八年级数学下册 第17章 勾股定理备课攻略 （新版）新人教版.doc

勾股定理【课程标准解读】掌握勾股定理，会用合适的方法验证勾股定理；能利用勾股定理求直角三角形的边长；理解勾股定理的逆定理，并会应用其判断直角三角形；利用勾股定理解决与直角三角形有关的实际问题。本单元内容在中考命题中是热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题及其判断三角形的形状等，题型多样，填空题、选择题、解答题、综合题均有，常与直角三角形、三角函数、特殊平行四边形、圆等知识综合在一起进行考查。【知识要点解析】1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，则，）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题【典型例题】acb第7题图（2013年佛山市，7，3分）如图，若a=60，ac=20m，则bc大约是(结果精确到0.1m)( ) a34.64m b34.6m c28.3m d17.3m【答案】选：b【解答】解：a=60，c=90，b=30，ab=2ac，ac=20m，ab=40m，bc=2034.6（m），故选：b【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。析：首先计算出b的度数，再根据直角三角形的性质可得ab=40m，再利用勾股定理计算出bc长即可【变式训练】（2013山东滨州，14，4分）在abc中，c=90，ab=7，bc=5，则边ac的长为_【答案】：x=【解析】利用勾股定理，可得【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，按照题设画出图形，确定斜边和直角边再计算即可.2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则abc是以c为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则abc是以c为钝角的钝角三角形；若c2c2；若abc是钝角三角形，c为钝角，则有a2+b20，x0，2ax0，a2+b2c2 当abc是钝角三角形时，如图18-4，过点b作bdac，交ac的延长线于点d，设cd为x，则bd2=a2-x2 根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2 即b2+2bx+x2+a2-x2=c2a2+b2+2bx=c2b0，x0，2bx0，a2+b2c2【点评】本题考查了勾股定理的运用通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键【变式训练2】如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为s1、s2，则s1+s2的值为（）s2s1a16 b17c18 d19【答案】b【解析】根据等腰直角三角形、勾股定理先求出面积分别为s1的边唱是大正方形对角线的，s2正方形的边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角线的一半.满分解答：边长为6的大正方形中，对角线长为.面积为s1小正方边长为，面积s1=8；小正方s2= ，s1+s2=8+9=17.故选b.【方法指导】本题主要考查正方形性质.熟悉正方形有关性质是解题的关键.题型二：应用勾股定理建立方程例题1.在中，于，已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理列方程求解解：，设两直角边的长分别为，设两直角边分别为，则，可得例题2.如图中，求的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作于，在中在中，例题3.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积【答案】：6【解答】【点评】本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积的和或差的问题阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积例题4. （2011重庆綦江，16，4分）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示正方形defh的边长为2米，坡角a30，b90，bc6米当正方形defh运动到什么位置，即当ae 米时，有dc2ae2bc2【分析】：方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理。根据已知得出假设aex，可得ec12x，利用勾股定理得出dc2de2ec24（12x）2，ae2bc2x236，即可求出x的值【解答】：解：假设aex，可得ec12x，坡角a30，b90，bc6米， ac12米，正方形defh的边长为2米，即de2米，dc2de2ec24（12x）2，ae2bc2x236，dc2ae2bc2，4（12x）2x236，解得：x米故答案为：【点评】：此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出ce，ae的长度是解决问题的关键题型三：实际问题中应用勾股定理例题1.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了【分析】：根据题意建立数学模型，如图，过点作，垂足为，则，在中，由勾股定理得【答案】：例题2、如图，南北向mn为我国的领海线，即mn以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇a发现正东方有一走私艇c以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇b密切注意.反走私艇a通知反走私艇b:a和c两艇的距离是13海里，a、b两艇的距离是5海里.反走私艇b测得距离c艇是12海里，若走私艇c的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【解答】:设mn与ac相交于e，则bec=90，又ab2+bc2=52+122=132=ac2，由勾股定理逆定理得abc为直角三角形，即abc=90.mnce，走私艇进入我国领海的最近距离是ce.两式相减得ce=，13=0.85(小时),0.85小时=51分钟，9时50分+51分=10时41分.答:走私艇c最早在10时41分进入我国领海.例题3（2013潍坊，9，3分）一渔船在海岛a南偏东20方向的b处遇险，测得海岛a与b的距离为20海里，渔船将险情报告给位于a处的救援船后，沿北偏西80方向向海岛c靠近同时，从a处出发的救援船沿南偏西10方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛c处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）a海里/小时 b 30海里/小时 c海里/小时 d海里/小时答案：d【解答】解：如图，过点c作cdab于d设ac=x海里在acd中，adc=90，cad=10+20=30，ac=x海里，cd=ac=x海里，ad=cd=x海里在bcd中，bdc=90，cbd=8020=60，bd=cd=x海里ad+bd=ab，x+x=20，解得x=10，根据勾股定理得到【点评】; 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据方位角的定义得到图中方位角的度数是前提条件理解方向角的含义，证明出三角形abc是直角三角形是解决本题的关键题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形【例题1】.已知三角形的三边长为，判定是否为，解：，是直角三角形且，不是直角三角形例题2.三边长为，满足，的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：，且所以此三角形是直角三角形【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形abc的三边满足a2+b2=c2，则三角形abc是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用【例题1】.已知中，边上的中线，求证：证明：为中线，在中，【例题2】.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪a正前方30米b处，过了2秒后，测得小汽车c与车速检测仪a间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？【分析】根据题意得出由勾股定理得出bc的长，进而得出小汽车1小时行驶403060=72000（米），进而得出答案【解答】：根据题意，得ac=30cm，ab=50cm，c=90，在rtacb中，根据勾股定理，bc2=ab2-ac2=502-302=402，所以bc=40，小汽车2秒行驶40米，则1小时行驶403060=72000（米），即小汽车行驶速度为72千米/时，因为7270，所以小汽车超速行驶【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出bc的长是解题关键【例题3】、如图18-11所示，a，b两个村子在河cd同侧，a，b两村到河的距离分别为ac=1 km，bd=3 km,cd=3 km.现要在河边cd上建一水厂，向a，b两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在cd上选择水厂的位置o，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.解析； 若最省钱只需ao+bo最小，可将a，o，b放在一条线段上考虑，故只需找到点a关于cd的对称点a，连接ab交cd于o，则水厂建在o点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长.解：作点a关于cd的对称点a，连接ab交cd于点o，则o点就是水厂的位置.过a作ahcd交bd延长线于h，ahb为直角三角形.在rtahb中，ah=cd=3，bh=bd+dh=bd+ac=bd+ac=1+3=4，由勾股定理得ab=5，总费用为20005=10000（元）【例题4】（8分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，acb=90，ac=80米，bc=60米，若线段cd是一条小渠，且d点在边ab上，已知水渠的造价为10元/米，问d点在距a点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？解：当cd为斜边上的高时，cd最短，从而水渠造价最价 cdab=acbc cd=48米 ad=64米 所以，d点在距a点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元【变式训练】如图，在正方形abcd中，e是bc的中点，f为cd上一点，且求证：aef是直角三角形【点拨】：要证aef是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证即可【解答】：证明：设正方形abcd的边长为a，则，在rtabe中，由勾股定理得：同理在rtabe中，由勾股定理得：在rtcef中，由勾股定理得：aef是直角三角形【点评】：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一例题5.已知abc的三边长为a，b，c，且满足，试判断abc的形状【点拨】：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论【解答】：，或当时，有由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；当时，有a=b，此时三角形是等腰三角形综上，abc是直角三角形或等腰三角形【点拨】：此题易犯的错误是由得，漏掉这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性例题6.若abc的三边满足条件，试判断abc的形状解：，a=5，b=12，c=13，abc是直角三角形【点评】本题考查了配方法的应用、勾股定理、非负数的性质，解题的关键是注意配方法的步骤，在变形的过程中不要改变式子的值题型六：平面展开问题探求最短路径问题例题1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，a和b是这个台阶两个相对的端点，a点有一只蚂蚁，想到b点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到b点的最短路程是_ 【】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到b点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到b点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+（2+3）32=252，解得x=25故答案为25【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答。例题2.（2012山东省青岛市，14，3）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点c处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点a处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.【解析】将圆柱展开，ab=【答案】15 【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出a和b两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果“化曲面为平面”，利用勾股定理解决要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.例题3.（2011四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，ac是底面圆的直径，高bc 6cm，点是母线上一点且一只蚂蚁从a点出发沿着圆柱体的表面爬行到点p的最短距离是（ ） a（）cm b5cm ccm d7cm【分析】：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从a点出发沿着圆柱体的表面爬行到点p的最短距离为线段ap的长在rtacp中，ac，4cm，所以【解答】：b【点评】：解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的表面展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题题型七：关于勾股定理运用中的折叠问题例题1已知，如图所示，折叠长方形的一边ad，使点d落在bc边的点f处，如果ab=8cm，bc=10cm，求ec的长【答案】ec为3cm.【解答】：连结ae，则adeafe，所以af=ad=10，de=ef设ce=x，则ef=de=8-x，bf =6，cf=4在rtcef中，ef2=ce2+cf2，即（8-x）2=x2+16，故x=3【点评】通过折叠的性质，将所求和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键要求ce的长，就必须求出de的长，如果设ec=x，那么我们可将de，ec转化到一个三角形中进行计算，根据折叠的性质我们可得出ad=af，de=ef，那么de，ce就都转化到直角三角形efc中了，下面的关键就是求出fc的长，也就必须求出bf的长，我们发现直角三角形abf中，已知了ab的长，af=ad=10，因此可求出bf的长，也就有了cf的长，在直角三角形efc中，可用勾股定理，得出关于x的一元二次方程，进而求出未知数的值例题2、如图，长方形abcd中，ab=4，bc=3，将其沿直线mn折叠，使点c与点a重合，则cn的长为（ ）a b c d 【答案】【解答】【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，在解答此类问题时首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数例题3. （2011四川省宜宾市，7，3分）如图，矩形纸片abcd中，已知ad =8，折叠纸片使ab边与对角线ac重合，点b落在点f处，折痕为ae，且ef=3，则ab的长为( )a.3 b.4 c.5 d.6(7题图)【答案】选d【解答】解：四边形abcd是矩形，ad=8，bc=8，aef是aeb翻折而成，be=ef=3，ab=af，cef是直角三角形，ce=8-3=5，在rtcef中，cf= = =4，设ab=x，在rtabc中，ac2=ab2+bc2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选d【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键先根据矩形的特点求出bc的长，再由翻折变换的性质得出cef是直角三角形，利用勾股定理即可求出cf的长，再在abc中利用勾股定理即可求出ab的长例题3.（2011安顺）如图，在rtabc中，c=90，bc=6cm，ac=8cm，按图中所示方法将bcd沿bd折叠，使点c落在ab边的c点，那么adc的面积是6cm2【答案】：为6cm2【解答】解：c=90，bc=6cm，ac=8cm，ab=10cm，将bcd沿bd折叠，使点c落在ab边的c点，dc=dc，bc=bc=6cm，ac=4