内蒙古北方重工三中高三数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

内蒙古北方重工三中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项符合要求的）1若复数z满足（3+4i）z=43i，则z的虚部为( )a1bic1di考点：复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出解答：解：复数z满足（3+4i）z=43i，=i，z的虚部为1故选：c点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题2如图所示的韦恩图中，a、b是非空集合，定义a*b表示阴影部分集合若x，yr，b=y|y=3x，x0，则a*b=( )a（2，+）b（2，+）db=y|y=3x，x0=a“p或q”为真b“p且q”为真cp假q真dp，q均为假命题考点：复合命题的真假 专题：常规题型分析：先求出曲线y=ex在点（1，e）处的切线方程，判定命题p的真假，然后利用列举法说明命题q是假命题，最后根据复合命题的真值表可得结论解答：解：命题p：y=ex则y|x=1=e曲线y=ex在点（1，e）处的切线方程是ye=e（x+1）即y=ex故命题p为真命题命题q：22而，故命题q是假命题根据复合命题的真假的真值表可知“p或q”为真，“p且q”为假故选a点评：本题主要考查了复合命题的真假，以及曲线的切线和不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于基础题5已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )a若m，n，则mnb若m，n，则mnc若m，mn，则nd若m，mn，则n考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：a运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；b运用线面垂直的性质，即可判断；c运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；d运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断解答：解：a若m，n，则m，n相交或平行或异面，故a错；b若m，n，则mn，故b正确；c若m，mn，则n或n，故c错；d若m，mn，则n或n或n，故d错故选b点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型6设x，y满足约束条件，则x+2y+3的取值范围是( )abcd考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）设z=x+2y+3得y=x+z，平移直线y=x+z，aaa由图象可知当直线y=x+z经过点a（0，4）时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为z=8+3=11，当直线y=x+z经过点o（0，4）时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小为z=3，故3z11故选：d点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法7函数f（x）=( )a在上递增b在上递减c在，（，2上递减考点：正切函数的单调性；三角函数的化简求值 专题：三角函数的图像与性质分析：化简函数的解析式为函数f（x）=，再利用正切函数的单调性得出结论解答：解：函数f（x）=，故函数f（x）在上递增，故选：a点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，正切函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题8如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边bd长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且ab=bc=1，则异面直线pb与cd所成角的正切值是( )a1bcd考点：异面直线及其所成的角；简单空间图形的三视图 专题：计算题分析：先将三视图转化成空间图形，取ad的中点e，连接be，pe，ce，将cd平移到be，根据异面直线所成角的定义可知pbe为异面直线pb与cd所成角，在rtpbe中，求出此角的正切值即可解答：解：取ad的中点e，连接be，pe，ce，根据题意可知becd，pbe为异面直线pb与cd所成角根据条件知，pe=1，be=，pebetanpbe=故选c点评：本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及空间图形的三视图等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题9设0，函数y=sin（x+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是( )abcd3考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：计算题；待定系数法分析：求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出的最小值解答：解：将y=sin（x+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2k，即，又因为0，所以k1，故，故选c点评：本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度10已知正方形ap1p2p3的边长为4，点b，c分别是边p1p2，p2p3的中点，沿ab，bc，ca折叠成一个三棱锥pabc（使p1，p2，p3重合于点p），则三棱锥pabc的外接球的体积为( )a24b8c4d4考点：球内接多面体；球的体积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：根据题意，得折叠成的三棱锥pabc三条侧棱pa、pb、pc两两互相垂直，可得三棱锥pabc的外接球的直径等于以pa、pb、pc为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合ap=4、bp=cp=2算出外接球的半径r=，结合球的积公式即可算出三棱锥pabc的外接球的体积解答：解：根据题意，得三棱锥pabc中，ap=2，bp=cp=1pa、pb、pc两两互相垂直，三棱锥pabc的外接球的直径2r=，可得三棱锥pabc的外接球的半径为r=，根据球的体积公式，得三棱锥pabc的外接球的体积为（）3=8，故选：b，点评：本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的表面积公式等知识，属于中档题11设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：当c=0时，有f（x）=f（x）成立；当b=0，c0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称 当x0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是其中正确的命题的序号是( )abcd考点：命题的真假判断与应用 专题：压轴题；函数的性质及应用分析：根据“奇”“偶”=“奇”，“奇”+“奇”=“奇”，可得c=0时函数为奇函数，进而根据奇函数定义可判断；当b=0时，得f（x）=x|x|+c在r上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故正确；利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故正确；当x0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，b取不同值时，函数的最小值可判断解答：解：当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，f（x）=f（x）恒成立，故正确；b=0时，得f（x）=x|x|+c在r上为单调增函数，且值域为r，故方程f（x）=0，只有一个实数根，故正确；对于，因为f（x）=x|x|bx+c，所以f（x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故正确；当x0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，当b0时，f（x）有最小值是，当b0时，f（x）有最小值是c，故不正确故选d点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题12已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在o，a点处取到极值，其中o是坐标原点，a在曲线y=x2sinx+xcosx，x上，则曲线y=f（x）的切线的斜率的最大值是( )abcd考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的综合应用；三角函数的图像与性质分析：由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在o，a点处取到极值，其中o是坐标原点，得到d=0，f（0）=0，f（p）=0，得到c=0，p=，f（x）=3ax23apx，再由a在曲线上，运用两角和的正弦，判断a0，b0得到f（x）f（）=（psinp+cosp），再构造函数g（x）=xsinx+cosx，运用导数求出最大值即可判断解答：解：函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在o，a点处取到极值，其中o是坐标原点，f（0）=0，即d=0，f（x）=ax3+bx2+cx，f（x）=3ax2+2bx+c，f（0）=0，f（p）=0，c=0，p=，f（x）=3ax23apx，设a（p，q），p，q=p2sinp+pcosp=psin（p+），tan=0，且1，（0，），p+（），即q0，f（p）f（0），即f（x）分别在x=0和x=p处取极小值和极大值，则a0，b0f（x）f（），q=f（p）=ap3+bp2=p2sinp+pcosp，ap2+bp=psinp+cosp即bp=3（psinp+cosp），f（）=（psinp+cosp），p，令g（x）=xsinx+cosx，g（x）=xcosx，g（x）=0，x=，g（x）在解答：解：根据题意画出图形，如图所示：联立直线与抛物线解析式得：，解得：或，设函数f（x）=2x2+7x6与g（x）=x的图象所围成封闭图形的面积为s，则s=13dx=（+4x26x）|13=故答案为：点评：此题考查了定积分的运算，考查了数形结合的思想，利用定积分表示封闭图形的面积是解本题的关键15在abc中，tana是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，tanb是以4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，则这个三角形是锐角三角形（从锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中选择）考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列；解三角形分析：由等差数列和等比数列的性质求得角a、b的正切值，判断a，b为锐角，再由两角和的正切求得角c的正切值，判断角c为锐角，则三角形的形状得到判断解答：解：由题意得，即tana=3，a（0，），a为锐角；4=4+4tanb，即tanb=2，b（0，），b为锐角；tanc=tan=tan（a+b）=c（0，），c为锐角abc是锐角三角形故答案为：锐角三角形点评：本题考查了等差数列和等比数列性质的应用，考查了两角和的正切，是基础题16设函数f（x）=（x0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x）=， f3（x）=f（f2（x）=， f4（x）=f（f3（x）=，根据以上事实，由归纳推理可得：当nn*且n2时，fn（x）=f（fn1（x）=考点：归纳推理 专题：函数的性质及应用分析：观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果解答：解：函数f（x）=（x0），观察： f1（x）=f（x）=， f2（x）=f（f1（x）=， f3（x）=f（f2（x）=， f4（x）=f（f3（x）=，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，152n1，第二部分的数分别是2，4，8，162nfn（x）=f（fn1（x）=故答案为：点评：本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙三、简答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设向量，=（cosx，cosx），（1）若，求tanx的值；（2）求函数f（x）=的周期和函数最大值及相应x的值考点：正弦函数的定义域和值域；平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：计算题分析：（1）利用的充要条件得到，化简求出tanx的值；（2）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x），利用周期公式求出周期；利用整体角处理的思路求出函数的最大值解答：解：（1），cosx0，（2）f（x）=，当，即时，f（x）取得最大值，最大值为点评：本题考查向量共线的充要条件、向量的数量积公式；考查求三角函数的性质问题应该先化简三角函数含一个角一个函数名的形式，属于一道中档题18设an为等比数列，且其满足：sn=2n+a（1）求a的值及数列an的通项公式；（2）数列bn的通项公式为，求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和 专题：计算题分析：（1）n=1时，求出a1，n2时，利用an=snsn1可求出数列an的通项公式；（2）根据数列bn的通项公式为可知数列bn的前n项和tn可利用错位相减法进行求解解答：解：（1）n=1时，a1=2+an2时，an=snsn1=2n1an为等比数列a1=2+a=211=1a=1an的通项公式为an=2n1（2）得点评：本题主要考查了数列的通项，以及利用错位相减法进行求和，同时考查了计算能力，属于中档题19如图，在三棱锥vabc中，点e、f分别为vb、vc的中点平面vab平面abc，平面vac平面abc（1）求证：ef平面abc；（2）若二面角cvba为90，且va=bc=ac，求二面角avcb的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得efbc，由此能证明ef平面abc（2）在abc内任取一点o，作omab于m，作onac于n，由已知得vabc，作ahvb于h，作agvc于g，连结gh，得ghvc，agh为二面角avcb的平面角，由此能求出二面角avcb的余弦值解答：（1）证明：点e，f分别为vb、vc的中点，efbc，bc平面abc，ef平面abc，ef平面abc（2）解：在abc内任取一点o，作omab于m，面vab面abc，交线为ab，om面vab，vaom，同理，作onac于n，则vaon，又omon=o，om，on平面abc，va平面abc，vabc，作ahvb于h，二面角cvba为90，平面vbc平面vab，交线为vb，ah平面vbc，bcah，ahva=a，ah，va平面vab，bc平面vab，bcab，bcvb，作agvc于g，连结gh，由三垂线定理的逆定理，得ghvc，agh为二面角avcb的平面角，设ac=2，由va=bc=1，在rtvac中，ac=2，va=1，vc=，=，在rtabc中，ac=2，bc=1，ab=，在rtvab中，va=1，ab=，vb=2，ah=，在rtvgh中，gh=，cosagh=，二面角avcb的余弦值为点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养20在锐角abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，acosc，bcosb，cosa成等差数列（1）求b的值； （2）求的最大值考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由acosc，bcosb，ccosa成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，根据三角形为锐角三角形得到a+c=2b，即可确定出b的度数；（2）原式利用正弦定理化简，由b的度数得到a+c的度数，用a表示出c，代入计算得到一个角的余弦函数，由余弦函数的值域确定出最大值即可解答：解：（1）由题意得：acosc+ccosa=2bcosb，利用正弦定理化简得：sinacosc+cosasinc=2sinbcosb，整理得：sin（a+c）=sin2b，abc为锐角三角形，a+c=2b，b=60；（2）由正弦定理得：=2cos（a60），abc为锐角三角形，0a90，0c90，0120a90，即30a90，30a6030，当a60=0，即a=60时，最大值为2点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键21已知函数f（x）=xln（x+a）（a是常数） （1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n2，nn*时，（1+）（1+）（1+）e考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）函数f（x）=xln（x+a），定义域为x|xa=对a分类讨论即可得出；（2）函数y=f（x）在x=1处取得极值，可得f（1）=0，解得a=0关于x的方程f（x）+2x=x2+b化为x23x+lnx+b=0令g（x）=x23x+lnx+b，（x）利用导数研究其单调性极值与最值，关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，必须满足，解得即可（3）由（1）可知：a=1，函数f（x）在（1，+）上单调递增，可得：当x0时，xln（1+x）令x=（nn*），则利用“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”即可得出解答：解：（1）函数f（x）=xln（x+a），定义域为x|xa=当a1时，f（x）0，函数f（x）在（a，+）上单调递增；当a1时，令f（x）0，解得x1a，此时函数f（x）在（1a，+）上单调递增；令f（x）0，解得ax1a，此时函数f（x）在（a，1a）上单调递减（2）函数y=f（x）在x=1处取得极值，f（1）=0，解得a=0关于x的方程f（x）+2x=x2+b化为x23x+lnx+b=0令g（x）=x23x+lnx+b，（x）=，令g（x）=0，解得x=或1令g（x）0，解得1x2，此时函数g（x）单调递增；令g（x）0，解得x1，此时函数g（x）单调递减关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，则，解得实数b的取值范围是；（3）由（1）可知：a=1，函数f（x）在（1，+）上单调递增，当x0时，xln（1+x）令x=（nn*）则依次取n=2，3，n累加求和可得：+当n2时，=，依次取n=2，3，n则+=+11（1+）（1+）（1+）e点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分一、选修4-1：几何证明选讲22选做题如图所示，ab是o的直径，g为ab延长线上的一点，gcd是o的割线，过点g作ab的垂线，交ac的延长线于点e，交ad的延长线于点f，过g作o的切线，切点为h求证：（）c，d，f，e四点共圆；（）gh2=gegf考点：与圆有关的比例线段；直线与圆的位置关系 专题：证明题；综合题分析：（i）连接bc由已知中ab是o的直径，可得acb=90，由过点g作ab的垂线，交ac的延长线于点e，可得age=90，进而得到fdc=aeg，根据圆内接四边形判定定理，即可得到c，d，f，e四点共圆；（）由（i）中c，d，f，e四点共圆，则gcd和gef分别为圆的两条件割线，则gegf=gcgd，又由已知中gh为圆o的切线，gcd为圆o的割线，由切割线定理可得gh2=gcgd，进而得到结论解答：证明：（）连接bcab是o的直径，acb=90agfg，age=90又eag=bac，abc=aeg又fdc=abc，fdc=aegfdc+cef=180c，d，f，e四点共圆（）gh为o的切线，gcd为割线，gh2=gcgd由c，d，f，e四点共圆，得gce=afe，gec=gdfgcegfd=，即gcgd=gegf，ch2=gegf点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段及圆内接四边形的判定，其中根据圆内接四边形判定定理，判断c，d，f，e四点共圆，是解答本题的关键一、选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，在圆x2+y2=