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文档简介
专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分(a卷)一、选择题(每题5分,共50分)1、(2015海南省高考模拟测试题3)若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是()a. 4b. c. 2 d. 2.(2015河北省唐山市高三第三次模拟考试12)3(2015哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试12)定义在上的单调函数,则方程的解所在区间是( )a.b.c. d. 4(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试10)若函数=的图像关于直线=2对称,则的最大值是()abcd5(2015开封市高三数学(理)冲刺模拟考试10)已知函数f(x)=exmx+1的图象为曲线c,若曲线c存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是( )ab (,+)c d 6(2015佛山市普通高中高三教学质量检测(二)4)不可能为直线作为切线的曲线是( )abc d7. (2015海淀区高三年级第二学期期末练习7)已知是定义域为的偶函数,当时,.那么函数的极值点的个数是( )(a)5(b)4(c)3(d)28(2015丰台区学期统一练习二3)直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )(a) (b) (c) (d) 9(2015合肥市高三第三次教学质量检测10)定义在上的函数满足:且,其中是的导函数,则不等式的解集为()abcd10. (2015.怀化市高三第二次模考9) 定义在上的函数满足:,是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为()abcd二、非选择题(50分)11. (2015济南市高三教学质量调研考试14)已知正方形abcd,m是dc的中点,由确定的值,计算定积分_.12. (2015青岛市高三自主诊断试题14)若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ;13函数在区间上存在极值点,则实数的取值范围为 14(2015苏锡常镇四市高三数学调研(二模)14)已知a,br,a0,曲线y=,y=ax+2b+1,若两条曲线在区间3,4上至少有一个公共点,则a2+b2的最小值为 15.(2015.山师附中第七次模拟11)由所围成的封闭图形的面积为_.16. (2015山东省实验中学高三第三次诊断考试20.)(本题满分12分)已知函数.(i)求函数的单调区间;(ii)若函数在区间上不是单调函数,求实数t的取值范围;(iii)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.17. (2015扬州中学第二学期开学检测20)(本小题满分13分)已知函数,(1)记,求在的最大值;(2)记,令,当时,若函数的3个极值点为,()求证:;()讨论函数的单调区间(用表示单调区间)专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分(a卷)答案与解析1.【答案】d【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义,直线与圆的位置关系,基本不等式【解析】由于f(x)=eax,故k=f(0)=,又f(0)=,则对应的切线方程为y+=x,即ax+by+1=0,而切线与圆x2+y2=1相切,则有d=r=1,即a2+b2=1,故有a+b=,当且仅当a=b=时等号成立2.【答案】c 【命题立意】本题重点考查图象的对称性,利用导数研究函数的单调性,难度较大.【解析】由题意知,将代入其方程,其表达式不变,所以曲线关于原点和直线以及轴对称,所以正确,错误,根据对称性,因为曲线与两坐标轴交点处的四条线段长为,而曲线是两坐标轴交点处弧长,所以,故正确,曲线到原点的距离的平方为,由,得,所以,设则,当时,当时,所以当时,得.3.【答案】c【命题立意】本题旨在考查导数,函数零点存在性定理。【解析】根据题意,对任意的 ,都有 ,又由f(x)是定义在上的单调函数,则为定值,设 ,则 ,又由f(t)=3,即log 2 t+t=3,解可得,t=2;则 , 。因为 ,所以即 ,令 ,因为 , ,所以 的零点在区间 ,即方程 的解所在的区间是 。4.【答案】d【命题立意】本题主要考查函数最值的区间,根据对称性求出a,b的值,利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识,综合性较强,难度较大.【解析】f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=2对称,f(1)=f(3),f(-1)=f(5),即,解得a=-8,b=15,即f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15,则f(x)=-4x3+24x2-28x-8=-4(x-2)(x2-4x-1),由f(x)=0,解得x=2或x=2+或x=2-,由f(x)0,解得2x2+或x2-,此时函数单调递增,由f(x)0,解得2-x2或x2+,此时函数单调递减,作出对应的函数图象如图:则当x=2+或2+时,函数f(x)取得极大值同时也是最大值,f(2+)=16.5.【答案】b【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义,导数及其应用【解析】由题可得f(x)=exm,由于曲线c存在与直线y=ex垂直的切线,则exm=有解,即m=ex+,而ex0,故m6.【答案】b【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义以及导数的计算【解析】对于b选项:的最大值为1,所以不存在斜率为的切线故选:b7.【答案】c【命题立意】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性.【解析】当时,解,得.因为时,;时,;时,.则在区间上单调递减,在区间上单调递增.又因为是定义域为的偶函数,由其对称性可得,在区间上单调递减,在区间上单调递增.所以函数在出取得极值.8.【答案】c【命题立意】考查用定积分求面积,考查转化能力,容易题【解析】因为的解为或,所以封闭图形的面积为9.【答案】a【命题立意】本题重点考查对数的运算法则以及利用导数研究函数的单调性,难度较大【解析】因为,所以,即,设,则,因为,所以,在上为单调递增函数,又因为,所以10.【答案】a【命题立意】本题旨在考查函数与导数的关系,不等式的解法【解析】设g(x)=exf(x)-ex,(xr),则g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1,f(x)1-f(x),f(x)+f(x)-10,g(x)0,y=g(x)在定义域上单调递增,exf(x)ex+5,g(x)5,又g(0)=e0f(0)-e0=6-1=5,g(x)g(0),x0,不等式的解集为(0,+),故选:a 11.【答案】【命题立意】本题旨在考查平面向量的基本运算,定积分的运算【解析】如图,=,12.【答案】【命题立意】本题考查了正弦型函数的图象、定积分的几何意义及曲边梯形的面积.【解析】由图象可知,图中其与轴的交点横坐标为,所以图中的阴影部分的面积为.【易错警示】用定积分计算平面区域的面积,确定被积函数是解决问题的关键.通常,先画出它的草图,再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限.被积函数一般转化为上方函数与下方函数的差.13.【答案】;【命题立意】本题考查函数的极值,方法是借助函数的导数求出函数的极值点判断出函数的单调区间. 【解析】函数的导数为,令,则或,当时单调递减,当和时单调递增和是函数的极值点,因为函数在区间上存在极值点,所以或或.14.【答案】【命题立意】本题旨在考查点到直线的距离公式、基本不等式、函数的单调性【解析】由=ax+2b+1,整理可得ax2+(2b+1)xa2=0,那么两条曲线在区间3,4上至少有一个公共点可转化为方程ax2+(2b+1)xa2=0在区间3,4上至少有一个实根,进而把等式看成关于a、b的直线方程:(x21)a+2xb+x2=0,而直线上一点(a,b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离,即=,那么只要求f(x)=,x3,4时的最小值即可,令u=x2,则u1,2,那么f(u)=,又g(u)=u+1,2上为增函数,则u=1时,即x=3时,f(x)取得最小值,此时a2+b2的最小值为15.【答案】【命题立意】本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义.【解析】由函数图象知,由所围成的封闭图形的面积为=.16.【答案】(i)在上单调递增,在上单调递减(ii)(iii) 【命题立意】本题考查了利用导数判断函数的单调性、最值,函数恒成立问题.【解析】(1),解,得;解,得;所以在上单调递增,在上单调递减(2)因为函数在区间上不是单调函数,所以,解得(3)不等式恒成立,即恒成立,令,则令,则,在上单调递增,,从而,所以在上单调递增,且,所以.17.【答案】(1) 当时, 当时, ;(2)略;函数的单调递增区间是,单调递减区间是.【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的最值,证明不等式以及求函数的单调区间.【解析】(1)() 2分令,得, 3分列表如下:0递减极小值递增 易知而所以当时, 当时, 5
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