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机械毕业设计

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tx097超宽带信号的最佳接收问题分析,机械毕业设计

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室内无线脉冲电波信道中信号的选择 摘要 -在这份资料中，我们在带有多径干扰的室内脉冲电波多路接入信道上利用四进制脉位数字调制来研究通信问题。在这里，我们将会对这四种带有不同相关性的四进制信号的性能进行评估。 1介绍 可靠的，同步的通信通过室内无线信道在多用户之间达到兆位 /秒速率的信息交换，并克服多径，衰落，阴影，功率限制和干扰，对我们来说，是一项技术上的挑战。 潜在的一个适合这方面应用需求的，新颖的调制方案就是脉冲信号多路访问（ IRMA）技术，它提出于 Scholtz, 1993Win, 1996a。 IRMA 是一种扩频（ SS）方案，它在 SS 顺序调制中使用跳时（ TH），在数字调制中使用脉位调制（ PPM）。通信波形唯一地在时变和由时变极窄脉冲信号组成的序列中传送信息。 IRMA 是一种不恒定的包络，是超宽带的，在超过1GHZ以上带宽的 “无载波”调制。 在 Scholtz,1993的分析中把问题的焦点放在带有加性高斯噪声（ AWGN） IRMA 信道上使用二进制数据 PPM 进行通信。在目前的资料中，我们要研究在带有多径和 AWGN 的室内无线信道上使用四进制数据 PPM进行通信。问题是：多径效应是否对 PPM数字 调制有着明显的干扰？ 特别的是，我们利用 Scholtz, 1993中的结论来设计四类四进制数字 PPM 信号，在多径干扰的条件下，我们假设信噪比恒定，来研究存这些信号的性能。 2 IRMA通信波形 TH PPM传送用户信息，按照 Scholtz,1993可以这样描述： （ 1） 其中 p(t)是一个极窄（低于纳秒级）脉冲；fT和cT分别是关于时隙周期和 SS 顺序调制的时移值； 是关于数字调制的 时移值； ck 0， 1，2， ,Nh-1是同每个用户相联系的跳时顺序， Ns1 就是每数字信号的跳时频率。 假设 TH 顺序，fT和cT的值，还有脉冲类型，它们由发生装置和天线种类所确定，信号设计在于找出时变时间设置的最佳值：对每一个信号都有 满足。 3信道特性 如果 IRMA信道不存在多径效应但带有 AWGN，被称作 IRMA-IDEAL，当多径存在，则被称nts为 IRMA-MP。二者在传输波形上产生的效果可被接收到 的波形的信号的相关性函数来特征化。 对于 IRMA-IDEAL 信道，实际的信号相关性 可以被模拟为 （ 2） 而且信噪比（ SNR）的值可以被模拟为恒定的。 为 了 计 算 , 接 收 机 首 先 要 形 成 相 关 性其中 Srx(t)是当 p(t)在 IRMA-IDEAL 信道上传输时接收到的信号，而 Sloc(t)是接收机在本地产生的信号。函数 是 的规范化说明。 图表 1（ a） 表示测量过的 IRMA-IDEAL 相关性 ，图表 1（ b） 表示分析过的IRMA-IDEAL相关性模型，其中 图 .1. 信号 相关函数： (a)已测的 IRMA-IDEAL相关性 .(b) 分析过的 IRMA-IDEAL相关性模型 .(c)已测 IRMA-MP 相关性 .图形显示了不同的实现（测量结果） .(d)已测 IRMA-MP 相关性 .图形显示了从（ c） 中取的样品的平均值 . 对于 IRMA-MP 信道，实际信号相关性函数 可以被认为是一个随机过程，其中 u 表示在某个随机实验里，样品空间中发生的一个事件。由于衰落的存在， SNR 值（其中 E(u)是接收到的信号的全部能量， N0 是 AWGN 的频谱功率密度）nts被模拟为一个随机变量。 为 了 计 算 函 数 ， 接 收 机 首 先 要 形 成 相关性 ，其中 ( , )locS u t是接收机在本地产生的信号而 ( , )rxS u t是当脉冲 p(t)被在 IRMA-MP信道上传输时接收到的信号。函数 是 的规范化说明。 图表 1（ c） 表示关于已测的 IRMA-MP相关性， 的几种实现。图表 1（ d）表示 的样品平均值，平均值是在图表 1（ c） 中测量值的基础上取的。在图表 1（ c） 和图表 1（ d）中，我们可以清楚的观察到由于多径效应所引起的波形的失真和拖尾现象。 4 IRMA-IDEAL信道的信号选择 IRMA IDEALP 信道的最佳单用户接收机应该包括一个 TH 传播操作，并伴随一次相关 Scholtz, 1993。对于接收机来说，信号的错误概率 取决于信号的 SNR值和通信信号类型 Weber, 1987的相关属性。这同样适用于统一带宽上的信号错误概率。 对于一个给出的 和一个由时移 定义的特殊信号类型，我们可以在 中使用关系式 来研究这个特殊信号类型的性能。 图表 2显示了四种不同的四进制 PPM信号类型，它们是基于 来设计的。关于这些信号类型的时移（纳秒级）是： nts 图 .2.研究中的四种四进制 PPM数字信号。（ a）最佳（ b）准 双正交（ c）准 正交（ d）正交 相应的关系矩阵在以下给出： 图表 3(a)显示了在 IRMA IDEAL 信道上这四类信号的性能。其中的曲线代表相对于在和 时，这些 值的 。图表 3(b)显示了当用 代替 来计算 和 的时候，这四类信号的性能。 nts 图 .3.四种信号在：（ a） IRMA IDEAL 信道，使用 。（ b） IRMA IDEAL 信道，使用 。 5 IRMA MP信道的信号选择 为了在多径存在的室内环境下研究四种信号类型的性能，我们就利用在超宽带测量实验Win, 1997中信号传播的数据记录。在这个实验中，多径的轮廓在 14 个不同的房间和走廊里得到了测量。在每个房间，我们把 300毫秒长的多径测量结果的窗口记录在一个 3英尺 *3英尺的栅格上的 49 个不同的位置上。它们被安放在空间大小为 7*7 的栅格上，之间有 6 英寸的空隙。在每个多径轮廓的测量中，传送器，接收机，和环境都保持相对静止。我们从同样的号码，在三个不同工作室测出的接收信号中计算出 147个相关性函数。由于多径的效果，信号的相关性在每个点都各不相同。它们是以前所描述过的 的样品函数。一种典型的在单间工作室测出的样品 函数已经在图表 1（ c）中绘出了 。 我们可以通过使用 来代替 在以前的分析的基础上进行拓展。因为目前我们关心的这四种信号可以定义规范化随机相关性 ，而且在 IRMA MP 信道上可以利用这个值在统一带宽上产生的错误概率 来研究每种特殊信号。特别的是，对于我们所关心的这四种信号，我们可以规范化随机相关性： nts 我们想要研究，对于每个所考虑的 SNR 值，在 IRMA MP 曲线中 UBPe值是怎样偏离在 IRMA IDEAL曲线中相关值的。对于最佳信号，显然， 这种错误概率在 IRMA MP 中的下降，由两种原因引起： SNR 值的波动， ；在中严重的失真和拖尾。在这份资料中，我们将要工作的对象是规范化信号相关性函数 。规范化将使对于每个随机事件 u ，总的 SNR 近似地保持恒定。因为， UBPe 的下降，在这里不考虑衰落地情况下是由总的 SNR 波动引起的。而且UBPe的下降将主要由信号相关性函数的失真（因为多径）引起的。 图表 4（ a）和 4（ b）显示了在 IRMA MP 信道上信号的性能。图表 4（ a）中的曲线代表了 而图表 4 （ b ） 中 的 曲 线 代 表 了 相 比 较 于和 中的 值的最坏的情况。 是期望的操作值。图表 4（ a）的图形建立在从 147个不同 的 的实现中取的样品平均值。图表 4（ b）的图形建立在从 中取的最大值上。 nts图 .4.在 IRMA MP信道上四种信号的性能，（ a）使用 。曲线对应于从 的实现中取的样品平均值。（ b）使用 ，曲线对应于从 的实现中取的最大值。 6结果讨论 现在分析的目的是为了研究在多径引起的各种 下，四种信号中哪种性能最好。这个分析是在假设 SNR恒定（不存在衰落）的情况下进行的，而且那种衰落对于实际使用的信号是相对独立的。 比较曲线的性能，当 和 都使用了，我们发现在图 3（ a）的曲线中 但在图 3（ b）的曲线中 和 因为最佳信号就是当用已测的 代替模拟的 时，它的变化为最明显的。 在使用 后分析曲线的性能，我们发现在图 4（ a）的曲线中 和 而在图 4（ b）的曲线中 从这些结论中，明显地，在 IRMA MP 信道上，最佳信号的实际性能要比准双正交信号和准正交信号的要差。这可以归因于准双正交信号和准正交信号是用nts中的最小值的点来设计的，而且它们的过零点最靠近起初的 。我们可以从图 1（ c）中看到，这些点对于所有的 的实现相对来说是一样的。而且信号的设计利用这些点可以在多径的存在下给出强劲的性能。 最后，比较图 3（ a），图 4（ a）和图（ b），我们观察到当多径存在时，准双正交信号在 UBP 曲线上由于多径而引起性能上的下降较少（相对于其它信号）。因此，准双正交信号是在 IRMA MP信道上进行四进制通信的一种较好的信号。 声明 作者希望感谢 Time Domain Systems的 Mark Barnes, Troy Fuqua,和 Larry Fullerton,还有 Pulson Communications 的 Paul Withington，他们在脉冲信号的技术，可行性 和信号进程等方面给出了一些非常有帮助的意见。 参考 Scholtz, 1993 R. A. Scholtz, “ Multiple Access with Time Hopping Im- pulse Modulation,”Proceedings of Milcom 93, Dec.1993. Weber, 1987 C. L. Weber, Elements of Detection and Signal Design, Corrected reprint, Springer Verlag, 1987. Win, 1996a M. Z. Win, R. A. Scholtz, and L. R. Fullerton, Time- Hopping SSMA Techniques for Impulse Radio with an Analog Modulated Data Subcarrier, Proc. Fourth In- t rnationalSymposium on SpreadSpectrumTechniques and Applications ISSSTA96, Mainz, Germany, Septem- ber 1996. Win, 1997 M. Z. Win and R. A. Scholtz, Characterization of Ultra-Wide Bandwidth (UWB) Wireless Indoor Propa- ation Channels, IEEE ICC97, June 1997. nts多径条件下超宽带脉冲电磁波最佳模板波形的设计 摘要 使用一个合适的模板波形匹配接收到的信号可以有效地从接收信号中获取能量。在多径的环境下，这种效率对于超宽带（ UWB）脉冲电磁波开始变得重要起来，多径环境中每条通路经历的信道各不相同。由于各种各样的因素，比如不同频率上不同程度的衰减，就会在接收到的脉冲类型上引起失真。根据这样的情况，用一个清晰，理想的可视化信号通路作为摸板，可能会使模板波形和接收信号不匹配而产生的消极影响得到减弱。另外，由于 RF 进程中存在固有的滤波，要决定这样一个可视化脉冲的线路是很困 难的。在这份资料中，对于为UWB脉冲电磁波设计最佳模板波形的算法有了进一步的发展，而且相比那些传统的设计的模板波形，现在我们所取得的进步也会在这里给出详尽的阐述。 1介绍 根据脉冲电波在每个结构周期传送一个低于纳秒级的脉冲来分析，它在获得大量的扩频进程的同时，一方面需要非常高的多径处理能力，一方面又需要非常低的占空比。另外， UWB指出了由于高频的衰减要大于低频，所以在接收脉冲上引起了失真。接收信号脉冲波的传播延迟是许许多多脉冲延迟之和，甚至在室内的应用上也是这样。这些现象促使我们去设计一种算法，它 可以从接收机获得最佳模板波形，从而可以用最少的相关性去得到最多的能量。因为这种信道的效果是一某种方式嵌在接收信号里的，于是我们能够基于接收信号计算出最佳模板波形。这就使我们的算法看上去可行了，因为随着信道上的变化，接收信号和我们的模板波形也要跟着发生变化。通过这种摸板与许多传统的二阶高斯波形的模板进行比较，并通过把我们的算法应用在，从南加利福尼亚大学无线电磁波实验室完成的实验中所获得的真实数据上，我们可以使用这种算法帮助我们根据不同的，基于体现所有信道特征（其中包括那些有时我们不能很好地理解的基于波形的天线 ）的接收信号的环境来调整我们的模板。在这部分发展起来的算法并不仅仅局限于 UWB系统，而且可以适用于任何通信系统。 在第二部分，提出了最佳长尾模板波形的设计，它将带领我们进入第三部分单通道模板波形的设计，最后，第四部分是结论分析。 nts 图 1：在南加利福尼亚大学无线电磁波实验室得到的关于接收波形的 UWB测量结果 2.长尾模板 南加利福尼亚大学无线电磁波实验室人员通过使用数字滤波器，得到了 9个测量结果，它们都在图 1中给出了。它们是从一个产生单脉冲的脉冲发生器接收到的信号。我们有必要说明：每个测量值都是在同一个位置 接收到的 256个细节的平均值，这样才能得到一个更稳定的测量结果并且可以忽略掉一些（电流）变换的影响。我们在每个测量值的速率大于奈奎斯特速率处取样，并统一认为它们都有单位能量。经过这些步骤，我们用一个向量来表示每个 测 量 值 ， 即 。 现 在 我 们 要 找 出 向 量 ,使得函数 : (1) 的值最大。在这里，如果我们只想在接收机上用一个单相关性的话，就只要在所有的测量值向量中找一个最接近的向量，这就意味着我们从测量结果中获得了最多的能量。为了归一化的 目的，我们设 w 为单位能量。在 |w|=1的情况下，这是一个受到限制而应尽可能完善的问题。 要解决这个问题，我们令 ，其中 ，而 M 为一个矩阵，它的第 i列为ir。因此，对应于矩阵 A的最大特征值，简化了它的归一化特征向量，因为 。这个归一化特征向量使得我们只用一个相关性作用于接收信号时可以把最佳模板波形简化。这个问题可以直接归纳为这种情nts况：即我们想通过设计两个或以上的正交模板波形来最大限度地从接收信号获得能量。这主要关系到相应于 矩阵 A的最大特征值的特 征向量。因为 矩阵 A是对称的，所以这些模板可以选择正交的。图 2 给出了相对于 矩阵 A 的 9 个非零特征值的 9 个正交模板波形 。在图的左上角的第一个模板波形获得了包含在整个测量结果中的 58.93% 的能量，而它对于每个测量值只有一个相关性。中间的第二个模板在同样的条件下获得了总能量的 23%，接下来的分别为 8.38%, 3.61%, 2.21%,1.71%,1.20%,0.83%和 0.67%。对于这 9 个测量值，在最多有9 个单长尾正交模板波形的条件下，我们应该能够获得全部能量。通过观察矩阵 A，我们发现在所有的测量结果 中，每个元素可以通过某种方式计算出在指定的测量结果的两个成分之间相关性的平均值 。 图 2：作为算法输出的正交模板 3.单通道模板 如图 1所示，在接收信号中有许多通路。我们想要解决通路的问题，并找出基于这些个别通道的最佳模板波形。那样的话我们需要一个短尾的模板波形，而且我们可以利用它来完成一个具有选择性的多样的结合。对于最好的通道，可以定义以下新的目标函数 F： (2) 其中 r 是一个典型的接收波形，jn是关于它的第 i 条 通道的延迟，而jc是相应的振幅。在上面的公式中，已经假设了在我们的模式中，只含有第一个 L通道，为了使 F 关于 w, jc和jn最小，我们首先要使 F 在一个给出波形 w 的条件下最小，作为一个最初的估计。一个好nts的估计应该是在上一部分得到的长尾模板波形的微缩版。在找出基于最初波形的jc和jn的有效值之后，我们用jc的系数和jn的延迟来找出长为 m 的有效波形 w。然后我们使用新的有效波形来计算新的系数和延迟，我们不断重复这一过程直到波形 w 的收敛出现。 w的长度m是一个设计参数。如果我们给模板波形分配一个非常短的长度，那效果就不会很好。因为它需要更多的关于接收信号的相关性，来获取一定数量的能量。因此，我们可以为 m选择一个初始值，接着得到模板波形，计算相关性的数量，从接收信号中获取指定的能量 。然后我们增大 m的值，重复这一步骤。如果获取能量的相关性的数量减少地非常明显，我们就再一次增大 m 的值 ,直到数量的减少已经不适合选择一个长尾模板波形，或者我们得到了对于模板波形来说可以忽略的值。一旦我们知道了 某个接收脉冲的宽度，我们就可以轻易地选取 m只要它满足这个宽度。于是 F= 其中下标 I 对于 w 的最初估计 .假设取样前的接收信号为 其中 是带有0N/2 的功率频谱的加性高斯白噪声 .接收信号 r(t)含有几个指定的延迟 和振幅 , 的路径 .如果我们选择性的结合第一 L通道 ,并忽略其他的通路 : (3) 找出极大似然估计就相当于找出 和 的最小均方估计 ,因为 是 AWGN.定义 和 并且忽略由上面的对 c和 n的 MMSE的计算带来的不相干方面 ,可以得到 (4) (5) 其中 (6) 而且相关性矩阵 R为 : nts (7) 其中 。 利用从（ 4）式和（ 5）式得到的延迟和振幅来计算最佳的 w, 我们用新的 w 代替IW来重复整个过程，直到最佳模板波形收敛到它的最终形式。为了计算新的 w ，我们需要将 最小化。在这个过程中 ,r是一个 n*1的向量， w 是一个 m*1的向量。为了正确地写出上面的方程，我们要对每个 加个 零 向 量 ， 这 样 它 才 会 变 成 n*1 的 向 量 。 比 如 ，其中我们在 向量的开始处加了个零向量，于是我们有了一个需要求出来的未知系数jW。最后我们加了 个零向量来满足有 n*1个向量的要求。 为了使 F关于 ， 最小，我们需要求出 F关于每个jW的偏导并使得它们等于 0： （ 8） 其中 。在（ 8）式中，设jW=0 当 jm或 j0。在上述线性方程中，对于给出的ic和in的值，可以用任何一本涉及数字计算的书中的任意一种解线性方程的标准算法来求解。为了使它的单位能量尽可能地如我们要求的那样规范，最后一步就是把从前面所有步骤得到的模板波形归一化，这样我们就能根据关联后获得的能量的数量来把它与其它的单位能量模板进行比较。 （ 9） nts其中optW就是我们 的算法所求出的最佳模板波形。 为了知道算法是否会收敛于optW，我们可以使用下面的标准：如果对于一些正的 值，就停止运行算法，否则继续从第二步开始做。算法在经过次 k次反复运行后得到的结果可以用 来表示。这里， 的值取决于所要求的精确度。越小，近似程度越好。图 3显示了算法的结果，二阶高斯波形和最佳模板optW。图 4给出了算法的流程图。 图 3：二阶高斯波形和最佳模板 我们从（ 4）式可以看出，在迭代 计算主通道的到达时间的最佳值时还带有非线性的复杂性。尽管如此，我们可以在两个邻近通道间假设一个可忽略的重叠来使用一个简单的次优的线性搜索。这可以通过观察（ 7）式来解释。在这里，我们发现矩阵 R 变得非常对角化，在（ 4）式中它的逆矩阵也会有同样的变化。因此，（ 4）说明我们需要找到那些使 变得最大的 n的值。因为在这儿我们可以独立地找出每个主通道，这就意味着，要找出那些对应着 x的每个内容的量值为最大的 n的值。根据 x 的内容的数量 ,这是一个复杂的线性搜索。这儿有必要提到，一旦在两个相邻通道间根本没有重叠的话，次优算法就 可以变成最佳算法。因为脉冲电磁波的超宽带具有极为出色的多径处理能力，我们就可以更加自信地采用次优算法。用次优算法获得的结果与用最佳算法得到的结果相匹配，能够得到一个很高的精确度，这个结论也就反映出：那些通过运行快速线性次优算法所获得的结果会有多令人满意了。我们通过计算机来模拟，在各种通用的数据上运行次优算法，显示出了算法能够在不同的多径效应下（包括两个不同通道互相重叠的情况）成功地解决通道问题。 nts 图 4：算法的流程表 算法的每一次运行，对于给出的任意的 w(t)，ic，in分别是所对应的不同通道的振幅和延迟的极大似然估计值。特别的是，为了使得 和接收波形 r(t)之间振幅的差值最小，我们通过迭代计算来获得in。同时，基于这个问题所涉及的 AWGN特性，ic则是使得均方差错最小的均方估计值。通过上面的解释，我们发现，在对不同通道的振幅和延迟进行估计之后，均方差错在每一次运算之后都变得更小了。对于第二部分的每次运算，所给出的振幅和延迟，我们可以通过求偏导来计算模板波形的类型，来使均方差错最小化；因此，在第二部分的每次运算之后，我们能得到一个更小的均方差错。因为这个均方差错的序列是一个递减的，最后接近于零的序列，所以我们得出结论这是一个收敛的序列。 在图 1中左上角的测量结果中，当 L=3时运行算法，并把初始的估计值作为算法的输入，进行高斯波形的二次偏导；根据从关于高斯二次偏导的三个主要通道中所获得的能量来看，我们发现有大约 0.93dB的提高。在对其余的测量结果运行算法可以得到类似的结果。同时，算法收敛的很快，而且事实上在第 二次运行之后，已经没有更多的提高了。这证实了在图 3中所显示的模板波形，它比二阶高斯波形优越性。 nts为了演示算法的健壮性，我们考虑一个别的模板波形的初始估计：仅仅一个单位能量的矩形脉冲，时间间隔在 0到 2纳秒之间。使用这个模板的波形所获得的能量只有整个能量的7%。图 3中显示了仅经过两次反复运行之后的模板波形。它获得了 97%的能量，很明显，这个模板是通过把二次偏导作为初始的估计值来求得的。在使用最佳模板波形的接收信号中，其能量上所得到的 0.9dB的提高相比于使用高斯二次偏导来说，可以使得 UWB脉冲电磁波已经很低的衰 落能够进一步得到减缓。 4结论 这里介绍了两种设计最佳模板波形的算法：一种是最佳一次相关性长尾模板，另一种是多相关性的短尾模板。我们显示了怎样在多径存在的条件下，根据用最少数量的相关性从接收信号中获取最大数量的能量来设计最佳模板波形。模拟的结果证实了我们的复杂的算法的健壮性和精确性。把我们的算法应用在从测量结果中得到的真实数据上，我们注意到在需要估计最佳模板波形类型的多径问题中，这中算法在处理其中主通道方面的能力要比许多传统的模板有 0.9dB的提高。这是一种通用的算法，不仅能用于脉冲波，而且能够用于任何通 信系统。不过，根据脉冲波非常出色的多径处理能力，我们可以使用次优算法，它在算法中用一个线性复杂模板来代替了迭代计算。同样因为算法使用了接收通道来估计模板波形的类型，这样信道特征也将会在最佳模板的设计中有所体现，而这一点，如果不通过数学的模拟是无法解释的。 参考 1 Robert C. Qui. I-Tai Lu, “Multipath resolving with frequency dependence for wideband wireless channel modeling_ IEEE Tran.s on Vehicular Tech.vol.48.no.1 January 1999 2Robert C. Qui, “A theoretical study of the ultra-wideband wireless propagation channel based on the scattering centers 1998 IEEE Vehicular Tech. Conf. 3 Moe Z. Win. Robert A.Scholtz ”Ultra-wide bandwidth time-hopping spread spectrum impulse radio for wireless multiple-access communications “ IEEE Trans.on Communications, vol.48. no.4 April 2000 4Robert A. Scholtz. “Multiple access with time-hopping impulse radio.” inProc.Military Communiactions Conf.vol.2 Boston.MA.pp447450.October1993 5Moe Z. Win. Robert A. Scholtz:”On the robustness of ultra-wide bandwidth signals in dense multipath environments.” IEEE Communications Letters, vol. 2.no.2 February 1998. 6Moe Z. Win. Robert A.Scholtz.”Energy capture vs.correlator resources in ultra-wide bandwidth indoor wireless communications channels.” in Proc.Military Communications Conf.vol.3Monterey.CA. pp.1277-1281 November 1997 7Simon S. Haykin Adaptive Filter Theory.Third Edition.Prentice Hall 1995 8Theodore S. Rappaport. Wireless Communications.Prentice Hall.1996 ntsON DESIGNING THE OPTIMAL TEMPLATEWAVEFORM FOR UWB IMPULSE RADIO IN THEPRESENCE OF MULTIPATHAli Taha , Keith M. ChuggCommunication Sciences InstituteUniversity of SouthernCaliforniaLos Angeles, CA 90089-2565taha , chuggABSTRACTUsing an appropriate template waveform matched tothe received signalallows extracting the energy of thereceived signal eciently. This eciency becomes vi-tal for Ultra Wide Bandwidth (UWB) Impulse Ra-dio in the presence of multipath, where each pathundergoes a dierentchannel causing distortion inthe received pulse shape due to a varietyoffactorssuch as dierentamounts of attenuation for dier-ent frequencies 1, 2. In such a situation, using aclean ideal line of sight path signal as a template maydegrade the performance due to the mismatches be-tween the template waveformand the received signal.Furthermore, because of inherent ltering in the RFprocessing (i.e., antennas, ampliers, etc.), it is oftendicult to determine even such a clean line of sightpulse. In this paper, algorithms for designing opti-mal template waveforms for UWB Impulse Radio aredeveloped and the improvementover a more tradi-tional template waveform used for this kind of radiois illustrated.1. INTRODUCTIONDue to sending a sub-nanosecond pulse in each frameperiod, impulse radio enjoysavery high multipathresolution capabilityandavery low duty cycle sig-nal with huge spread spectrum processing gain 3,4, 5. On the other hand ultra-wide bandwidthsuggests that the higher frequencies attenuate morethan the lower frequencies 1, 2, causing distortionin the shape of the received pulse. The delay spreadof the impulse radio received signal is many manypulse durations even for indoor applications. Thesephenomena motivateus to design an algorithmwhichderives an optimal template waveformat the receiverthat captures the most amount of energy with theleast number of correlations. Since the eects of thechannel are somehowembedded in the received sig-nal, we can compute the optimal template waveformbased on the received signal online. This makes ouralgorithm adaptive, since with changes in the chan-nel, the received signal changes, and so does our opti-mal template based on the received signal. Weshowthe improvementachieved by this optimal templatewaveform compared to more traditional second orderderivative of Gaussian waveform 6, by applying ouriterative algorithm to real data obtained from mea-surement experiments taken in the Wireless RadioLab of the University of Southern California. Usingour template waveform algorithm helps us adapt ourtemplate to dierentenvironments based on the re-ceived signal whichembodies all the channel charac-teristics, including those of the antennas on the wave-forms which are sometimes not well-understood. Thealgorithm developed in this section is not limited toUWB systems only, and can be applied to any kindof communication system.In Section II, optimal long-tailed template wave-form design is presented, which then leads us to de-sign optimal single path template waveform in Sec-tion III. Conclusion remarks are made in section IV.2. LONG-TAILED TEMPLATEUsing the digital sampling oscilloscope, 9 measure-ments have been taken in the Wireless Radio Lab ofthe University of Southern California. These mea-surements are shown in Fig. 1. These are the re-ceived signals from a pulser that generates monocy-cles. It is worth mentioning that each measurementis the average of 256 received proles at the samelocation to get a more stable measurement and ne-glect some transient eects. We sample each mea-surement at a rate greater than Nyquist rate andnormalize them to have unit energy. After these pro-cedures, we representeach measurementbyavector,nts0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)Figure 1: Measurements from the UWB radio re-ceived waveform taken at the Wireless Radio Lab atthe University of Southern Cly, ri=ri1ri2:rint,fori =1;2;:;9: Nowwend the vector w =w1w2:wntfor which the func-tion,F =NXi=1j j2(1)is maximum. In this case, we nd the nearest vectorto all the measurementvectors in the sense that itcaptures the most energy out of the measurements ifwe just want to do a single correlation at the receiver1.We set w to be of unit energy for normalizationpurposes. This is a constrained optimizationproblem(e.g., see appendix C in 7) with kwk =1: Solvingthis optimization problem, weget(A + I)w =0where A = M Mtand M is a matrix whose ithcolumn is ri. Therefore, w is simply the normal-ized eigen vector of matrix A corresponding to itslargest eigen value since F = wtAw = wt(;w)=;kwk2= ;. This normalized eigen vector is sim-ply the optimal template waveform when wewanttodo only one correlation against the received signal atthe receiver. This problem can be generalized in astraightforward manner to the case when wewanttodesign two or more orthogonal template waveformsthat capture the energy of the received signal opti-mally. The solution is the eigen vectors correspond-ing to the largest eigen values of matrix A. Sincethe matrixA is symmetric, these template waveformscan be selected orthogonal. Fig. 2 shows 9 orthonor-mal template waveforms corresponding to the ninenonzero eigen values of matrix A. The rst template1This is equivalent to a LS criterion when kwk is con-strained to be constant.0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.2Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.2Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.4Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.2Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)0 10 200.500.51Time (nanoseconds)Amplitude (Volts)Figure 2: Orthonormal templates as the output ofthe algorithm.waveform at the upper left corner of the gure cap-tures 58:39% of the total energy contained in all themeasurements by just one correlation with each mea-surement. The second template in the upper middleof the gure, captures 23% of the total energy out ofall the measurements with just one correlation witheach measurement. The rest of the templates cap-ture 8:38%;3:61%;2:21%;1:71%;1:20%;0:83%;0:67%respectively.For nine measurements, we should beable to capture the whole energy with at most ninesingle long-tailed orthonormal template waveforms.By looking at matrix A,we see that each elementsomehow computes the average of the correlationbetween two specied components of each measure-ment, over all the measurements.3. SINGLE PATH TEMPLATEAs Fig. 1 shows, there are a lot of paths in the re-ceived signal. Wewant to resolve the paths and ndthe optimal template waveform based on these in-dividual paths. In that case we desire a short-tailedtemplate waveform(i.e., with support much less thanthe delay spread) and wemay use it to do a selectivemultiple combining 8 for the most dominant paths.Dene the new objective function F asF = jr;LXj=1cjw(n ;nj)j2(2)where risatypical received waveform,njis the delayassociated to its jth path and cjis the correspondingamplitude. As the above formulasuggests, we assumeonly the rst L dominant paths in our model. In or-der to minimize F with respect to w, cjs, and njs,ntswe rst minimize F conditioned on a given waveformw as an initial estimation. A good initial estima-tion can be the truncated version of the long-tailedtemplate waveform obtained in the last section. Af-ter nding the optimized values of cjs and njs forj =1;2;:;L based on this initial waveform, weusethese values of the coecients cjs and delays njs tond the optimized waveform w of length m. Nowwe use this new optimized waveform w to computethe new values of the coecients and delays and werepeat this procedure again and again until conver-gence occurs for the waveform w. The length of w,m, is a design parameter. If we assign a very smalllength for the template waveform, then it will not beeective, since it requires more correlations againstthe received signal to capture the same amountofenergy. Therefore, we can choose an initial value form, and then obtain the template waveform and com-pute the number of correlations to capture a speciedamount of energy out of the received signal. Then weincrease m, and repeat the same procedure again. Ifthe reduction in the number of correlations to cap-ture energy is signicant, we increase m again up tothe point where the reduction is not worth choosing alonger template waveform or we get negligible valuesfor the template waveform after some point. For thecase when we know the width of one received pulse,we can simply choose m such that it meets the widthof the pulse. So F = j(r ;PLj=1cjwI(n ; nj)j2where subscript I means the initial estimation forw. Assume the received signal before sampling asr(t)=s(t)+n(t) where n(t) is the additive whiteGaussian noise with power spectral level ofN02: Thereceived signal r(t) consists of several paths at spe-cic delays ni= in;i =1;2;:;L, and amplitudescis, for i =1;2;:;L: Assuming selectivecombiningfor the rst L dominant paths, we ignore the rest ofthe paths:r(t)=LXi=1ciw(t ;ni)+n(t) (3)Finding the maximum likelihood (ML) estima-tor is equivalent to nding the Minimum MeanSquared Estimates (MMSE) of cis and nis, be-cause n(t)isAWGN. Dening c =c1c2:cLtandn =n1n2:nLtand ignoring the irrelevanttermofthe aboveintegral in calculating the MMSE of c andn we get the following estimations 6:n = argmax(X+(n)R;1X(n) (4)andc = R;1X(n) (5)whereX(n)=ZT0r(t)0BBBw(t; n1)w(t; n2).w(t; nL)1CCCAdt (6)and the correlation matrix R isR =0BBBR(n1; n1) R(n1;n2) R(n1; nL)R(n2; n1) R(n2;n2) R(n2; nL).R(nL; n1) R(nL;n2) R(nL; nL)1CCCA(7)where R(ni;nj)=RT0w(t; ni)w(t ;nj)dt.Using the values obtained for delays and ampli-tudes in (4) and (5) to compute the optimal w,werepeat the whole procedure with our new w insteadof wIuntil the optimal template waveform convergesto its nal format. In order to compute the new w ,weneedtominimize F = jr ;PLj=1cjw(n ; nj)j2.In this equation, r is an n 1vector, and w is anm 1vector, and in order to write the above equa-tion correctly,we need to add zeros to each w(n; nj)suchthatitbecomesavector of order n 1too,i.e., w(n ; nj) = 00:0w1w2w3:wm000:0twherewehave added njzeros at the beginning of thevector, and then wehave the unknown coecients,wjs, which are to be determined, and nally weaddn ; m ; njzeros to complete the dimension as ann1vector.In order to minimize F with respect to wjs forj =1;2;:;m,we need to take the derivatives of Fwith respect to each wjand equate them to zero.Fwp=2LXk=1c2kwp+2LXk=1Xlm,or j0. The above linear system of equations canbe solved for the given values of cis and njs usingany standard algorithm for solving a linear systemof equations available in anynumerical computationbook.ntsThe last step is to normalize the template wave-form obtained from all the above steps in order tomake it of unit energy as the constraint of our op-timization, so that we can compare its performancewith any other unit energy template in terms of theamount of the captured energy after correlation.wopt=wkwk(9)where woptis the optimal template waveform as theoutput of our algorithm.In order to determine whether the algorithm hasconverged to woptor not, we can use the followingcriterion: If kw(k+1)opt;w(k)optk for some positive ,then stop running the algorithm, otherwise continuefrom step two. The output of the algorithm after thekth iteration has been denoted by w(k)opt. Here, depends on the accuracy needed. The smaller the ,the better the approximation. Fig. 3 demonstratesthe output of the algorithm, wopt, along with thesecond-order derivative of Gaussian waveform. Fig.4 shows the owchart of the algorithm.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Time (ns)Amplitude (V)Dash: SecondOrder Derivative of Gaussian WaveformSolid: Optimal Template WaveformFigure 3: Optimal template along with the second-order derivativeofGaussianwaveformAs (4) suggests, there is a nonlinear complexity as-sociated to the exhaustive search for nding the op-timal values of the dominant pathss arrival times.However, we can simply use a suboptimal linearsearch when we assume a negligible overlap betweenadjacent paths. This can be explained by looking at(7). In this case, we can see that matrix R becomesstrongly diagonal, so does its inverse in (4). There-fore, (4) suggests that we need to search for thosevalues of n where kXk2becomes maximum. Sincewe can search for each dominant path independentlyin this case, this simply means to nd those values ofInitialEstimationfor w(t)Non-LinearExhaustiveSearch for nLinear Algorithmfor Finding cLinearAlgorithm forw(t)Figure 4: Flowchart of the algorithmn for which the magnitude of each componentofX ismaximum. This is a linear complex searchintermsofthe number ofcomponents ofX.Itisworth mention-ing that this suboptimal algorithm becomes optimalfor the case when there is no overlap between theadjacent paths at all. Because of the excellentmulti-path resolution capability of impulse radio due to itsultra wide bandwidth, we can employthe suboptimalalgorithmwith some condence. Since the results ob-tained by the suboptimal algorithm match those ofoptimal algorithm with a high precision, the resultspresented here reect those obtained by running thefast linear suboptimal algorithm. Running the sub-optimal algorithm on a various generated data usingcomputer simulation has shown that the algorithmresolves the paths successfully under dierentmul-tipath scenarios where two dierent paths can evenoverlap with each other.For anygiven w(t)ateach iteration of the algo-rithm, cis and nis are the maximumlikelihood esti-mates of the amplitudes and delays of dierent paths.Specically, nis are obtained through an exhaustivesearch to minimize the magnitude of the dierencebetweenPLi=1ciw(t;ni) and the received waveformr(t). Also at the sametime,due to the AWGN natureof the problem, cis are mean squared estimationsntswhich minimize the mean squared error. By theseexplanations, we see that after estimating the ampli-tudes and delays of dierent paths, the mean-squarederror becomes smaller during any iteration. For thesecond part of each iteration, given the estimates ofamplitudes and delays, we compute the shape of thetemplate waveform by taking derivatives to minimizethe mean-squared error; therefore, we get a smallermean-squared error after the second half of each iter-ation. Since the sequence of mean-squared errors is adecreasing sequence bounded from belowby zero, weconclude that this sequence is convergent.Running the algorithm when L = 3 for the mea-surementshown in the upper left of Fig. 1 and withthe initial estimationas the input to the algorithmtobe the second-order derivative of Gaussian waveform,demonstrates about 0.93 dB improvementin terms ofthe captured energy out of the three most dominantpaths with respect to that of second order derivativeof Gaussian. Similar results are obtained by runningthe algorithmon the rest of the measurements. Also,the algorithm converges very fast, and in fact afterthe second iteration, there is no more improvement.This veries the optimalityof our template waveformshown in Fig. 3 over the second order derivativeofGaussian.To demonstrate the robustness of the algorithm,we consider a very bad initial estimation of the tem-plate waveform, which is just a unit energy rectangu-lar pulse (Flat Template Waveform)over the interval0 t 2 nanoseconds. The captured energy us-ing this template waveform is only 7 percentofthetotal energy. Fig. 3 shows the template waveformafter only two iterations of the algorithm.