以a2=4c2，b2=3c2，2分因为点（c，）在椭圆上，即+=1，解得：c=1所以椭圆的方程为：+=1；（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知|ef|+|mn|=7，当两弦斜率均存在且不为0时，设a（x1，y1），b（x2，y2），且设直线ef的方程为y=k（x1），则直线mn的方程为：y=（x1），将直线ef的方程代入椭圆方程中，并整理得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，x1=，x2=，|ef|=|x1x2|=，同理，|mn|=，|ef|+|mn|=，令t=k2+1，则t1，3+4k2=4t1，3k2+4=3t+1，设f（t）=+，t1，（0，1），f（t）（12，），|ef|+|mn|=，7综合与可知，ab+cd的取值范围是，7点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查两条线段和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用21已知函数f（x）=x2lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对任意的t0，方程f（x）t=0关于x在（1，+）上有唯一解s，使t=f（s）；（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当te2时，有考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（1）函数的定义域为（0，+），求导数令f（x）=0，可解得x=，由导数在（0，），和（，+）的正负可得单调性；（2）当0x1时，f（x）0，设t0，令h（x）=f（x）t，x1，+），由（）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（3）令u=lns，原命题转化为0lnu，一方面由f（s）的单调性，可得u1，从而lnu0成立，另一方面，令f（u）=lnu，u1，通过函数的单调性可得极值、最值，进而得证解答：（1）解：由题意可知函数的定义域为（0，+），求导数可得f（x）=2xlnx+x2=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f（x）=0，可解得x=，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表： x（0，） （ ，+） f（x） 0+ f（x）单调递减极小值 单调递增 所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+）；（2）证明：当0x1时，f（x）0，设t0，令h（x）=f（x）t，x1，+），由（1）可知，h（x）在区间（1，+）单调递增，h（1）=t0，h（et）=e2tlnett=t（e2t1）0，故存在唯一的s（1，+），使得t=f（s）成立；（3）证明：因为s=g（t），由（2）知，t=f（s），且s1，从而=，其中u=lns，要使成立，只需，即2，即22+，只需0，变形可得只需0lnu，当te2时，若s=g（t）e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）f（e）=e2，矛盾，所以se，即u1，从而lnu0成立，另一方面，令f（u）=lnu，u1，f（u）=，令f（u）=0，可解得u=2，当1u2时，f（u）0，当u2时，f（u）0，故函数f（u）在u=2处取到极大值，也是最大值f（2）=ln210，故有f（u）=lnu0，即lnu，综上可证：当te2时，有成立点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题【选修4-1：几何证明选讲】22如图，o的半径oc垂直于直径db，f为bo上一点，cf的延长线交o于点e，过e点的切线交db的延长线于点a（1）求证：af2=abad