一元二次方程教材分析.doc

一元二次方程教材分析一. 本章主要内容分析 本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.二.课时安排： 22.1 一元二次方程 2课时 22.2 降次解一元二次方程 7课时 *22.2.4 一元二次方程根与系数的关系 1课时 22.3 实际问题与一元二次方程 3课时 小结 2课时三、本章知识结构图四、 教学重难点22.1 教学重点:一元二次方程及有关概念的理解.教学难点:准确的化为一元二次方程的一般式.学法点拨：u 理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次数为2。u 对一元二次方程理解时，一定注意“a0”这一条件。u 把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分母-去括号-移项-合并同类项。u 注意:当a是负值时，一般转化为正数； 多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。如：。u 会用“代入检验”的方法判断简单的一元二次方程得根。易错点：1) 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”. 如：下列关于x的方程中，是一元二次方程的有 。 2) 注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。 如：已知关于x的方程（m-n）x2 + mx+n=0,你认为：当m和n满足什么关系时，该方程为一元二次方程？ 当m和n满足什么关系时，该方程为一元一次方程？3) 没有化成一般形式，混淆a、b、c. 22.2 降次 解一元二次方程 直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法，解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。本节知识学习时，注意对相关知识的复习、联系，多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见，体会数学思想方法的作用，逐步养成主动探究和应用的习惯。教学重点：一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。教学难点：选择合适的解法。 课时安排：本单元是本章的重点，书中安排是5课时，可以适当的增加课时或利用加课时间，我在本次分析时按8课时分析的。（1）直接开平方法（1课时）：初一已学过平方根和算术平方根，学生见过此类型，当时只是求值，没有提到过一元二次方程，现在变成正规解法。教学时，计划由浅入深的安排一下类型题： x2=a (a0) bx2=a (a、b同号，b0) （x-b）2=a (a0) m(x-b)2=a (a、m同号,m0) m(nx-b)2=a (a、m同号,m、n0)（2）配方法（2课时）：配方法不仅是解一元二次方程的一种基本方法，而且在以后讨论二次函数等其他数学概念时也离不开配方法。因此，配方法在数学中成为一种很重要的式子变形。它的背后隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学能力影响很大。教学中对配方法及化归思想应充分重视。引导学生理解这种方法的道理，结合道理去记忆配方的具体步骤。 第一课时：安排a=1的情况,主要掌握配方的方法：方程两边加一次项系数一半的平方。注意：如x2-4x-1=0中，一次项系数为负数时易出错。 第二课时：安排a1的情况，总结出配方法的步骤： 方程两边除以二次项系数，把方程化为二次项系数为1的类型； 方程两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；直接开平方；写出结果。 （3）公式法（2课时）由配方法引出求根公式。推导求根公式时，特别给出条件“当b2-4ac0时”。教学中应当使学生认识到这一条件是根据非负而产生的，如果b2-4ac0,就有0.这在实数范围是不可能的。因此，这里要约定b2-4ac0.得出求根公式后，可知方程ax2+bx+c=0(a0)根是由系数a、b、c所确定的。教科书中没有提出判别式的名称，但在公式法之后进行了归纳，总结了b2-4ac值的三种情况和他们对应的一元二次方程根的三种情况：有两个不等的实数根；有两个相等的实数根；合称为有实数根，没有实数根，但不能说没有根，这时方程的根是虚根。教学时总结出公式法解题的一般步骤： 化为一般式； 指出a、b、c，带符号； 写出求根公式； 代入求解。（4）因式分解法（1课时）：教科书中所用的因式分解法包括提公因式和公式法，这与以前学过的因式分解方法是一致的。对于某些一元二次方程，虽然用配方法和公式法可以解，但是用因式分解的方法解起来更简便。（5）习题课（1课时）选择适当的方法解一元二次方程。22.2.4一元二次方程根与系数的关系（1课时）：本节内容为选学内容，进一步加深对一元二次方程及其根的认识。利用一元二次方程根与系数的关系，可以灵活地解决许多问题，建议讲授本节内容为以后的学习做准备。但是在难度上要有所控制。学法点拨：l 公式法、配方法是对于任何一元二次方程都适用的方法，每个学生必须掌握，但解题时应先考虑因式分解法，当方程符合ax2=c(a、c同号，a0)时，可用直接开平方法解方程。l 解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。l 对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0),当b2-4ac0时，可用公式法，一定要注意b2-4ac的取值问题。l 配方法要先配方再降次；“配方法”不仅应用在一元二次方程中，注意配方在其他方面的应用。l 因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。易错点（1） 用因式分解法没有注意方程是否写成A*B=0形式。如，解方程（x-1）(x-3)=8, 误解为 x1=1, x2=3.(2) 用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆a、b、c。 如，解方程x2-4x=2，误认为a=1,b=4,c=2.(3)丢根。如，解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),只解得x=3.22.3 实际问题与一元二次方程 结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。教学重点：进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。教学难点：在探究过程中正确地建立一元二次方程。突破难点的关键：弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。 学法点拨：l 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答。 具体过程：（1）审题，找等量关系； - 关键 （2）设未知数； - 注意单位 （3）列方程； （4）解方程； （5）检验； -注意是否符合实际意义 （6）写出答案； （7）答话。l 增长率问题常用公式 a(1x)2=b ，a为原数，b为增长或降低后的数（即现在的数），x为增长率或降低率，2表示两次增长或降低。 易错点审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；解方程后未经检验就盲目作答。检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。如教材P46：探究2问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。五本章在中考中的权重分析、考点要求 从教材结构看，在六册初中教材29章当中，一元二次方程大约占总课时的3%，也就意味着在满分150分的中考试卷中，一元二次方程的权重只能在4分左右。但是一元二次方程在初中数学中仍占有重要的地位，因为它和二次函数的联系非常密切.这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例.考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此教师、同学们应对这部分内容予以高度重视. 中考中对于一元二次方程的要求主要包括一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，以及用一元二次方程的知识解决实际问题。中考中对于这部分的考查形式多样，注重学生对于方程思想、转化思想等思想方法的考查，对于学生分析问题和解决问题的能力要求也比较高。附1：近三年广州市中考题1.(2008广州、第5题、3分)、方程的根是（ ） A B C D 【答案】：C2（2010广东广州，第19题，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。【分析】本题需要综合运用分式和一元二次方程根的判别式来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度由于这个方程有两个相等的实数根，因此，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值【答案】解：有两个相等的实数根，即，3.（2009年第25题，14分）如图13，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由图13yxBACO【答案】25. 本小题主要考查二次函数、解直角三角形、一元二次方程（韦达定理或求根公式）等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念满分14分解：（1）设点，其中抛物线过点，抛物线与轴交于两点，是方程的两个实根求的值给出以下两种方法：方法1：由韦达定理得：的面积为，即，解得，所求二次函数的关系式为方法2：由求根公式得，的面积为，即解得，所求二次函数的关系式为25题（2）图yxBACO（2）令，解得，在中，在中，是直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的外接圆的半径垂线与的外接圆有公共点，（3）假设在二次函数的图象上存在点，使得四边形是直角梯形若，设点的坐标为，25题（3）图1yxBACOED过作轴，垂足为，如图1所示求点的坐标给出以下两种方法：方法1：在中，在中，解得或，此时点的坐标为而，因此当时在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形25题（3）图2yxBACODF方法2：在与中，以下同方法1若，设点的坐标为，过作轴，垂足为，如图2所示在中，在中，解得或，此时点的坐标为此时，因此当时，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形综上所述，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形，并且点的坐标为或附2：部分地区近年中考题选知识点1、一元二次方程的概念例1：（2009山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 答案：答案不唯一，如 例2：（2009威海）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_答案：1知识点2、解一元二次方程例3：（2009武汉）解方程：答案：解：，例4：（2009山西）解方程：答案：解：移项，得配方，得 （注：此题还可用公式法，分解因式法求解）知识点3、根的判别式例5：（2007芜湖）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A m1 B m2 Cm 0 Dm0答案：A知识点4、一元二次方程与二次函数例6：（2007南昌）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 答案：，；知识点5、一元二次方程的应用例7：（2008河北）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）ABCD答