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机械毕业设计
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tx095超宽带通信中的分集技术研究,机械毕业设计
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1 维纳滤波器 有了第 1章平稳随机过程的统计特性，就可以为评价线性自适应滤波器的性能提供一个框架。特别地，本章将研究一类线性最优离散滤波器，即所谓维纳 (Wiener)滤波器。维纳滤波器理论系统阐述了由其脉冲响应所表征的滤波器的一般复值随机过程。采用复值时间序列的原因是，在大量实际应用中 (如通信、雷达、声纳等 )，许多应用都是以基带形式给出的。正如 1章所述，基带用来表示由信息源传递的原始信号所占用的频带。实值时间序列理所当然的可看做复值理论的一个特例。下面，我们首先将概述线性最优滤波问题，以便为后续的维纳滤波理论及其变种的研究搭建平台。 2.1 线性最优滤波 :问题综述 图 2.1建立了线性离散时间滤波器的方框图。滤波器的输人时间序列为 ,1,0 uu ，并用其冲激响应为 ,210 www来表征该滤波器。而且在某些离散时刻 n，滤波器输出为 y(n)。这个输出信号用来产生期望响应的估值 d(n)。由于滤波器的输入信号和期望响应表示各自随机过程的实现，使得估计通常带有其自身统计特性的误差 e（ n）。在实际中，估计误差是用期望响应 d（ n）与滤波器输出 y（ n）之差来表示。其要求的就是在某种统计意思上使估计误差尽可能小。 图 2.1 统计滤波问题示意框图 这里，滤波器 需要有两个约束条件 : 1)滤波器是线性的，使得数学分析容易进行 ; 2)滤波器是离散时间的，使得它可用数字硬件或软件来实现。 滤波器具体实现还依赖于另外两个选择 : 1)滤波器的冲激响应的选择问题 (是选择有限冲激响应，还是无限冲激响应 ); 2)统计优化准则的选择问题。 选 择 有 限 长 冲 激 响 应 (FIR,finite-duration impulse reponse) 或 者 无 限 长 冲 激 响 应(IID,infinite-duration impulse reponse)取决于实际应用场合；滤波器设计中选用哪种优化统计准则则与数 学处理的难易程度有关。以下我们依次探讨这两个问题。 我们从考虑 IIR滤波器开始阐述维纳滤波理论，这样可以将 FIR滤波器看做它的一个特例。然而，本章大部分内容的描述以及本书的后续部分中，我们主要集中讨论 FIR滤波器。这是因为 FIR滤波器结构中只用到前向路径而使其具有固有的稳定性。换句话说 ,FIR滤波nts 2 器中输入输出相互作用的惟一方式是通过滤波器从输入到输出的前向路径完成的。实际上，这种信号传输方式使滤波器的冲激响应限制为有限长度。而 FIR滤波器同时包含了前向和反馈路径，反馈路径意味着有一部分滤波器的输出和其 他可能的中间变量要反馈到输入端。其结果是，除非经过合理的设计，滤波器的反馈会使输出结果不稳定，甚至导致滤波器发生振荡。这种现象在一些要求“必须”保证稳定性的场合是不能接受的。尽管 FIR滤波器的稳定性问题本身在理论上和实际中都是可以驾驭的，但当滤波器需要自适应时，同时包含自适应和反馈（ FIR滤波器固有的）所带来的稳定性问题已成为一个十分难处理的难题。正是由于这个原因， 在大部分需要自适应的滤波应用中， FIR滤波器大大优于 IIR滤波器，即使后者需要很少的计 算要求也是如此。 下面转向考虑第二个问题 :统计优化准则 的选择问题。各种准则都有其自身的适用场合。在滤波器优化设计中，可以考虑采用某种最小代价函数或者某个性能指标来衡量，一般有下列几种选择 : 1)估计误差的均方值 ; 2)估计误差绝对值期望值 ; 3)估计误差绝对值的三阶或高阶期望值。 选项 1由于容易进行数学处理而优于其他两个选项。实际上，选择均方误差准则导致滤波器冲激响应未知系数代价函数的二阶相关性 (dependence)。而且，该代价函数有一个独特的最小值能惟一地定义滤波器的优化统计设计。因此，我们将注意力集中于均方误差准则。 现将滤波器问题的本质表述如下 : 给定一个输入取样序列 u(0),u(1),u(2),.，设计一个线性离散滤波器 其输出 y（ n）提供了期望响应 d(n)的一个估值 ，使得其估计误差的均方值 e(n)定义为期望响应 d（ n）与实际响应 y（ n）之差 为最小。 我们将通过两种完全不同、互相补充的方法来阐述该统计优化问题的数学解决方案。一种方法导致一个重要的定理 (通常称为正交性原理 )。另一个方法着重讲述误差性能曲面，它描述了以滤波器系数为变量的代价函数的二阶相关性。下面首先着手推导正交性原理，因为这个推导过程相对简单，且意义重大。 2 2 正交性原理 再看如图 2.1所示的随机信号滤波问题。滤波器的输人用时间序列 u(O),u(l),u(2)， .表示，冲激响应用 ,210 www表示，设它们都是复值且无限长度的。 n时刻的滤波器输出为线性卷积 0)( k k knuwny n=0,1,2,. （ 2.1） 其中星号表示复共扼。注意，复值意义上的 )( knuwk 表示滤波器系数kw与滤波器输入 knu 的内积。图 2.2示出当式 (2.1)中为实数据时计算线性离散时间卷积的步骤 (a)脉冲响应 (b)游波器输入 (c)游波器输入的时间反转和移位型 (d)n=3时刻滤波器输出 nts 3 图 2 2线性卷积 图 2.1的滤波器的目的是要产生一个期望响应 d(n)的估值，设滤波器输入序列和期应是联合广义平稳随机过程，且均值为零。如果均值不为零，则依据第 1.2节讲的预处理，在滤波 之前先从 u(n)和 d（ n）中减去均值，估计值 d(n)自然带有误差，该误差定义为 )()()( nyndne (2.2) 估计误差 e（ n）是一个随机变量的采样值。为了优化滤波器的设计，选择 e（ n）的最小均方值。因此，定义代价函数为均方误差 2)()()( neEneneEJ （ 2.3） 其中 E表示统计期望运算符。因此，其要求是确定 J获得最小值的运行条件。 对于复值的输 入数据，滤波器的系数通常也为复值。设第 k个滤波器系数 )(tw 表示为实部与虚部形式 kkk jbaw k=0,1,2,. (2.4) 相应地，可以定义一个梯度算子，其中第 k个元素可写成实部ka和kb的一阶偏微分形式 nts 4 kkk bja k=0,1,2,. (2.5) 因此，将算子用于代价函数 J，得到一个多维复值梯度向量 J ，其中第 k个元素为 kkk bJjaJJ k=0,1,2, (2.6) 式 (2.6)表明实系数函数梯度可以自然扩展应用到复系数函数的更一般情况 0。注意式 (2.6)中复梯度的定义是有效的，这里重要的是 J为实数。梯度算子往往用来寻找所感兴趣的代价函数的稳定点 。复数约束可以转换成一对实数约束。在式 (2.6)中，一对实数约束可通过将 Jk下的实部和虚部都置为零来获得。 为了从代价函数 J中得到其最小值，梯度向量 J 的所有元素必须同时都等于零，即 0 Jk k=0,1,2, (2.7) 在这组约束条件下，就说滤波器在均方误差意义下最优。 依据式 (2.3)，代价函数 J将是独立于时间 n的标量。因此，将 式 (2.3)的第二个式子代入式（ 2.6），得到 * ( )( ) * ( ) * ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) nkk k k ke n e n e n e nJ E e e n j e n j e na a b b （ 2.8） 由式 (2.2)和式 （ 2.4）， 可以得到 4个偏微分 () ()ken u n ka () ()ken ju n kb （ 2.9） * ( ) * ( )ken u n ka * ( ) * ( )ken ju n kb 将这些偏微分代人式（ 2.8） ， 整理得到 *2 ( ) ( ) k J E u n k e n （ 2.10） 现在我们准备求使代价函数了最小时所要求的工作条件。设 e0表示滤波器工作在最优条件下估计误差的特定值，则式 (2.7)中规定的条件等效为 * ( ) ( ) 0E u n k e n k=0,1,2, (2.11) 总之，对式 (2.11)可做如下表述 : 使代价函数 J获 得最小值的充要条件是其对应的估计误差 e0(n)正交于 n时刻进入期望 响应估计的每个输入样值。 nts 5 实际上，这段表述构成正交性原理。它是线性优化滤波理论中的最重要原理之一，也为验证线性滤波器是否工作于最优状态提供了数学基础。 2.2.1正交原理推论 当考虑滤波器输出信号 y(n)与估计误差 e(n)之间的相关特性时，可以得到正交原理的推论。利用式 (2.1)，可以将相关函数表示为 * * *0 ( ) ( ) ( ) ( ) kkE y n e n E w E u n k e n = *0 ( ) ( ) kkw E u n k e n (2.12) 令 y0(n)表示在均方误差最优意义下滤波器的输出，而 e0(n)表示响应的估计误差。因此，利用式 (2.11)描述的正交性原理，可得如下结果 *00 ( ) ( ) 0E y n e n (2.13) 由此，我们可以得到正交性原理的推论 : 当滤波器工作于最优条件下，期望响应的估值用滤波器的输出 y0(n)表示，相应的估计误差 e0(n)与它们相互正交 。 令 ()nd nu表示在均方误差意义下最优的期望响应的估值，给定输入信号直到时刻 n (包括 n)张成的空间为 un， 则有 0 ( ) ( )nd n u y n(2.14) 注意，估值 ()nd nu具有零均值，因为其抽头的输入是设为零均值的。这个条件 也符合期望响应 d(n)为零均值的假设。 2.2.2 正交原理推论的几何解释 式 (2.13)提供了一个存在于最优滤波器输出端最优条件的有趣的几何解释，如图 2.3所示。图中期望响应、滤波器的输出以及响应的估计差分别用向量 d、 y0、 e0表示，0y、0e中的下标表示优化条件的时刻。可以看出，对于最优滤波器，估予朽吴差向量垂直 (正交 )于滤波器输出向量的。需要强调的是，图 2.3描述的状态只是一个比拟，此处随机变量和期望分别用向量和向 量内积代替。同样地，为了便于观察，几何描述图可被看做是统计学的毕达哥拉斯 (Pythagorean)定理。 nts 6 图 2.3 期望响应、滤波器输出估值和估计误差之间关系的几何表示 2.3最小均方误差 线性离散时间滤波器如图 2 1所示。当达到最优时，式 (2.2)可以写成以下形式 00( ) ( ) ( )e n d n y n= ( ) ( )nd n d n u(2.15) 式中第二行，我们利用了式 (2.14)。重新安排式 (2.15)，有 0( ) ( ) ( )nd n d n u e n(2.16) 令 2m in 0 ( ) J E e n（ 2.18） 表示最小均方误差，对式 (2.16)两边同时取均方值，并应用式 (2.13)和式 (2.14)表示的正交原理推论，可得 22 m ind d J(2.17) 其中 2d是期望响应的方差， 2d是估值 ()ndnu的方差 ;它们都假设为零均值。依据最小均方差准则求解式 (2.18)，得到 22m in d dJ (2.19) 这个关系式表明，对于最优滤波器，最小均方误差等于期望响应方差与滤波器输出估值方差的 ;差值。 通过将均方误差的最小值限定在 0与 1之间，可以方便地将式 (2.19)归一化。具体做法，将式 (2.19)两边同时除以 2d，从而得到 2m in221 dddJ （ 2.20） 因为除非出现期望响应 d(n)均为零这种极为罕见的情况， 一般 2d均为非零，所以上式显然成立。现在令 min2dJ (2.21) 其中 称为归一化均方误差。因此式（ 2.20）可以写成如下形式 221 dd(2.22) e0 y0 d nts 7 应注意到 :(1)比率 非负 ;(2)比率 22dd总是正数，因此有 01 (2.23) 、 如果 等于 0，最优滤波器工作在理想状态下，此时滤波器输出估值 ()nd nu与期望响应 d(n)完 全一致。相反如果 等于 1，二者很不一致，这对应于最坏的可能情况。 2.4 维纳霍夫方程 式 (2.11)描述的正交性原理是最优滤波器的充要条件。若将式 (2.1)与式 (2.2)代入式（ 2.11），可以得到另一个充要条件 0 ( ) ( * ( ) * ( ) ) 0oiiE u n k d n w u n i k=0， 1， 2， 其中oiw是优化滤波器冲激响应的第 i个系数。展开并整理这 个式子，得到 0 ( ) * ( ) ( ) * ( ) oiiw E u n k u n i E u n k d n k=0， 1， 2， (2.24) 式 (2.24)中的两个期望解释如下 1)期望 ( ) * ( ) E u n k u n i等于相隔 i-k个延迟的滤波器输人的自相关函数，即 ( ) ( ) * ( ) r i k E u n k u n i （ 2.25） 2)期望 ( ) * ( ) E u n k d n 等于滤波器输人 u(n-k)与期望响应 d(n)相 隔 -k个延迟的互相关，即 ( ) ( ) * ( ) p k E u n k d n 因此，利用式 (2.24)中式 (2.25)与式 (2.26)的定义，得到最优滤波器的另一个充要条件，即 0( ) ( )oiiw r i k p k k=0， 1， 2， （ 2.27） 式 (2.27)从更普遍的相关函数的角度定义了最优滤波器的系数，其中一个相关函数是滤波器输人的自相关函数，另一个相关函数是滤波器输 人与期望响应的互相关函数。这个方程称为维纳 -霍夫 (Wiener-Hopf)方程。 2.4.1 线性横向滤波器的维纳霍夫方程解 当线性横向滤波器或者 FR滤波器用于获取图 2 1中期望响应 d(n)的估值时 ,维纳 -霍夫方程的求解将大大简化。现考虑图 2 4的横向滤波器结构。该滤波器包括三种基本运算：存储、相乘、相加。具体描述如下 : 1)存储可用 M-l个单样值延迟即延迟单元的级联来表示，图中每个延迟单元标识为 1z 。nts 8 我们把各延迟单元被接人的点称为抽头 点。每个抽头的输人为 u(n)， u(n-1)，u(n-M+l)。因此，当将 u(n)看做滤波器输人的当前值时，其余 M-l个抽头输入 u（ n-1）， ， u(n-M+l)都称为滤波器输人的过去值。 2)抽头输人 u(n)， u(n-1)， ， u(n-M+l)与抽头权值0 1 1, ,. Mw w w 的内积是用一系列乘法器来实现，图中每个乘法都用 *0w等表示的 u(n)和0w的标量内积形成的，对其他内积 也是如此。 3)加法器的作用是将乘法器的输出相加，形成一个总的滤波器输出。 图 2.4横向滤波器 图 2.4所示的横向滤波器冲激响应是用一系列有限抽头权值0 1 1, ,. Mw w w 表示的，因此，式 (2.27)的维纳 -霍夫方程变成 M个线性方程组 10( ) ( )m oiiw r i k p k k=0， 1， 2， ， M-1 （ 2.28） 式中, 0 ,1 , 1, , .,o o o Mw w w 是滤波器抽头权值 的最优值。 2.4.2 维纳霍夫方程的矩阵形式 令 R表示图 2.4横向滤波器中抽头输人 u(n-),u(n-1), u(n-M+1)组成的 MM 相关矩阵，即 R= ( ) ( )HE u n u n （ 2.29） 其中 ( ) ( ) , ( 1 ) , . . . ( 1 ) Tu n u n u n u n M （ 2.30） 是 1M 的抽头输人向量。以展开的形式，相关矩阵 R可表示为 nts 9 R= ( 0 ) 1 ( 1 )* ( 1 ) ( 0 ) ( 2 )* ( 1 ) * ( 2 ) ( 0 )r r r Mr r r Mr M R M r LLM M O ML(2.31) 相应的，令 p为滤波器抽头输人与期望响应 d(n)的 1M 的互相关向量 p= ( ) * ( )E u n d n (2.32) 其展开形式为 P= ( 0 ) , ( 1 ) , . . . (1 ) Tp p p M (2.33) 注意， p定义式中的延迟为零或负数，故可将式 (2.28)的维纳 -霍夫方程写成紧凑的矩阵形式 R0w=P (2.34) 其中0w表示均方误差意义上的最优横向滤波器的 1M 抽头权向量，即 0 , 0 ,1 , 1 , , . . . , To o o Mw w w w (2.35) 如果相关矩阵 R是非奇异的，可从式 (2.34)中解出0w。为此，式 (2.34)两边同时左乘以逆阵 R-1得 0w=R-1p (2.36) 最优抽头权向量 w0的计算需要知道两个条 件 :(1)抽头输人向量 u(n)的相关矩阵 R;(2)抽头输入向量 u(n)与期望响应 d(n)的互相关向量 p。 2.5 误差性能曲面 前几节导出的式 (2.34)的维纳 -霍夫方程源于第 2.2节讲述的正交性原理。我们也可以从图 2.4的横向滤波器的抽头权值的代价函数 J的关系式中导出维纳 -霍夫方程。首先，将估计误差 e(n)写成 1 *0( ) ( ) ( )M kke n d n w u n k (2.37) 式中 d(n)是期望响应，0 1 1, , , Mw w w L是滤波器抽头权值， u(n)， u(n-1)， u(n-M+l)是相应的抽头输人。因此，我们定义图 2 4的横向滤波器的代价函数为 ( ) * ( ) J E e n e n = 112 *00 ( ) ( ) * ( ) * ( ) ( ) MMkkkkE d n w E u n k d n w E u n k d n nts 10 + 11 *00 ( ) * ( ) MM kikiw w E u n k u n i (2.38) 我们看出，上式第二行右边的四个期望为 1)对于第一个期望，有 22 ( ) d E d n (2.39) 式中 2d为期望响应 d(n)的方差，设其为零均值。 2)对于第二个和第三个期望，分别有 ( ) ( ) * ( ) p k E u n k d n (2.41) 和 * ( ) * ( ) ( ) p k E u n k d n 式中 p(-k)是抽头输 人 u(n-k)仍与期望响应 d(n)的互相关。 3)最后，对于第四个期望，有 ( ) ( ) * ( ) r i k E u k u n i (2.42) 式中 r(-k)是相隔 i-k个点的抽头输人自相关函数。 因此，可把式 (2 38)写成 1 1 1 12 * *0 0 0 0( ) * ( ) ( )M M M Md k k k ik k k iJ w p k w p k w w r i k (2.43) 式 (2.43)表明，当横向滤波器的抽头输人与期望响应是联合平稳时，其代价函数或者均方误差 J正是滤波器抽头权值的二次函数。因此，可以将 J与抽头权值0 1 1, , , Mw w w L之间的依赖关系想像为 (M+l)维碗状曲面。该曲面具有用滤波器抽头权值所表示的 M个自由度，且有惟一的最小值。显然，可将该曲面当做描述图 2.4横向滤波器的误差性能表面。 在误差性能表面的碗底或极小点处，代价函数了获得其最小值，表示为 Jmin。在该点处，梯度向量 J 等于零，即 0J k=0， 1， 2， ， M-1 (2.44) 其中 J 是梯度向量的第 k个元素。把第 k个抽头权值写为 k k kw a jb(2.45) 因此，利用式（ 2.43），可以将kJ写为 k kkJJJjab =-2p(-k)+2 10()M iiw r i k 将式 (2.44)的充要条件用于优化式 (2.45)，我们发现图 2.4横向滤波器的最优抽头权值, 0 ,1 , 1, , .,o o o Mw w w 满足如下方程 nts 11 10( ) ( )M oiiw r i k p k k=0， 1， 2， ， M-1 这个方程即第 2.4下导出的维纳 -霍夫方程 (2.28)。 2.5.1 最小均方误差 令 ()nd nu表示期望响应 d(n)的估值，该期望响应是在均方误差意义上最优化图 2.4横向滤波器所产生的输出。滤波器输人 u(n)， u(n-1)， ,u(n-M+l)张成空间nu，从图中可以推出 1 *,0 ( ) ( )Mn o kkd n u w u n k =w Hou(n) (2.46) 式中 wo是最优滤波器的抽头权向量，其元素为, 0 ,1 , 1, , .,o o o Mw w w ,u(n)是式 (2.30)中定义的抽头输入向量。注意 w Hou(n)表示最优抽头权向量 w。和抽头输人向量 u(n)的内积。设 u(n)是零均值的，它使估值 ()nd nu也是零均值的。用式 (2.46)来估算 ()nd nu的方差 ,得 2 0 ( ) ( ) HHod E w u n u n w =0 ( ) ( ) HHow E u n u n w= HowRw0 （ 2.47） 其中 R是式 (2.29)定义的抽头权向量 u(n)的相关矩阵。利用式 (2.34)我们可以消除方差 2d对优化抽头权向量 w。的依赖关系。特别地，可将式 (2.47)改写为 2d =pH ow =pH R1 p （ 2.48） 为了计算由图 2.4中横向滤波器产生的最小均方误差，将式色 (2.47)或式 (2.48)代入式（ 2.19），得到 2m in HdoJwR ow = 2dpHow(2.49) = 2d-pH R1 p 这就是所要的结果。 2.5.2 误差性能曲面的规范形式 nts 12 式 (2.43)定义了图 2.4中横向滤波 器所产生的均方误差 J的展开形式。分别利用式(2.31)和式 (2.33)给出的相关矩阵 R和互相关向量 p的定义，可以把式 (2.43)重写出为 2() dJw - Hw p-pH +wH Rw (2.50) 其中，均方误差写成 J(w)是为了强调它是抽头权向量 w的函数。第 1章指出相关矩阵 R总是非 奇异的，即它的逆阵 R1 总存在。因此，可以把式 (2.50)写成如下形式 2()dJw-pH R1 p+(w-R1 p)R(w-R1 p) (2.51) 从上式可以立刻得到 2m i n ( ) dwJwpH R1 p 此时， w0=R1 p 实际上，从式 (2.50)出发，我们以相当简 单的方法重新导出了维纳滤波器。此外，我们可利用维纳滤波器的这个定义式写出 m i n( ) ( ) HoJ w J w w R(w-w0) (2.52) 这个方程式表明，抽头权向量惟一的最优解为 w。，因为这时min()oJ w J。 尽管式 (2.2)右边的二次型表达式含有丰富的物理意义，但还是有必要通过改变基底使误差性能曲面的表达式简单化。为此，利用特征分解并按照其特征值和特征向量把抽头输入向量的相关矩阵 R表示为 R = Q QH （ 2.53） 其中 是一个包含相关矩阵特征值12, , , M L的对角阵，矩阵 Q的列是与特征值有关的特征向量12,Mq q qL。将式 (2.53)代人式 (2.52)，得到 m i n 0 0H HJ J w w Q Q w w （ 2.54） 如果令最优解0w与抽头权向量 w之差的变换形式为 0Hv Q w w (2.55) 则将式 (2.54)的二次表达式代人它的规范形式，可得 m in HJ J v v (2.56) 这个不含有交叉乘积项新的均方误差表达式为 nts 13 m i n12m i n1MkkkkMkkkJ J v vJv(2.57) 其中kv是向量 v的第 k个元素，它使式 (2.57)所表达的误差性能曲面的规范形式变得非常有用，因为变换后的系数向量 v的元素构成了曲面的主轴。这个结果的实际意义将在后续章节中看到。 2 6 多重线性回归模型 式 (2.49)定义的维纳滤波
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