内蒙古巴彦淖尔一中高二数学上学期期中试卷 理（普通班含解析）.doc

2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高二（上）期中数学试卷（理科）（普通班）一、选择题（5分12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.1“a=1”是“a2=1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件2求经过圆x2+2x+y2=0的圆心g，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）axy+1=0bxy1=0cx+y1=0dx+y+1=03若椭圆+=1与双曲线=1有相同的焦点，则a的值是（）a1b1c1d24已知椭圆上的一点p到椭圆一个焦点的距离为3，则p到另一焦点距离为（）a9b7c5d35已知双曲线（a0，b0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）ay=by=cy=dy=6设过点（0，b）且斜率为1的直线与圆x2+y2+2x=0相切，则b的值为（）a2b22c1d17已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）a1bcd8在长方体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（）a+b +c+d+9如图，在正方体abcda1b1c1d1中，若e是ad的中点，则异面直线a1b与c1e所成角的大小是（）abcd10已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦等于（）abcd11抛物线y2=4x的焦点为f，准线l交x轴于r点，过抛物线上一点p（4，4）作pql于q，则梯形pqrf的面积为（）a12b14c16d1812已知f1（c，0），f2（c，0）为椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）abcd二、填空题（5分4=20分）13在空间直角坐标系中，以点a（4，1，9），b（10，1，6），c（x，4，3）为顶点的abc是以bc为底边的等腰三角形，则实数x的值为14已知p：3m5，q：方程表示双曲线，则p是q的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）15已知抛物线y2=4x，过点p（4，0）的直线与抛物线相交于a（x1，y1），b（x2，y2）两点，则y12+y22的最小值是16已知f1、f2是双曲线的两焦点，过f2且垂直于实轴的直线交双曲线于p、q两点，pf1q=60，则离心率e=三、解答题17已知p：“直线x+ym=0与圆（x1）2+y2=1相交”；q：“方程x2x+m4=0的两根异号”若pq为真，p为真，求实数m的取值范围18斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于a，b两点，求线段ab的长19已知双曲线c的焦点为f1（2，0），f2（2，0），且离心率为2；（）求双曲线的标准方程；（）若经过点m（1，3）的直线l交双曲线c于a，b两点，且m为ab的中点，求直线l的方程20如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是正方形，sa底面abcd，sa=ab，点m是sd的中点，ansc，且交sc于点n（）求证：sb平面acm；（）求证：平面sac平面amn；（）求二面角dacm的余弦值21已知椭圆c： =1（ab0），过点离心率，（1）求椭圆方程；（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆c交于a、b两点，且以ab为直径的圆过原点，试求直线l的方程22已知抛物线c：y2=4x，p为c上一点且纵坐标为2，q，r是c上的两个动点，且pqpr（1）求过点p，且与c恰有一个公共点的直线l的方程；（2）求证：qr过定点2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高二（上）期中数学试卷（理科）（普通班）参考答案与试题解析一、选择题（5分12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.1“a=1”是“a2=1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a2=1得a=1或1，则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件，故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础2求经过圆x2+2x+y2=0的圆心g，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）axy+1=0bxy1=0cx+y1=0dx+y+1=0【考点】圆的一般方程【专题】直线与圆【分析】将圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1求其圆心g（1，0），根据直线垂直的斜率关系，求出与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，根据点斜式即可写出所求直线方程【解答】解：圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1圆心g（1，0），直线x+y=0的斜率为1，与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，由点斜式方程可知，所求直线方程为y=x+1，即xy+1=0，故选：a【点评】本题考查圆的标准方程和直线的点斜式方程的应用，属于基础题3若椭圆+=1与双曲线=1有相同的焦点，则a的值是（）a1b1c1d2【考点】圆锥曲线的共同特征【专题】计算题【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到m，b的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆及双曲线的方程【解答】解：由题意可知椭圆的半焦距c的平方为：c2=4a2双曲线的半焦距c的平方为：c2=a+2；4a2=a+2，解得：a=1（负值舍去）故选a【点评】此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键4已知椭圆上的一点p到椭圆一个焦点的距离为3，则p到另一焦点距离为（）a9b7c5d3【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义【专题】综合题【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到p到两焦点的距离之和，由p到一个焦点的距离为3，求出p到另一焦点的距离即可【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点p到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点p到另一焦点的距离为2a3=103=7故选b【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题5已知双曲线（a0，b0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）ay=by=cy=dy=【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的标准方程，得焦点坐标为f（4，0），也是双曲线的右焦点，得c=4根据双曲线的离心率为2，得a=c=1，从而得到b=，结合双曲线的渐近线方程公式，可得本题的答案【解答】解：抛物线y2=16x的焦点坐标为f（4，0），双曲线一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，双曲线右焦点为f（4，0），得c=2双曲线的离心率为2，=2，得c=2a=2，a=1，由此可得b=，双曲线的渐近线方程为y=x已知双曲线的渐近线方程为y=x故选d【点评】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了抛物线和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题6设过点（0，b）且斜率为1的直线与圆x2+y2+2x=0相切，则b的值为（）a2b22c1d1【考点】圆的切线方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】将圆化成标准方程得（x+1）2+y2=1，得到圆心为c（1，0）且半径r=1将过点（0，b）且斜率为1的直线化成一般方程得xy+b=0，结合题意由点到直线的距离公式建立关于b的等式，解之即可得到b【解答】解：直线过点（0，b）且斜率为1，设直线为l，得其方程为y=x+b，即xy+b=0，圆x2+y2+2x=0化成标准方程，得（x+1）2+y2=1，圆x2+y2+2x=0的圆心为c（1，0），半径r=1，由直线l与圆相切，可得点c到直线l的距离等于半径，即=1，解之得b=1故选：c【点评】本题给出斜率为1且过点（0，b）的直线与已知圆相切，求参数b的值，着重考查了直线的方程、圆的方程与直线与圆的位置关系等知识，属于中档题7已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）a1bcd【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】根据题意，易得k+，2的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k1）+2k22=0，解可得k的值，即可得答案【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（1，0，2）=（k1，k，2），2=2（1，1，0）（1，0，2）=（3，2，2）两向量垂直，3（k1）+2k22=0k=，故选d【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法8在长方体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（）a+b +c+d+【考点】相等向量与相反向量【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用；空间向量及应用【分析】利用向量的三角形法则与平行四边形法则即可得出【解答】解： =+=+=，故选：c【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9如图，在正方体abcda1b1c1d1中，若e是ad的中点，则异面直线a1b与c1e所成角的大小是（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】先将异面直线c1e放在一个面ac1内，再证明另一直线a1b与该平面垂直，即可证得两异面直线a1b与c1e垂直，从而两异面直线所成角为90【解答】解：如图，连接ab1，dc1，易证a1b面ac1，而c1e面ac1，a1bc1e，故选d【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题10已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦等于（）abcd【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；压轴题【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取a1c1的中点d1，b1ad1是所求的角，再由已知求出正弦值【解答】解：取a1c1的中点d1，连接b1d1，ad1，在正三棱柱abca1b1c1中，b1d1面acc1a1，则b1ad1是ab1与侧面acc1a1所成的角，正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等，故选a【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是基础题11抛物线y2=4x的焦点为f，准线l交x轴于r点，过抛物线上一点p（4，4）作pql于q，则梯形pqrf的面积为（）a12b14c16d18【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】求梯形pqrf的面积，关键是确定梯形的上底，下底，及高的长，利用抛物线的定义即可求得【解答】解：抛物线方程为y2=4x，焦点为f，准线l交x轴于r点抛物线的准线方程为：x=1，fr=2过抛物线上一点p（4，4）作pql于q|qr|=4，|pq|=5梯形pqrf的面积为故选b【点评】本题考查梯形的面积，解题的关键是利用抛物线的几何性质，正确运用梯形的面积公式12已知f1（c，0），f2（c，0）为椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）abcd【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设p（m，n ），由得到n2=2c2m2 把p（m，n ）代入椭圆得到 b2m2+a2n2=a2b2 ，把代入得到 m2 的解析式，由m20及m2a2求得的范围【解答】解：设p（m，n ），=（cm，n）（cm，n）=m2c2+n2，m2+n2=2c2，n2=2c2m2 把p（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2 ，把代入得m2=0，a2b22a2c2， b22c2，a2c22c2， 又 m2a2，a2，0，故a22c20，综上，故选：c【点评】本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题二、填空题（5分4=20分）13在空间直角坐标系中，以点a（4，1，9），b（10，1，6），c（x，4，3）为顶点的abc是以bc为底边的等腰三角形，则实数x的值为2或6【考点】空间两点间的距离公式【专题】计算题【分析】根据abc是以bc为斜边的等腰三角形，得到两条腰的长度相等，根据两点之间的距离公式写出关于x的等式，解方程即可【解答】解：点a（4，1，9），b（10，1，6），c（x，4，3）为顶点的abc是以bc为底边的等腰三角形，|ab|=|ac|，4=（4x）2x=2或x=6故答案为：2或6【点评】本题考查空间中两点之间的距离公式，本题是一个基础题，这种题目若出现就是一个送分题目，同学们在解题过程中认真做出数字，就不会出错14已知p：3m5，q：方程表示双曲线，则p是q的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】规律型【分析】结合双曲线的方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若方程表示双曲线，则（m2）（m5）0，解得2m5，即q：2m5，p：3m5，p是q的充分不必要，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的方程形式是求出q的等价条件是解决本题的关键，比较 基础15已知抛物线y2=4x，过点p（4，0）的直线与抛物线相交于a（x1，y1），b（x2，y2）两点，则y12+y22的最小值是32【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；压轴题【分析】先根据点p设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2=16，进而根据均值不等式y12+y22=4（x1+x2）8求得答案【解答】解：设直线方程为y=k（x4），与抛物线方程联立消去y得k2x2（8k2+4）x+16k2=0x1x2=16显然x1，x20，又y12+y22=4（x1+x2）8=32，当且仅当x1=x2=4时取等号，此时k不存在故答案为32【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了学生综合分析问题和解决问题的能力16已知f1、f2是双曲线的两焦点，过f2且垂直于实轴的直线交双曲线于p、q两点，pf1q=60，则离心率e=【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，pqf1是等腰直角三角形，且被f1f2分成两个全等的直角三角形由此结合双曲线的定义，可解出a、c关系，即可得到该双曲线的离心率【解答】解：设双曲线方程为（a0，b0），把x=c代入得，pf1q=60，2c=，即2ac=（c2a2），解得e=故答案为：【点评】本题给出双曲线方程，在已知过右焦点的通径和左焦点构成等边三角形的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题三、解答题17已知p：“直线x+ym=0与圆（x1）2+y2=1相交”；q：“方程x2x+m4=0的两根异号”若pq为真，p为真，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】若命题p是真命题：“直线x+ym=0与圆（x1）2+y2=1相交”，则1，解得m范围；若命题q是真命题：“方程x2x+m4=0的两根异号”，则m40，解得m范围若pq为真，p为真，则p为假命题，q为真命题解出即可【解答】解：若命题p是真命题：“直线x+ym=0与圆（x1）2+y2=1相交”，则1，解得1；若命题q是真命题：“方程x2x+m4=0的两根异号”，则m40，解得m4若pq为真，p为真，则p为假命题，q为真命题实数m的取值范围是或【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于a，b两点，求线段ab的长【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设直线l的倾斜解为，则l与y轴的夹角=90，cot=tan=2，sin=，然后求出|ab|【解答】解：设直线l的倾斜解为，则l与y轴的夹角=90，cot=tan=2，sin=，|ab|=40线段ab的长为40【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|ab|=的灵活运用19已知双曲线c的焦点为f1（2，0），f2（2，0），且离心率为2；（）求双曲线的标准方程；（）若经过点m（1，3）的直线l交双曲线c于a，b两点，且m为ab的中点，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设出双曲线方程，且c=2，再由离心率公式可得a=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到双曲线的方程；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），运用点差法，求出直线ab的斜率，进而得到ab的方程，再联立双曲线方程，运用判别式检验即可【解答】解：（）设双曲线方程为=1（a0，b0），且c=2，由于离心率为2，即=2，即a=1，b=，则双曲线方程为x2=1；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），则=1， =1两式相减得，（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2），由于m为ab的中点，则x1+x2=2，y1+y2=6，得直线ab的斜率kab=1，直线l的方程为y3=x1即y=x+2，代入方程x2=1，得2x24x7=0，=4242（7）=720，故所求的直线方程为y=x+2【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查点差法求弦中点的问题，考查运算能力，属于中档题和易错题20如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是正方形，sa底面abcd，sa=ab，点m是sd的中点，ansc，且交sc于点n（）求证：sb平面acm；（）求证：平面sac平面amn；（）求二面角dacm的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）连结bd交ac于e，连结me，由dsb的中位线定理，得mesb，由此能证明sb平面acm（）法一：由dcsa，dcda，得dc平面sad，从而amdc，由等腰三角形性质得amsd，从而am平面sdc，进而scam，由scan，能证明平面sac平面amn法二：以a为坐标原点，建立空间直角坐标系oxyz，利用向量法能证明平面sac平面amn（）法一：取ad中点f，则mfsa作fqac于q，连结mq，由已知得fqm为二面角dacm的平面角，由此能求出二面角dacm的余弦值法二：分别求出平面abcd的一个法向量和平面acm的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角dacm的余弦值【解答】（选修2一1第109页例4改编）（）证明：连结bd交ac于e，连结me，abcd是正方形，e是bd的中点 m是sd的中点，me是dsb的中位线mesb（2分）又me平面acm，sb平面acm，sb平面acm（4分）（）证法一：由条件有dcsa，dcda，dc平面sad，且am平面sad，amdc又sa=ad，m是sd的中点，amsdam平面sdcsc平面sdc，scam（6分）由已知scan，sc平面amn又sc平面sac，平面sac平面amn（8分）（）证法二：如图，以a为坐标原点，建立空间直角坐标系oxyz，由sa=ab，可设ab=ad=as=1，则，即有scam（6分）又scan且anam=asc平面amn 又sc平面sac，平面sac平面amn（8分）（）解法一：取ad中点f，则mfsa作fqac于q，连结mqsa底面abcd，mf底面abcdfq为mq在平面abcd内的射影fqac，mqacfqm为二面角dacm的平面角 （10分）设sa=ab=a，在rtmfq中，二面角dacm的余弦值为 （12分）（）解法二：sa底面abcd，是平面abcd的一个法向量，设平面acm的法向量为，则即，令x=1，则（10分），由作图可知二面角dacm为锐二面角二面角dacm的余弦值为（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质的应用，考查向量法的合理运用，考查空间思维能力的培养，是中档题21已知椭圆c： =1（ab0），过点离心率，（1）求椭圆方程；（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆c交于a、b两点，且以ab为直径的圆过原点，试求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可得，解出即得a，b；（2）设直线方程为x1=my，代入椭圆消掉x可得y的二次方程，设a（x1，y1），b（x2，