高中数学 1．3.2　奇 偶 性之函数性质的应用 新人教A版必修5.ppt

1 复合函数单调性判定 答案 0 1 解析 由 x2 2x 0得0 x 2 当x 0 1 时 u x2 2x单调增 2 和 差函数的单调性 两个增函数 或减函数 的和仍为增函数 或减函数 一个增函数 或减函数 减去一个减函数 或增函数 结果是一个增 或减 函数 答案 2 3 具有奇偶性的两个函数在同一定义域 或定义域的交集上 上有 奇 奇 奇奇 奇 偶奇 偶 奇偶 偶 偶 答案 1 本节重点 1 应用单调性比较大小 解不等式及求最值 2 奇偶函数图象的对称性及奇偶函数的单调性 本节难点 单调性 奇偶性的综合应用 分析 通过分析函数的定义域 值域 奇偶性 单调性等可以了解函数图象的分布情况和对称性 进而可列表描点 画图 解析 此函数的定义域为 x r x 0 故其图象在x 0处断开 即被y轴分为两部分 对任意x 0 有y 0 故其图象分布在x轴上方 此函数为偶函数 故其图象关于x轴对称 因此只须画出x 0的图象 利用对称性可画出x0时 f x 为减函数 x越接近于0 y值越大 其图象越接近于y轴 x越大 y值越小 其图象越靠近x轴 列出x y的对应值如表 在直角坐标系中 描点 连成光滑曲线 就得到这个函数的图象 如图 解析 定义域 0 值域 0 因此图象只分布在第一象限内 易知其为增函数 且随着x的增大 增长速度越来越快 列表从略 图象如图 例2 已知f x x5 bx 8 且f 2 10 则f 2 等于 a 26b 18c 10d 10 解析 令g x f x 8 x5 bx 则g x 是奇函数 g 2 g 2 0 f 2 8 f 2 8 0 f 2 10 f 2 26 选a 分析 利用函数的性质再得到一个关于f x 与g x 的等式 然后把f x g x 看作未知量 利用方程的观点求解f x g x 例3 若函数f x 是定义在r上的偶函数 在 0 上是减函数 且f 2 0 则使得f x 0的x的取值范围是 a 2 b 2 2 c 2 d 2 2 解析 由题意知f 2 f 2 0 当x 2 0 时 f x f 2 0 由对称性知 x 0 2 时 f x 为增函数 f x f 2 0 故x 2 2 时 f x 0 因此选b 点评 可用数形结合法求解 由题意画出示意图如图所示可知选b 已知定义在r 上的函数f x 是增函数 对任意x1 x2 r 都有f x1x2 f x1 f x2 又f 4 1 求使不等式f x 6 f x 2成立的x的取值范围 解析 由条件知 f 16 f 4 4 f 4 f 4 2 故不等式f x 6 f x 2 即f x 6 f x f 16 例4 对于每个实数x 设f x 取y 4x 1 y x 2 y 2x 4三个函数中的最小值 用分段函数写出f x 的解析式 并求f x 的最大值 例5 已知一个二次函数y f x 满足f 0 3 又知当x 3或x 5时 这个函数的值都为0 求这个二次函数 解析 解法1 设f x ax2 bx c a 0 解法2 设f x ax2 bx c a 0 f 0 3 c 3 令f x 0 由韦达定理得 点评 已知二次函数的顶点或对称轴可设配方式f x a x h 2 k 已知二次函数图象与x轴两交点 x1 0 x2 0 可设分解式 f x a x x1 x x2 已知二次函数过三点可设一般式f x ax2 bx c 1 已知函数y f x 为二次函数 且满足f 0 3 f 1 0 f 3 0 则这个二次函数的解析式为 2 已知一个二次函数f x 的图象的顶点是 6 12 与x轴的一个交点为 8 0 则其解析式是 答案 1 f x x2 2x 3 2 f x 3x2 36x 96 解析 1 设f x a x 1 x 3 f 0 3 a 1 f x x2 2x 3 2 设f x a x 6 2 12 过 8 0 点 a 3 f x 3x2 36x 96 例6 设奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如右图 则不等式f x 0的解集是 答案 2 0 2 5 解析 f x 为奇函数 故由所给图象可知 2 x 0时 f x 0又由图知2 x 5时 f x 0 故f x 0的解集为 2 0 2 5 已知函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 则 a f 0 f 1 f 2 b f 1 f 0 f 2 c f 1 f 2 f 0 d f 2 f 1 f 0 答案 a 解析 f x 2 在 0 2 上单调递减 f x 在 2 0 上单调递减 y f x 是偶函数 f x 在 0 2 上单调递增 又f 1 f 1 故应选a 例7 判断下列函数的奇偶性 解析 1 画出函数f x 的图象 可知f x 为奇函数 总结评述 表达式较复杂的函数判断奇偶性 如能化简 应先化简 含绝对值号的常常要先把绝对值号化去 分段函数判断奇偶性常常要利用图象的直观性 利用表达式推证时 要注意自变量的取值范围对应的究竟是哪一段表达式 例8 定义在 1 1 上的偶函数f x 当x 0时 f x 为增函数 若f 1 m 1 又f x 为偶函数 x 0时 f x 为减函数 f 1 m 2m m 1 综上知 m的取值范围是 1 或 1 辨析 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用 欲解不等式f 1 m f 2m 须用单调性 而f x 的单调性只知在 0 上为增 需考察在 0 上的情形就要用奇偶性加以转化 上述解答忽视了函数定义域的限制作用 1 m和2m必须都在定义域 1 1 内取值 所给不等式才有意义 正解 f x 在 1 1 上为偶函数 则由f 1 m f 2m 得到f 1 m f 2m 又x 0时 f x 为增函数 总结评述 本题利用f x 为偶函数 将f x1 f x2 等价转化为f x1 f x2 避免了繁杂的讨论 一 选择题1 09 陕西理 定义在r上的偶函数f x 满足 对任意的x1 x2 0 x1 x2 有 x2 x1 f x2 f x1 0 则当n n 时 有 a f n f n 1 f n 1 b f n 1 f n f n 1 c f n 1 f n f n 1 d f n 1 f n 1 f n 答案 c 解析 当x2 x1n n 1 f n 1 f n f n 1 又f n f n f n 1 f n f n 1 故选c 二 填空题2 y 2k 1 x k 1是减函数 则函数y kx2 2x 3k 1的增区间为 3 f x ax 1 x a 为奇函数 则f 2 答案 2 解析 显然x 0时函数f x 有意义 f 0 a 0 f x x f 2 2 4 f x 为偶函数 当x 0时 f x x x 1 则当x0 f x x x 1 x x 1 f x 为偶函数 f x x x 1 5 偶函数f x 在 0 上为增函数 若x10 且 x1 x2 则f x1 与f x2 的大小关系是 答案 f x1 f x2 解析 x10 又 x1 x2 x2 0 x1 x2 0 f x 在 0 上为增函数 f x1 f x2 又 f x 为偶函数 f x1 f x2 此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然 三 解答题6 已知函数f x x2 2 1 2a x 6在 1 上为减函数 1