tx088小波包理论在信号去噪和压缩中的应用
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江苏科技大学本科毕业设计（论文） 小波包理论在信号去噪和压缩中的应用 系 名： 数理学院 专 业： 信息与计算科学 班 级： 03405011 学 号： 0340501110 姓 名： 韩仲兵 指导教师： 王亚军 数理学院 2007 年 06 月 20 日 nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） I 摘 要 当今，我们正处在一个高速发展的信息时代，为了有效地利用现代通讯业务和信息处理中的宝贵资源，需要对大量的数据信息进行处理，因此信号数据压缩技术和解压缩技术成了多媒体技术的关键技术之一。 本文简要研究了近年来小波分析的发 展及其在信号处理方面的应用情况，然后引入了小波变换的一些基本理论，在此基础上提出了小波包变换。小波包变换对信号进行压缩和消噪的原理和小波变换的基本相同，不同的是小波包变换属于线性时频分析法，因而具有良好的时频定位特性以及对信号的自适应能力，能够对各种时变信号进行有效的分解。最后本文系统地描述了目前常用的小波包对信号消噪和压缩的方法， 利用 Matlab 的小波工具箱中的函数进行了一些实验，通过实验结果比较看出小波包处理信号的效果好于小波变换。 关键词 ： 小波变换 ; 小波包变换 ; 信号压缩 ; 信号消噪 nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） II Abstract Today, we are engaged in a high-speed development of the information age. In order to effectively use modern communication and information processing operations of valuable resources， we need deal with a large amount of date and information. Therefore, the signal compression and decompression technology has become one of the key multimedia technologies. This paper briefly studied the development of the wavelet analysis and its application in signal processing in recent years, and then introduced some basic theory in wavelet transform. On this basis, we recommend the wavelet packets transform. The basic method used wavelet packets transform in signal de-noising and compression is closed to the method used by wavelet transform. The differences are that wavelet packets transform have good time-frequency orienting feature and adaptive faculty in signals, so it is more effective in processing signals. At last we use Wavelet Toolbox to carry out some experiments. Comparing from the experiment, we proved the theory above. Keywords : wavelet transform ; wavelet packets transform ; signal de-noising; signal compression nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 目 录 摘 要 I Abstract 第 1 章 绪 论 1 1.1 小波分析的发展历史 1 1.2 小波包理论在信号处理中的简介 2 1.2.1 小波包用于信号消噪处理 2 1.2.2 小波包用于信号压缩处理 3 第 2 章 小波分析理论简介 4 2.1 傅立叶 分析 4 2.1.1 Fourier 变换 4 2.1.2 Garbor 变换 -窗口 Fourier变换 5 2.1.3窗口 Fourier 变换的测不准原理 6 2.2 小波分析 7 2.2.1 克服傅立叶变换的一些不 足方法 7 2.2.2 选择小波函数的四项原则 8 2.2.3 小波分类简介 13 2.3 正交小波包与双正交小波包分析 14 2.4 向量分解小波包简介 15 第 3 章 小波包在信号 消 噪和压缩中的应用 18 3.1 小波变换在信号处理中的应用 18 3.1.1 小波变换在信号降噪中的应用 18 3.1.2 小波变换在信号压缩中的应用 18 3.2 小波包分析的特点 19 3.3 小波包在信号消噪中的应用 19 3.3.1 基本原理 19 3.3.2 仿真实验 20 3.4 小波包在信号压缩中的应用 22 3.4.1 基本原理 22 3.4.2 仿真实验 22 结 论 24 参 考 文 献 26 附 录 27 致 谢 30 nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 1 第 1 章 绪论 小波分析作为一种新兴理论已经在科学技术界掀起了一 场轩然大波。在数学家们看来，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、 Fourier 分析、样条分析、调和分析、数值分析的最完美结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音分析以及众多非线性科学领域，它被认为是继 Fourier 分析之后又一有效的时频分析方法。从原则上讲，凡是传统上能使用 Fourier 分析的地方，都可用小波分析来代替。小波分析在对时域和频域同时具有的局部化特性，克服了传统 Fourier分析的不足，而且由于它对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节，因此小波分析具有“ 数学显微镜”的美称。近年来小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质的小波，如多函数小波、 M 带小波等，同时也从另外一个角度去放宽正交小波基的条件，去研究更一般的非正交向量族，如滤波器组、平移正交小波等，使得小波理论不断完善。随着小波理论的不断完善，它的应用领域也越来越广泛。 小波变换与 Fourier 分析的本质区别在于： Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个变量的函数表示信号：小波分析则利用联合时间一尺度函数分析非平稳信号。小波分析与时频分析的区别在于：时频分析在时频平 面上表示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间 -尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号分析的多尺度分析观点是小波分析的基本特征。 1.1 小波分析的发展历史 任何理论的提出都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外。 1910年 Haar提出了小波规范正交基，这是最早的小波基，但是当时并没有出现“小波”这个词。 1936年 Littlewood 和 Paley对 Fourier 分析建立了二进制频率分量分组讨论：对频率按 2j 进行划分，其 Fourier 变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。 1946 年 Gabor 提出的加窗 Fourier 变换对弥补 Fourier变换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决这个问题。后来，Calderon， Zygmund， Stern 和 Weiss 等人将 L-P 理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论。 1965 年 Calderon 给出了再生公式。 1974 年， Coifmann 对一维 pH 空间和高维 pH 给出了原子分解。 1975 年， Calderon用他最先提出的再生公式给出了抛物型 1H 的原子分解，这一公式现在成为学多函数分解的出发点，其离散形式已接近小波展开。此后许多数学家为着各种不同目的，给出了各自函数空间上的“原子分解”、“分子分解”、“拟正交分解”、“框架分解”等。 1976年， Peetre 在用 L-P 方法给出 Besov 空间统一描述的同时，引入 Besov 空间的一组基，其展开系数的大小刻画了 Besov空间本身。 1981年， Stromberg 通过对Haar正交基的改进，引入了 Sobolev空间 sH 的正交基。这些工作为小波分析奠定了基础。 nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 2 1981年，法国地址物理学家 Morlet在分析地址数据时基于群论首先提出了小波分析这一概念。 Morlet最先提出的是形状不变的小波，因为在分析函数（信号），加窗 Fourier 变换并不具有形状。 Morlet 方法所取得的数值分析的成功不仅激发了 Morlet 本人对小波分析进行深入研究，而且也大大鼓舞了法国物理学家 Grossmann，于是他们携手 共同研究小波理论。 1985年，法国大数学家 Meyer首先提出光滑的正交小波基，后来被称为 Meyer 基，对小波理论作出了重要的贡献。 1986 年， Meyer 及其学生 Lemarie 提出了多尺度分析的思想。 1988 年，年轻的女数学家 Daubechies构造出具有紧支集的光滑正交小波基 -Daubechies基，为小波的应用研究增添了催化剂，也正因此， Daubechies 名扬世界。后来，信号分析专家 Mallat 提出了多分辨分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，而在这以前构造的正交小波基具有高度的技巧性和不可模仿性 。 Mallat 受金字塔算法的启发，以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法 Mallat算法（ FWT）。 Mallat 算法的提出宣告了小波分析从理论研究走向宽广的应用研究。 1990 年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。也是1990 年 Beylkin,Coifman 等将小波变换应用于算子理论。 1991 年， Jaffard 及Laurencot 将小波变换应用于偏微分方程的数值解，而 Wickhauser 等将 Mallat算法进一步深化，得 到了小波包算法。 从以上小波理论发展的历史我们不难发现，小波分析的提出首先是取得应用成果，再形成系统理论，最后在应用领域全面展开，这是“应用 -理论 应用”的过程，说明小波理论具有很高的实用价值。 1.2 小波包理论在信号处理中的 简介 传统的数字信号分析和处理是建立在傅立叶变换的基础上，傅氏变换是平稳信号在时域与频域间互相转换的算法工具，但无法表述信号的时频局域性质；对于非平稳信号人们使用短时傅立叶变换，但它使用的是一个固定的短时窗函数是一种单一分辨力的信号分析方法，存在着不可弥补的缺陷。小波理论是在傅立叶变换的短时傅立叶变换的基础上发展起来的，它具有多分辨分析的特点，在时域和频域上都具有表征信号局部特征的能力，是信号时频分析的优良工具。小波包分析是小波分析的延伸，具有十分广发的应用价值。运用小波包分析进行一维信号消噪、压缩是小波包分析在数字信号处理中的重要运用。 1.2.1 小波包用于信号消噪处理 一般有用信号的频率比较低、比较平缓，噪声则一般表征为高频信号。但在实际工程中，采集的信号可能包含许多高频的突变信息，基于傅立叶变换的数字绿波（ FFT）对此类信号的消噪效果不佳。采用低通滤波器滤波时，若截止频率太高，则滤波后 信号中大量噪声仍残存；若截止频率太低，则表征为高频的有用信号被滤除了， FFT 不能有效区分同时高频的有用信号和噪声干扰。运用小波包分析消噪时，对信号在低频段和高频段同时进行征缴小波分解，得到信号在任意频段的频段的频率成分，因此具有比 FFT和小波分析更为精确的局部分析能力，重构信号可以充分抑制信号中的高频噪声，有效保存有用信号的高频部分。小波包分解和重构信号时，无冗余、无泄漏、信息量完整，是非常理想的消噪应用工具。 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多的理论工作者和工程技nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 3 术人员所重视和应用，并在许多应 用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换产生了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势，比如小波分析可以用于电力负载信号的分析与处理、小波变换可以用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中未知瞬态信号等。 由实验可以看出经过小波包处理后的信号比经过小波分析处理后的信号区分度更强，处理的效果更好。 1.2.2 小波包用于信号压缩处理 当今，我们正处在一个高速发展的信息时代，为了有效地利用现代通讯业务和信息处理中的宝贵资源，需要对大量的数据信息，因此信号数据压缩技术和解压缩技术成了多媒体技术的 关键技术之一。但是经典信号压缩算法已不能满足实际应用的需要，迫切需要有更高压缩效率和适用于各种需要的新压缩算法。经典压缩算法一般是在时域或者频域进行分析和操作，因而经典信号压缩算法只是利用了信号的部分特征，研究人员希望同时利用两个域的特征，兼容时域和频域分析的优越性。另外经典压缩算法一般使用的 DCT 和傅立叶变换是用余弦曲线和正弦曲线作为它们的正交函数基，但这些函数都不是紧支集。而我们在实际应用中处理的大部分是瞬态信号。特别地，在信号处理中许多重要特征（例如边缘）也是空间位置高度局部化的，如果使用一般的变换， 这些瞬态和局部化成分的信息就很难得到最佳表示。实际上， DCT 和傅立叶变换能用余弦和正弦函数表示任何分析函数，甚至是一个瞬态信号，但这种表示在函数频谱上会呈现相当混乱的构成。为了克服这种缺陷，研究人员已经发现若干种使用优先宽度的基函数，我们称之为小波。使用这些基函数的变换被称之为小波变换。 小波包分析是近些年在小波 分析 的基础上发展起来的 ,将信号在小波包最优基下展开 ,利用小波包最优基极好的空间、尺度定位性 ,使得信号的小波包变换系数在小波变换域尽可能的集中 ,从而使在不降低压缩信号的质量情况下 ,进一步地提高信号压缩比 成为可能。 nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 4 第 2 章 小波分析理论简介 2.1 傅立叶 分析 2.1.1 Fourier 变换 1807 年，法国数学、物理学家傅立叶（ Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为 2T 的函数 )(tf ，都可以用三角级数表示： 011( ) c o s s i n2i k tk k kk k kaf t C e a k t b k t （ 2.1） 201 ( ) ,2 i k t i k tkC f t e d t f e （ 2.2） kkk CCa )(kkk CCib （ 2.3） 对于离散的时程 )(tf ，即 N 个离散的测点值mf， 0 , 1 , 2 ,m L ， N-1， T 为测量时间 1 12010 221( ) ( c o s s i n ) c o s22 kN Nitk k k k N N kkkaf t a t b t a t C e （ 2.4） 其中 102c o s2 Nm mk NkmxNa ， Nk = 0 ,1 ,2 , 2L ， （ 2.5） 10 2s in2 Nm mk NkmxNb , Nk = 0 ,1 ,2 , 12 L ， （ 2.6） 10 )/2(1 Nm Nkmimk exNC ， k = 0 ,1 ,2 ,L ， N （ 2.7） tNkk 2，NTt （ 2.8） 当 T 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）： ( ) ( ) ,i t i tf f t e d t f e ) （ 2.9） deftf ti)(21)( （ 2.10） 傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑 ，从 1807 年开始，直到 1966 年 (1807 年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 5 论是有误的，直到 1966年才证明了 2L 可积 的周期函数才能表示为傅立叶级数 )，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。 它 在各个领域产生了深刻的影响，得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是， 傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。 数学上的插值方法除了傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法，但是 这些理论都具有一定的局限性 ： （ 1）傅立叶变换的三种形式中的 傅立叶系数都是常数 ， 不随时间 T 变化，因 而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。 （举例：无阻尼与有阻尼的单自由度的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等）。 在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。 （ 2） 求傅立叶系数是全时间域上的 加权平均 ，这从上面的（ 2.5）、（ 2.6）、（ 2.7）公式可以清楚看到。 局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来。差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的频率， 所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。 处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换 。 为了克服以上两点局限性，这就要求： （ 1）将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。 （ 2）使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函 数。 2.1.2 Garbor 变换 窗口 Fourier 变换 在时间 频率分析中， Fourier 变换公式的不足已经被 D. Garbor 注意到了，在 1946 年的论文中，为了提取信号的 Fourier 变换的局部信息，引入了一个时间局部化的 Gaussian 函数作为“窗函数” ()g t b ,其中参数 b 用于平移动窗以便覆盖整个时间域。因为一个 Gaussian 函数的 Fourier 变换还是Gaussian 函数，所以 Fourier 逆变换即频率也是局部的。 窗口 Fourier 变换简介 : 对于时间局部化的“最优”窗，用任意 Gaussian 函数 ata eatg 4221)( （ 2.11） “ Garbor 变换”的定义为 dtbtgtfefG atiab )()()( （ 2.12） nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 6 由于 ( ) ( ) 1aag t b d b g x d x （ 2.13） 所以 ( ( ) ) ( ) ( )itae f t g t b d t d b f ) （ 2.14） 令 , ( ) ( )a i tbaG t e g t b （ 2.15） 利用 Parseval 恒等式， ,1( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , ,2a i t a ab a b bG f e f t g t b d t f G f G ) ) 1 4( ) ( )2ib ae G f ba) 1 41 ( ( ) ( )2i b i bae e f g da ) （ 2.16） 这个等式说明，除去乘数项 ibea之外，在 bt 具有窗函数ag的 f 的“窗口 Fourier 变换”，与在 具有窗函数ag41的 f 的“窗口 Fourier 逆变换”一致，根据窗函数 ag的宽度是 2a 的结论，这两个窗的宽度分别是 2a 和 a1 这两个窗的笛卡儿积是 11,22b a b a aa 加窗傅立叶变换的 “时间 频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。在较长的时间窗内， 对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的 Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减小a ），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。总上所述， 加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。 2.1.3 窗口 Fourier 变换的测不准原理 对于一个非平凡函数 2 ()w L IR ，若满足 2 ()tw L IR （ A） 条件，则 w 可作为短时窗口 Fourier 变换的窗函数，若其 Fourier 变换也满足nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 7 上述条件，那么 21 ww （ B） 而且等号成立，有且仅有 )()( btgcetw aiat （ C） 其中 IRbaac ,0,0 和 。 小结： （ 1）傅立叶级数的正弦与余弦系数为常数，不能反映振幅变化的情况； （ 2）求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息，不能反映局部信息的特征； （ 3）加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的，高频与低频的时间局部化不能同时满足。 2.2 小波分析 2.2.1 克服傅立叶变换一些不足的方法 将时程函数 )(tf 表示为下面的小波级数： j k kjkjtftf )(,)( , = j k kjkjtd )(, （ 2.17） )2(, ktjkj （ 2.18） 其中， )(t 是 小波函数 ，kjd,是 小波系数 ，且 ,j k j kdf %（ 2.19） 由公式（ 2.17）到（ 2.19）可以看到，小波级数是两重求和， 小波系数的指标不仅有频率的指标 j ，而且还有时间的指标 k 。小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 j 在不同时刻 k ，小波系数也是不同的。 这样就克服了上面所述的第一个不足。 由于 小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。 这样在求各 频率水平不同时刻的小波系数时， 只用到该时刻附近的局部信息， 从而克服了上面所述的第二个不足。 与有限元比较： 在这一点，小波插值要比有限元好，有限元虽然是局部的“单元插值”，但单元之间的公共节点上，只能保证 0C 阶连续，而导数不连续。小波插值可保证二阶导数连续，只要选三次样条小波就能做到。 第三个不足，小波分析是如何克服的呢？ 通过与加窗傅立叶变换的“时间 频率窗”的相似分析，可得到小波变换的nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 8 “时间 频率窗”的笛卡儿积是 11,b a t a b a t aa a a a ) （ 2.20） 其中 ja 2 ，时间窗的宽度为 a2，随着频率的增大（即 j 的增大）而变窄，随着频率的减小（即 j 的减小）而变宽，之所以有这样的结果，关键在于公式（ 2.18）中，时间变量 t 前面乘了个“膨胀系数” j2 。 小波变换的“ 时间 频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间 频率分析所希望的。 根据 小波变换的“时间 频率窗”的宽度可变的特点， 为了克服上面所述的第三个不足， 只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。比 如选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。 为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。 2.2.2 选择小波函数的四项原则 在求小波系数公式（ 2.19）中， 如果 )( kt 是 )(2 IRL 空间的 正交基 ，则的kj,为kj,的复共轭。小波分析的最重要的应用是 滤波 ， 为了保证滤波不失真，小波函数必须具有 线性相位， 至少具有 广义线性相位。小 波分析的另一重要应用是 捕捉、分析突变信号， 这就要使用函数的 导数， 小波函数至少是 1C 连续 。 由前面分析可知 ， 小波函数必须具有 紧支撑 的性质。所以， 正交、线性相位、连续、紧支撑 是选择小波函数的“四项原则”。 为了进行小波分解与重构，“四合一”的小波函数不存在，数学家们“一分为四”，选择了四个函数，巧妙地解决了这些问题。这四个函数是： 尺度函数 ，小波函数 ，对偶尺度函数 ， 对偶小波函数 。 为什么要选择四个函数呢？ 由前面 小波变换的“时间 频率窗”分析可知，小波变换的“时间 频率窗”的宽度，当检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。为了检测到所有频率信号，“时间 频率窗”的宽度必须按一定的次序变化，不失一般性，从窄到宽，检测频率信号从高频到低频的次序进行 实际上也正是这样的次序。 在最高频率水平 NV（即根据实测数据的时间测量间隔 t ，最高能检测到的频率为 Nyquist 频率 tf 21），选择最窄的“ 时 频窗”宽度，检测到原始信号中的最高频率信号，并将这些信号从原始信号中剥离，存放在1NW空间，而nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 9 将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间1NV。然后，增大“时 频窗”的宽度，再检测1NV空间中的高频信息，将这些信号从1NV空间中剥离，存放在2NW空间，而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间2NV。依次类推。这就要求有两个互相有联系的空间： 11 JJJ WVV 2 2 1JJJV W W &1 0 1 2 1 2 1J J J JW W W W W W W & & & & & & &L L L,J ZZ 子空间性质简介： （ 1） 1 0 1 2V V V V LL（ 2） 2 2 ()JL J Z Zc lo s V L I R U（ 3） 0 JZZJ V, 即 0lim Jj V（ 2.21） （ 4） 11 JJJ WVV （ 5） 1)2()( JJ VxfVxf（ 6） lJWWlJ ,0这样，对于参考子空间0V，需要单个函数 )(2 IRL 在意义 20 0 ,() :KL I RV c l o s K Z Z （ 2.22） 上生成，其中， )2(2 2, kxjjkj (2.23） 对于参考子空间0W，需要单个函数 )(2 IRL 在意义 20 0 , :KLW c lo s K Z Z（ 2.24） 上生成，其中， )2(2 2, kxjjkj （ 2.25） 首先，这就要求有两个函数： 和 ，前者称为尺度函数，后者称为小波函数。并且，它们有关。 由（ 2.21）中的（ 1）式可知，01VV，由（ 4）式可知，01WV ，nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 10 而 1, :k k ZZ 是 1V 的一个基，所以存在唯一的 2l 序列 kp、 kq k k kxpx )2()( （ 2.26） k k kxqx )2()( （ 2.27） 并引入记号 1()2 kkkP z p z （ 2.28） 1()2 kkkQ z q z （ 2.29） （ 2.26）称为尺度函数的“ 两尺度关系 ”，（ 2.27）称为小波函数的“ 两尺度关系 ”， )( zP 称为尺度函数 的“ 两尺度符号 ”， )( zQ 称为小波函数 的“ 两尺度符号 ”。 为了由高频到低频逐次检测到不同频率水平的信息，仅有上述两个函数是不够的。由前面分析可知，公式（ 2.17）中的小波函数与求小波系数使用的与 f 作内积的函数不是同一个函数，除非使用正交的小波函数。这就要求寻找尺度函数 与小波函数 的对偶函数：对偶尺度函数 、对偶小波函数 ，以便分解原始信号时能求出小波系数来。 对偶关系简介： 与（ 2.26） （ 2.29）相对应，有 k kkxgx )2()( （ 2.30） k kkxhx )2()( （ 2.31） 1()2 kkkG z g z （ 2.32） 1()2 kkkH z h z （ 2.33） 为了满足对偶关系，必须满足以下对偶条件： ,10( ) ( )01TP Q G HM z M z （ 2.34） nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 11 ,10( ) ( )01T G H P QM z M z （ 2.35） 与（ 2.34）、（ 2.35）等价的条件是： 0)()()()(1)()()()(zHzQzGzPzHzQzGzP ， 1Z （ 2.36） 1)()()()(0)()()()(0)()()()(1)()()()(zHzQzHzQzQzGzQzGzHzPzHzPzGzPzGzP， 1Z （ 2.37） ,( ) d e t ( ) 0P Q P Qz M z ， 1Z （ 2.38） ,( ) d e t ( ) 0G H G Hz M z ， 1Z （ 2.39） 其 中 ， ()Gz为 )(zG 的共轭， )(zH 为 )(zH 的共轭， ,( ) ( )()( ) ( )PQP z Q zMzP z Q z （ 2.40） ,( ) ( )()( ) ( )GHG z H zMzG z H z （ 2.41） 由（ 2.36）和（ 2.38）便可以得到 1V 的基到0V和0W中的基分解关系： k lklkkxhkxglx )()(21)2( 22 （ 2.42） 由（ 2.42）式便可得到 1j 频率水平子空间1jV和1jW中向量坐标的分解算法 l jlkljk cac 21（ 2.43） l jlkljk cbd 21（ 2.44） 其中 12nnag（ 2.45） nn hb 21（ 2.46） 根据两尺度关系，便可得到 j 频率水平子空间jV中向量坐标的重构算法 ： nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 12 ljllkjllkjk dqCpC 1212（ 2.47） 有了上述的系数，就可以使用多分辨分析的金字塔算法，快速求出小波系数kjd,。以三次样条函数尺度函数4N为例，其步骤如下： 1.将 )(xf 投影到 nV上 210( ) ( 2 )n nnknkf x c x k f （ 2.48） 2.小波分解算法 使用多分辨分析的金字塔算法 1nd 2nd mnd / / / nc 1nc 2nc mnc l jlkljk cac 21（ 2.49） l jlkljk cbd 21（ 2.50） 1 2 3 .n n n n n m n mf g g g g f （ 2.51） k jjkj kxcf )2(（ 2.52） k jjkj kxdg )2(4（ 2.53） 而ng、nh是符号多项式 )(zG 、 )(zH 的系数： 1 21 221()11( ) ( )2 2 ( )nm mnn mEzzG z g z z （ 2.54） 1 2211 1 ( 2 1 ) !( ) ( )2 2 ( )nmnn mzmH z h z z Ez (2.55） 222 1 20( 2 1 ) ! ( 1 )n kmnkE m N k z （ 2.56） 3.小波重构算法 1nd 2nd mnd nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 13 / / / nc 1nc 2nc mnc l jllkjllkjk dqCpC 1212 2.2.3 小波分类简介 1.正交小波 正交小波的两个族 kj,与 kj,满足： （ 1）, , ,j k j l k l （ 2）,0j k j l （ 3）, , , ,j k l m j l k m （ 4） 21 0 1()L I R W W W LL用振动的语言形象的比喻： kj,是1jV子空间的低阶振型， kj,是1jV子空间的高阶振型，jj VW ， )(, kjWWkj 。 2半正交小波 半正交小波的四个族 kj,、 kj,、 kj,与 kj,满足： (1), , , ,j k l m j l k m %(2), , ,j k j m k m %(3) ,0j k l m ,0j k l m %， lj ； , , ,j l k m ZZ 。 (4) kj,是1jV子空间的低阶振型的线性组合，即低阶剩余模态。 (5) kj,是1jV子空间的高阶振型的线性组合，即高阶剩余模态。 (6) jj WW ，jj VV ，jj VW (7) 21 0 1()L I R W W W LL3 R 小波 R 小波的 kj, 与 kj, 满足： (1), , , ,j k l m j l k m %nts江苏科技大学本科毕业设计（论文） 14 (2) 21 0 1()L I R W W W LL正交性都是相对于对偶来说的，本身都不是正交族，只是线性无关族。 2.3 正交小波包与双正交小波包分析 从上面介绍的多分辨分析的金字塔算法进行小波分解可以看到，每次分解，都是对 V 进行的 ： 对jV进行小波分解，将jV分解为1jV和1jW；再对1jV进 行小波分解，将1jV分解为2jV和2jW，依次类推。而各子空间jW不再分解，也就是说，每次都是对低频进行再分解，而高频不再分解。 究其原因，便是 1V 的基向量 )2( lx 到0V和0W基 )( kx 、 )( kx 有分解关系（ 2.42），而 1W 的基向量 )2( lx 没有相应的分解关系 。事实上， )2( lx与 )( kx 、 )( kx 是线性无关的。 显然，高频的时间 频率局部化不是最优的。为了克复这个缺点，必须使用小波包的分解方法。 无论正交小波包还是双正交 小波包，与小波的最基本的区别在于它们具有 1)1( nnn pq（ 2.57） 根据这个特殊的正交的两尺度关系，
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