内蒙古呼伦贝尔市高三数学上学期第一次模拟试卷 文（含解析）.doc

内蒙古呼伦贝尔市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集u=1，2，3，4，0，集合a=1，2，0，b=3，4，0，则（ua）b=( )a0b3，4c1，2d2在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3“a=2”是“直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为 ( )abcd5已知双曲线kx2y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率是( )abcd6执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为( )a2或3b2或3c2d27一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于( )a6b3c2d8已知sin+cos=，则sin2（）=( )abcd9已知直线ax+by+c1=0（b、c0）经过圆x2+y22y5=0的圆心，则的最小值是( )a9b8c4d210已知函数f（x）=asin（x+），xr（其中a0，0，），其部分图象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为( )ag（x）=sin（x+1）bg（x）=sin（x+1）cg（x）=sin（x+1）dg（x）=sin（x+1）11若点p是曲线y=x2lnx上任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为( )ab1cd212四面体abcd的四个顶点都在球o的表面上，ab平面bcd，bcd是边长为3的等边三角形若ab=2，则球o的表面积为( )a8b12c16d32二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13实数x，y满足，则z=xy的最大值是_14甲、乙两个小组各有10名学生，他们的某次数学测试成绩的茎叶图如图所示现从这20名学生中随机抽取一名，则这名学生来自甲小组且成绩不低于85分的概率是_15如图所示，在山腰测得山顶仰角cab=45沿倾斜角为30的斜坡走1000米至s点，又测得山顶仰角dsb=75，则山顶高bc为_米16设f1，f2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，过f2的直线交椭圆于p，q两点，若f1pq=60，|pf1|=|pq|，则椭圆的离心率为_三、解答题（共5小题，满分60分）17设sn为数列an的前n项和，且对任意nn*都有s=（）求数列an的通项公式；（）设，求数列an+bn的前n项和18如图，在三棱锥sabc中，侧面sab与侧面sac均为等边三角形，且边长是，bac=90，o为bc中点（）证明：so平面abc；（）棱sc上是否存在点m使三棱锥maoc的体积是1？并说明理由19某校2015届高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：分组频数频率45，60）20.0460，75）40.0875，90）80.1690，105）110.22105，120）150.30120，135）ab135，15040. 08合计501（1）写出a、b的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135，150中选两位同学，来帮助成绩在45，60）中的某一位同学已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率20已知函数f（x）=ex+ax1（e为自然对数的底数）（）当a=1时，求过点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（）若f（x）x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围21在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：y2=2px（p0），在此抛物线上一点m（2，m）到焦点的距离是3（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线c的准线与x轴交于m点，过m点斜率为k的直线l与抛物线c交于a、b两点是否存在这样的k，使得抛物线c上总存在点q（x0，y0）满足qaqb，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由四、解答题（共3小题，满分30分）选修4-1：几何证明选讲22如图ab为圆o直径，p为圆o外一点，过p点作pcab，垂足为c，pc交圆o于d点，pa交圆o于e点，be交pc于f点（）求证：pfe=pab；（）求证：cd2=cfcp选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线c1的方程为（4sin）=12，定点a（6，0），点p是曲线c1上的动点，q为ap的中点（1）求点q的轨迹c2的直角坐标方程；（2）直线l与直线c2交于a，b两点，若|ab|2，求实数a的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x210（2）若g（x）=|x+3|+m，f（x）g（x）的解集非空，求实数m的取值范围内蒙古呼伦贝尔市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1设全集u=1，2，3，4，0，集合a=1，2，0，b=3，4，0，则（ua）b=( )a0b3，4c1，2d考点：交、并、补集的混合运算 分析：先计算集合cua，再计算（cua）b解答：解：a=1，2，0，b=3，4，0，cua=3，4，（cua）b=3，4故答案选b点评：本题主要考查了集合间的交，补混合运算，较为简单2在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的混合运算 分析：化简复数为a+bi （a、br）的形式，可以确定z对应的点位于的象限解答：解：复数=故选c点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题3“a=2”是“直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案解答：解：当a=2时，l1：2x+y3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：axy+3=0与l2：2x（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=2，或a=1，不是必要条件，故选：a点评：本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题4设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为( )abcd考点：数量积表示两个向量的夹角；单位向量 专题：计算题分析：设与的夹角为，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得=，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角的值解答：解：设与的夹角为，|+|=1，（+）2=2+2+2=1（*）向量、均为单位向量，可得|=|=1代入（*）式，得1+2+1=1=1，所以=根据向量数量积的定义，得|cos=cos=，结合0，得=故选c点评：本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题5已知双曲线kx2y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率是( )abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题设条件知求出渐近线的斜率，利用a，b，c 的关系，求出双曲线的离心率解答：解：双曲线kx2y2=1的渐近线的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，渐近线的斜率为，=，=，e=故选a点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用6执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为( )a2或3b2或3c2d2考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=的值，当y的值为4时，分情况讨论即可解得x的值解答：解：模拟执行程序可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=的值，故当输出值为4时，有：当x1时，1x=4，可解得x=3当x1时，x2=4，可解得x=2，或2（舍去）综上可得输入x的值为2或3故选：b点评：本题主要考查了程序框图和算法，考查了分段函数的求解，模拟执行程序得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查7一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于( )a6b3c2d考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积s=（1+2）2=3，又左视图是等边三角形，高h=，故棱锥的体积v=，故选：d点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键8已知sin+cos=，则sin2（）=( )abcd考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：由条件求得2sincos=，再根据sin2（）=（12sincos），计算求得结果解答：解：sin+cos=，则1+2sincos=，2sincos=sin2（）=（12sincos）=（1+）=，故选：b点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题9已知直线ax+by+c1=0（b、c0）经过圆x2+y22y5=0的圆心，则的最小值是( )a9b8c4d2考点：基本不等式；圆的一般方程 专题：计算题；直线与圆分析：将圆化成标准方程可得圆心为c（0，1），代入题中的直线方程算出b+c=1，从而化简得=+5，再根据基本不等式加以计算，可得当b=且c=时，的最小值为9解答：解：圆x2+y22y5=0化成标准方程，得x2+（y1）2=6，圆x2+y22y5=0的圆心为c（0，1），半径r=直线ax+by+c1=0经过圆心c，a0+b1+c1=0，即b+c=1，因此，=（b+c）（）=+5，b、c0，2=4，当且仅当时等号成立由此可得当b=2c，即b=且c=时，=+5的最小值为9故选：a点评：本题给出已知圆的圆心在直线ax+by+c1=0上，在b、c0的情况下求的最小值着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题10已知函数f（x）=asin（x+），xr（其中a0，0，），其部分图象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为( )ag（x）=sin（x+1）bg（x）=sin（x+1）cg（x）=sin（x+1）dg（x）=sin（x+1）考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的图象的顶点坐标求出a，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，得出结论解答：解：由函数的图象可得a=1，t=1（1）=2，=再由五点法作图可得，（1）+=0，=，函数f（x）=sin（x+）将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，可得函数y=sin（x+）的图象；再向右平移1个单位得到g（x）=sin（x1）+=sin（x+）的图象，故 函数g（x）的解析式为 g（x）=sin（x+1），故选：b点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题11若点p是曲线y=x2lnx上任意一点，则点p到直线y=x2的最小距离为( )ab1cd2考点：点到直线的距离公式 专题：转化思想；导数的综合应用分析：由题意知，当曲线上过点p的切线和直线y=x2平行时，点p到直线y=x2的距离最小求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x2的距离即为所求解答：解：点p是曲线y=x2lnx上任意一点，当过点p的切线和直线y=x2平行时，点p到直线y=x2的距离最小直线y=x2的斜率等于1，令y=x2lnx，得 y=2x=1，解得x=1，或x=（舍去），故曲线y=x2lnx上和直线y=x2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x2的距离等于，点p到直线y=x2的最小距离为，故选：c点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题12四面体abcd的四个顶点都在球o的表面上，ab平面bcd，bcd是边长为3的等边三角形若ab=2，则球o的表面积为( )a8b12c16d32考点：球的体积和表面积 专题：球分析：取cd的中点e，连结ae，be，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积解答：解：取cd的中点e，连结ae，be，在四面体abcd中，ab平面bcd，bcd是边长为3的等边三角形rtabcrtabd，acd是等腰三角形，bcd的中心为g，作ogab交ab的中垂线ho于o，o为外接球的中心，be=，bg=，r=2四面体abcd外接球的表面积为：4r2=16故选：c点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13实数x，y满足，则z=xy的最大值是3考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=xy为直线方程斜截式y=xz，由图可知，当直线y=xz过a（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为30=3故答案为：3点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14甲、乙两个小组各有10名学生，他们的某次数学测试成绩的茎叶图如图所示现从这20名学生中随机抽取一名，则这名学生来自甲小组且成绩不低于85分的概率是考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，得出基本事件数，应用古典概型的概率计算公式进行计算即可解答：解：根据题意，得；从这20名学生中随机抽取1名，基本事件数是20；这名学生来自甲小组且成绩不低于85分基本事件是：85、86、86、87、90共5种；所求的概率是p=故答案为：点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了古典概型的概率的计算问题，是基础题目15如图所示，在山腰测得山顶仰角cab=45沿倾斜角为30的斜坡走1000米至s点，又测得山顶仰角dsb=75，则山顶高bc为1000米考点：正弦定理 专题：计算题分析：作出图形，过点s作seac于e，shab于h，依题意可求得se在bds中利用正弦定理可求bd的长，从而可得山顶高bc解答：解：依题意，过s点作seac于e，shab于h，sae=30，as=1000米，cd=se=assin30=500米，依题意，在rthas中，has=4530=15，hs=assin15，在rtbhs中，hbs=30，bs=2hs=2000sin15，在rtbsd中，bd=bssin75=2000sin15sin75=2000sin15cos15=1000sin30=500米bc=bd+cd=1000米故答案为：1000点评：本题考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题16设f1，f2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，过f2的直线交椭圆于p，q两点，若f1pq=60，|pf1|=|pq|，则椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过f1pq=60，|pf1|=|pq|，可得直线pq过右焦点f2且垂直于x轴，从而f1pq为等边三角形，f1pf2为直角三角形，计算即可解答：解：过f2的直线交椭圆于p，q两点，若f1pq=60，|pf1|=|pq|，直线pq过右焦点f2且垂直于x轴，即f1pq为等边三角形，f1pf2为直角三角形，f1p+f1q+pq=4a，f1p+pf2=2a，又f1p=2pf2，f1f2=2c，f1p=，pf2=，由勾股定理，得，即a2=3c2，e=，故答案为：点评：本题考查椭圆的简单性质，勾股定理，挖掘隐含信息“直线pq过右焦点f2且垂直于x轴”是解决本题的关键，属于中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17设sn为数列an的前n项和，且对任意nn*都有s=（）求数列an的通项公式；（）设，求数列an+bn的前n项和考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；（2）=n，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1），当n=1时，=，解得，当n2时，得，化为，数列an是等比数列，公比为，首项为，（2 ）=n，an+bn=n+数列an+bn的前n项和=+=+点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，在三棱锥sabc中，侧面sab与侧面sac均为等边三角形，且边长是，bac=90，o为bc中点（）证明：so平面abc；（）棱sc上是否存在点m使三棱锥maoc的体积是1？并说明理由考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：证明题；探究型；空间位置关系与距离分析：（）连接oa，由题意可得sobc，aobc，可得bo=ao=co=so=2，在soa中，ao2+so2=sa2，由勾股定理可得sooa，又aobc=o，从而可证so平面abc（）设m是满足条件的一点，向oc引垂线，交oc于点n，则mn平面coa，由（）可求saoc，由1=saocmn，解得mn的值，从而得解解答：（本题满分12分）证明：（）连接oa，侧面sab与侧面sac均为等边三角形，且边长是，bac=90，o为bc中点可得sobc，aobc，可得bo=ao=co=so=2，由soa中，ao2+so2=sa2，可得sooa，又aobc=o，so平面abc（）解：在棱sc上是否存在点m（mc=）使三棱锥maoc的体积是1，证明如下：设m是满足条件的一点，向oc引垂线，交oc于点n，则mn平面coa，即mn是三棱锥maoc的一高因为由（）可知：saoc=ocoa=2，所以要使三棱锥maoc的体积是1，则有：1=saocmn，从而解得：mn=所以可求得：cm=故棱sc上是否存在点m（当cm=时）使三棱锥maoc的体积是1点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查19某校2015届高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：分组频数频率45，60）20.0460，75）40.0875，90）80.1690，105）110.22105，120）150.30120，135）ab135，15040.08合计501（1）写出a、b的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135，150中选两位同学，来帮助成绩在45，60）中的某一位同学已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率考点：等可能事件的概率；频率分布表 专题：计算题分析：（1）频率总数是1，所以所缺少的频率b=1（0.04+0.08+0.16+0.22+0.30+0.08）；再根据公式：频率=求a；（2）成绩在1以上的有6+4=10人，所以估计该校文科生数学成绩在1以上的学生的人数即可；（3）列举出所有的二帮一小组的情况，列出a1、b1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的情况；利用古典概型的概率公式求出a1、b1两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率解答：解：（1）频率总数是1，所以所缺频率b=1（0.04+0.08+0.16+0.22+0.30+0.08）=0.12第6行的频数=500.12=6；a、b的值分别为：6、0.12（2）成绩在1以上的有6+4=10人，所以估计该校文科生数学成绩在1以上的学生有：人（3）45，60）内有2人，记为甲、a135，150内有4人，记为乙、b、c、d法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙b，acd）、（甲乙c，abd）、（甲乙d，abc）、（甲bc，a乙d）、（甲bd，a乙c）、（甲cd，a乙b）其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙b，acd）、（甲乙c，abd）、（甲乙d，abc）所以甲、乙分到同一组的概率为点评：本题考查读频数分布表能力和频数与频率的求算方法以及它们之间的关系利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题统计中常用的公式：频率=、解决事件的概率问题，关键是弄清事件属于的概率模型，然后，选择合适的概率模型公式20已知函数f（x）=ex+ax1（e为自然对数的底数）（）当a=1时，求过点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（）若f（x）x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题 专题：导数的综合应用分析：（i）当a=1时，f（x）=ex+x1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f（1）处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点a、b，利用直角三角形的面积公式即可求得；（ii）将f（x）x2在（0，1 ）上恒成立利用参变量分离法转化为在（0，1 ）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a的取值范围解答：解：（i）当a=1时，f（x）=ex+x1，f（1）=e，f（x）=ex+1，f（1）=e+1，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为ye=（e+1）（x1），即y=（e+1）x1，设切线与x轴、y轴的交点分别为a、b，a，b（0，1），过点（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ii）由f（x）x2得，令h（x）=，令k（x）=x+1exk（x）=1ex，x（0，1），k（x）0，k（x）在（0，1）上是减函数，k（x）k（0）=0因为x10，x20，所以，h（x）在（0，1）上是增函数所以h（x）h（1）=2e，所以a2e点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，解决函数恒成立问题常常利用参变量分离法求出参数范围，属于中档题21在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：y2=2px（p0），在此抛物线上一点m（2，m）到焦点的距离是3（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线c的准线与x轴交于m点，过m点斜率为k的直线l与抛物线c交于a、b两点是否存在这样的k，使得抛物线c上总存在点q（x0，y0）满足qaqb，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出抛物线的方程（2）设q（x0，y0），a（x1，y1），b（x2，y2）由，得ky24y+4k=0，从而得到，由此能求出k的取值范围解答：（本题满分14分）解：（1）抛物线c：y2=2px（p0），在此抛物线上一点m（2，m）到焦点的距离是3抛物线准线方程是，解得p=2抛物线的方程是y2=4x（2）设q（x0，y0），a（x1，y1），b（x2，y2）由，得ky24y+4k=0，由，得1k1且k0，y1y2=4，同理，由qaqb，得，即：，得且k0，由1k1且k0，得k的取值范围为点评：本题考查抛物线方程的求法，考查斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合理运用四、解答题（共3小题，满分30分）选修4-1：几何证明选讲22如图ab为圆o直径，p为圆o外一点，过p点作pcab，垂足为c，pc交圆o于d点，pa交圆o于e点，be交pc于f点（）求证：pfe=pab；（）求证：cd2=cfcp考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：（）在rtacp中，pac=90p；在rtpef中，pfe=90p，即可证明：pfe=pab；（）证明bcfpca，即可证明cd2=cfcp解答：证明：（）ab为直径，e在圆o上，beae pcab，pac=90p，pfe=90p，p