拉格朗日插值多项式与泰勒多项式的误差分析详全文.doc

i. 拉格朗日插值多項ii. 式與泰勒多項式的誤差分析iii. 朱亮儒 曾政清 陳昭地iv. 國立臺灣師範大學數學系教授v. 臺北市立建國高級中學數學教師vi.vii. 摘要：本文旨於提供拉格朗日插值多項式與泰勒多項式誤差項估計值的初等簡易證明，並探討其應用價值。viii. 關鍵字：拉格朗日插值多項式、泰勒多項式、誤差項ix. 一引言x. 有鑑於教育部99普通高級中學數學課綱在第一冊多項式的運算為迴避解三元一次方程組，首次出現插值多項式及其應用(以不超過三次插值多項式為限)（123），99數學課綱包含插值多項式部分如下：xi. 求xii.xiii.xiv. 中的.xv. 除以的餘式為通過的插值多項式。xvi. 若有兩實根，則可寫成的型式。xvii. 透過因式定理證明插值多項式的唯一性。xviii. 設通過的多項式為，求及.xix. 插值多項式：通過的多項式可表示為xx. ，xxi. 求的值。xxii. 此處暫不處理下面的題型：設通過的多項式為,求。此類題型將在數學的IV的聯立方程組章節中處理。xxiii. 此處自然而然讓人想到拉格朗日(Lagrange, J. L., 1736-1816)其人奇事，羅列如下：xxiv. 他出生於義大利西北部的杜林(Turin)，從小就極有數學天分，於18歲開始撰寫數學論文，在數論上曾提出一個著名的定理：任意正整數都可以表成四個平方數的和。xxv. 他是第一位證明均值定理(The Mean Value Theorem)的大數學家。(均值定理在高三選修甲微分的單元中會學到（4），它是僅次於微積分基本定理的極重要的存在定理)xxvi. 他在30歲時，應腓特烈二世的邀請到柏林作為其宮廷數學大師長達20年之久。xxvii. 之後接受法國的邀請，到巴黎擔任法國科學院院士，拿破崙（1769-1821, 1804-1815擔任法皇）讚譽他為數學科學的巍峨金字塔xxviii. 泰勒定理有拉格朗日誤差的公式（存在性）。xxix. 拉格朗日恆等式：xxx. ，xxxi. ，xxxii. .xxxiii. 具有附加條件的多變數實函數極值拉格朗日乘子定理。xxxiv. 最得意的巨著分析力學。xxxv. 拉格朗日差值誤差公式（5）：若為區間中相異實數，且,則對每一個，存在,使得xxxvi. ,xxxvii. 其中為函數在的階拉格朗日插值多項xxxviii. 式，而為其插值誤差式。xxxix. 美國早期數學家泰勒(Taylor, B, 1685-1731)在1715年出版的研究報告中，曾對多項式近似超越函數有精準的描述。當時他提出的泰勒級數展開式雖然符合時代的需求，但並未涉及收斂性的問題，有關餘式則是之後由拉格朗日所提供(稱為：拉格朗日餘式型)；而柯西(Cauchy, A. L., 1789-1857)在此之後又提供了兩個餘式型，分別稱為：柯西餘式型與柯西積分餘式型(6,7,8,9)。本文即欲介紹這些餘式型誤差項的初等證明及一些相關應用。xl. 二拉格朗日插值多項式誤差項估計xli. 首先，重述一遍定理：xlii. 定理1.拉格朗日插值多項式誤差估計(5)xliii. 設為區間上的相異實數，(即在上連續)，則對每一，存在使得xliv.xlv. 其中為函數在點的階拉格朗日多項式，而xlvi. 為插值多項式的誤差式。xlvii. 證明：當時，此時可任取都成立。xlviii. 當時，設定義成xlix.l. 則，且，逐次利用Rolle定理知存在使得。又對任意，li. 且，於是可得lii.liii. 即。liv. 由定理1可以得到下面的推論：lv. 推論1-1：lvi. (1)當時，在上連續，故有一使lvii. ，故。lviii. (2)當一開始就是次的多項式函數時，則對內任一大於或等於lix. 階以上的拉格朗日多項式就是函數本身。lx. 在數值分析中，拉格朗日插值多項式誤差公式具有關鍵性的角色。lxi. 三泰勒定理lxii. 利用完全平行於定理1的證明方法，我們可用來證明拉格朗日餘式型的泰勒定理，其定理與證法如下：lxiii. 定理2.泰勒定理(拉格朗日餘式型)：lxiv. 設，則對每一存在使得lxv. ，lxvi. 其中，為在點的階泰勒多項式，lxvii. 為用表示的誤差項。lxviii. 證法(一)(完全平行於定理1)如下： lxix. 當時，可任取為內的任一數都成立。lxx. 當時，設定義成lxxi.lxxii. 則且，lxxiii. 逐次用Rolle定理知存在使得。lxxiv. 又對任意，lxxv.lxxvi. 且，於是可得lxxvii. 。lxxviii. 證法(二)(68)：lxxix. 設實數滿足lxxx.lxxxi. 並設函數定義成lxxxii.lxxxiii. 依之假設知為連續且在內可微分，顯然且由實數之定義知；於是由Rolle定理知之間有一使得。但lxxxiv.lxxxv. ，lxxxvi. 於是，由得，故知，得證。lxxxvii. 同樣地，由定理2我們可以得到如下的推論。lxxxviii. 推論1-2：lxxxix. (1)當時，在上連續，故有一使xc. ，故。xci. (2)當是次的多項式時，由,，故知的xcii. 任一大於或等於階的泰勒多項式就是函數本身。xciii. 定理2.可用來證明下列的冪級數表示超越函數的漂亮結果：xciv. (1)xcv. (2)xcvi. (3)xcvii. 定理3泰勒定理（柯西餘式型）：xcviii. 設，則對每一存在使得xcix. ，c. 其中，為在點的階泰勒多項式，ci. 為誤差項cii. 證明：（底下的證明完全平行於定理2的證法(二)）ciii. 設實數滿足civ. ，cv. 並設函數定義成cvi. ，cvii. 則為連續且在內可微分。cviii. 顯然，且由實數之定義知，於是由Rolle定理知cix. 之間有一使得。cx. 但cxi. cxii. 於是，由得cxiii.cxiv. 故知，得證。cxv. 定理4泰勒定理(柯西積分餘式型)cxvi. 設，則對每一 cxvii. ()cxviii. 其中，cxix. 證明：利用微積分基本定理，cxx.cxxi. 再由分部積分法，得cxxii.cxxiii. cxxiv. cxxv. 故知時，公式()成立。cxxvi. 利用數學歸納法，設, ()在成立，而cxxvii.cxxviii.cxxix. cxxx. 於是()在時亦成立，得證。cxxxi. 事實上，由定理4之cxxxii.cxxxiii. 利用連續函數之積分均值定理知有一使得cxxxiv.cxxxv. 。cxxxvi. 即，故知定理3的柯西餘式型的泰勒定理為柯西積分餘式型的直接結果。甚至，再利用下面的引理(一般化的積分均值定理)：cxxxvii. 引理：cxxxviii. 設都是連續，且對每一，則存在一點使得cxxxix.cxl. 可推得拉格朗日餘式型的泰勒氏定理(不妨設)：cxli.cxlii. ()cxliii. cxliv. cxlv. 四結論cxlvi. 本文最後主要的結論如下：cxlvii. 一、拉格朗日不但提供了他本身的插值多項式誤差項的初等令人深刻印象的證法，也同時解決了拉格朗日餘式型的泰勒多項式誤差項的公式，手法值得讚賞，並可輕易以多項式函數逼近超越函數。cxlviii. 二、拉格朗日餘式型的泰勒定理，可以推廣到多變數實函數的泰勒定理(7)。cxlix. 三、拉格朗日餘式型的泰勒定理有三種證法，而柯西餘式型的泰勒定理也有兩種cl. 證法，都是在寫這篇文章的意外收穫。cli. 四、柯西餘式型和柯西積分餘式型的泰勒定理，形式證明也都很初等，它對於牛頓的二項級數(為任意實數)的正確性提供了拉格朗日餘式型無法單獨承擔的完整證明(6,7,8)。clii. 在拉格朗日插值多項式被引入高中數學課綱(3)，加之以拉格朗日的均值定理(4)，甚至一般化的超廣義均值定理拉格朗日餘式型泰勒定理也將是選修cliii. 微積分(2)必然會接觸到的問題。它提供了等初等超越函數的泰勒級數表示，大大拓展了多項式微積分的應用範疇，值得學習。cliv. 五參考資料clv. 1. 教育部(民98)。普通高級中學必修科目數學課程綱要。clvi. 2. 教育部(民98)。普通高級中學選修科目數學課程綱要。clvii. 3. 李虎雄、陳昭地、朱亮儒等(民99)。普通高級中學數學第一冊，康熹文化事業股份有限公司出版。clviii. 4. 李虎雄、陳昭地、朱亮儒等(民99)。高中選修數學(II)，康熹文化事業股份有限公司出版。clix. 5. 朱亮儒、陳材河(民99年7月9日)，99課程中的Lagrange插值多項式電子報專刊，高中數學電子報第47期。clx. 6. 陳昭地、顏啟麟(民67)。數學分析，汝旭圖書公司印行。clxi. 7. 張幼賢、陳火炎、陳昭地(民100年4月)。二項級數之教學研究，教育部高中數學學科中心電子報54期，http: